Similarity Postulates

la oss si,

at vi har trekant A,B,C og at den ser omtrent slik ut.

Vi skal finne noen regler,

som vi kan bruke til å bestemme,

om to trekanter er likedannet.

Vi vet allerede,

at hvis alle tre vinklene er kongruent

med de tilhørende vinklene i trekant ABC,

så er de 2 trekantene kongruent.

vi kan for eksempel si, at den her vinkelen er 30 grader, den her er 90,

og vinkelen her er 60 grader.

Nå har vi så en annen trekant, som ser slik ut.

Den er uten tvil mindre enn den første,

men de tilhørende vinklene er 30 grader,

90 grader og 60 grader som i vinklene i ABC.

Vi vet derfor, at trekant XYZ og trekant ABC er likedannet.

.

Fordi vi vet,

at de tilhørende vinklene er kongruent,

vet vi, at trekant ABC og trekant XYZ er likedannet.

Det er viktig å ha bokstavene i riktig rekkefølge,

så det er de riktige vinklene, der til tilhører.

Y er tilhørende vinkelen på 90 grader,

X tilhører vinkelen på 30 grader og A tilhører vinkelen på 30 grader.

A og X hører altså sammen,

B og Y, som er vinklene på 90 grader, hører sammen.

Og til slutt hører C og Z sammen.

Det er det vi vet, når vi har tre vinkler,

men er tre vinkler egentlig nødvendig?

Ville det vært nok at kun to av vinklene er kjent?

.

Det ville det,

fordi vi kan regne oss frem til den tredje vinkelen i trekanten ved at vi kjenner de to andre vinklene.

Vi kan si, at vi har en annen trekant,

som ser slik ut.

Vi får vite, at kun to av de tilhørende vinklene er kongruent.

.

Kanskje er den her vinklene kongruent

med den her vinkelen, og den her vinkelen er kongruent.

med den her.

Er det nok å si, at de to trekantene er likedannet?

Selvfølgelig er det det, fordi vi kan regne oss frem til den siste vinkelen i trekanten,

når vi kjenner de to andre.

Hvis vi for eksempel vet, at den her er 30 grader og den her er 90,

så vet vi, at den her skal være 60 grader.

Uansett hva de to vinkelen er,

skal man trekke de to fra 180, også finner man den siste vinkelen.

For å vise, at de er likedannet,

behøver man altså ikke vise, at tre likedannede vinkler

er kongruent.

Man skal bare vise, at to av de er.

Det er den første regelen for at den er likedannet.

Vi kan kalle den vinkel-vinkel.

Hvis man kan vise, at de tilhørende vinklene er kongruent,

har man to likedannede trekanter.

Vi skriver vinklene inn i trekanten.

Den her vinkelen er 30 grader,

og vinkelen skal være 90 grader her.

Vi vet derfor, at de her to trekantene

er likedannet.

Man kan finne den tredje vinkelen på en enkel måte.

Vi kan si,

at den her vinkelen er 60 grader,

også er alle tre tilhørende vinkelen de samme i de to trekantene.

Man skal altså kun kjenne to av vinklene for å kunne vise, at trekantene er likedannet.

En annen ting, vi vet om likedannede trekanter, er,

at forholdet mellom alle sidene skal være det samme.

Vi har enda en trekant her borte.

Vi tegner like godt enda en trekant.

Den her trekantene kan vi kalle X,Y og Z.

La oss nå si, at vi vet, at forholdet mellom siden AB og siden XY

er AB over XY.

Det er altså forholdet mellom den her og den her siden.

Legg merke til, at sidene ikke nødvendigvis er kongruent.

Det er kun forholdet mellom sidene, vi kikker på.

Vi kan si, at side AB over side XY

er lik med side BC over YZ.

Det er likt med BC over YZ, og det er lik AC over XZ.

AC over XZ.

Det er en av måtene til å finne ut,

om trekanten er likedannet.

Hvis vi har alle 3 tilhørende sidene,

så vil forholdet mellom alle tre tilhørende sider være det samme.

På den måten vet vi, at vi har likedannet trekanter.

Den her regelen kaller vi side-side-side-likedannet.

Det skal ikke blandes sammen med

side-side-side-kongruens.

Nå har vi funnet våre regler for likedannet.

Man kan også kalle det postulater eller grunnsetninger.

Det er noen ting, vi antar

for å kunne løse noen problemer

og bevise andre ting.

Hvis vi snakker om kongruens, så betyr side-side-side,

at de tilhørende sidene er kongruent.

Når vi snakker om likedannede trekanter, betyr side-side-side,

at forholdet mellom de tilhørende sidene er den samme.

Vi kan si, at det her er 10.

Hvis den her er 10 .

Nei, vi sier 60 i stedet for, også er den her 30,

og siden her er 30 ganger kvadratrot 3.

vi brukte de her tallene,

fordi vi snart vil lære, hvilket forhold det typisk er mellom sidene

i trekanter med vinklene 30,60,90.

La oss si at sidene her er 6,3 og 3 ganger kvadratrot 3.

Legg merke til, at AB over XY er 30 ganger kvadratrot 3

over 3 ganger kvadratrot 3, og det vil gi 10.

Hva er så BC over XY?

30 dividert med 3 er 10.

Hva er så 60 dividert med 6?

AC over XZ må altså også gi 10.

.

For å gå fra den tilhørende side her

til den tilhørende siden her, skal vi alltid,

gange med 10.

Vi sier altså ikke, at sidene er kongruent

eller at sidene er like

for side-side-side-likedannet.

Vi sier, at vi forstørrer de opp ved å gange

med det samme tallet.

.

Forholdet mellom de tilhørende sidene er altså det samme.

La oss prøve med en ny trekant.

Vi kan si, at vi har enda en trekant her.

Vi tegner den.

.

Vi tegner en annen trekant ABC.

På den nye trekanten er det her A, det her B og det her C.

Vi vet nå, at vi kan finne forholdet mellom sidene på den her trekanten

og sidene på en annen trekant.

Vi tegner like godt litt av en ny trekant.

Vi vet nå, at XY gir AB,

når vi ganger med en bestemt konstant.

Det kan vi skrive her.

XY er lik med en konstant ganger AB.

Vi tegner like godt XY litt større,

Så konstanten kan være mindre enn 1.

I det tilfellet vil det være en mindre verdi.

Vi tegner XY en smule større.

La oss si at det her er X, og at det her er Y.

Nå vet vi at XY over AB er lik

en eller annen konstant.

Hvis man ganger begge sider med AB,

vil man få XY som en forstørret utgave av AB.

Kanskje AB er 5 og XY er 10,

også vil vår konstant være 2.

Vi forstørrer AB med faktor 2.

La oss si, at vi også vet,

at trekant ABC og trekant XYZ er kongruent,

også skal vi ha enda et punkt på trekanten her.

Vi tegner like godt en ny side på trekanten, også er det her Z.

Vi vet altså også, at trekant ABC og trekant XYZ er kongruent.

La oss nå si, at vi vet,

at forholdet mellom BC og YZ er den samme konstant.

Forholdet mellom BC og YZ er altså lik med den samme konstant som forholdet mellom AB og XY.

Hvis AB er 5, og XY er 10, så er BC kanskje 3, og YZ er 6.

Med konstanten fordobler vi altså på en måte lengden av BC.

Vi trekant XYZ være likedannet?

Vi kan kun tegne en trekant her.

Hvis vi sier, at forholdet mellom XY og AB

er det samme som forholdet mellom YZ og BC,

og vinkelen mellom er kongruent,

så vil det kun være en mulig trekant å tegne her.

Vi er begrenset til en trekant her.

Lengden av den her siden kan altså kun være,

som den er nå.

Lengden av den her siden skal kunne finnes

ved å gange den her siden med en konstant.

Den regelen kaller vi side-vinkel-side-likedannet.

Vi så SSS og SVS i våre regler for kongruens,

men vi sier noe annerledes her.

Vi sier ved SVS regelen,

at hvis forholdet mellom en tilhørende side og

den andre er det samme,

så er trekantene også de samme.

.

Vi har forholdet mellom AB og XY på den ene tilhørende side,

også har vi på den andre tilhørende siden

forholdet mellom BC og YZ,

og vinkelen mellom de to er like.

I det tilfellet sier vi, at de er likedannet.

For kongruens i SVS-regelen sa vi,

at sidene skulle være kongruent.

Her sier vi, at forholdet mellom de tilhørende sidene

skal være det samme.

Vi kan vise noen eksempler med SVS-regelen her.

Vi tegner en trekant her.

Den her trekanten har sidene 3, 2 og 4.

Vi har så en annen trekant her,

som har sidelengdene 9 og 6.

Vi vet også, at vinkelen mellom de to sidene er like.

Den her vinkelen er altså lik med den her vinkelen.

SVS regelen sier så,

at de her trekantene uten tvil vil være likedannet.

.

Vi kan kun tegne en trekant her,

og det er den trekanten, hvor alle sidene

skal ganges med den samme faktoren.

Det er altså kun en lang side, vi kan tegne her,

og den skal ganges med faktoren 3 som de to andre sidene.

Det er den eneste mulige trekanten, vi kan tegne.

Vi kan se, at den her siden er 3 ganger den her,

at den her er 3 ganger den her, og at vinkelen mellom de er like.

Det er derfor kun en mulig trekant å tegne.

Vi vet, at det skal være en likedannet trekant,

hvor alle sidene skal ganges med faktoren 3.

Den eneste trekanten vi kan tegne, skal altså være den likedannende trekanten.

Det er SVS-regelen, vi har med å gjøre.

Vi sier ikke, at den her siden er like lang som den her siden,

eller at den her siden er like lang som den her.

Vi sier, at sidene er ganget med den samme faktoren.

Hvis vi hadde en annen trekant, som så slik ut,

så ville den her siden kanskje vært 9, den her 4,

og vinkelen mellom de ville vært den samme.

Vi kan ikke si, at de er likedannet,

fordi den her siden er ganget med faktor 3.

Den her siden er kun ganget med faktor 2.

Derfor kan vi sette et kryss over den her,

for vi kan ikke si, at den nødvendigvis er likedannet.

Man kunne også hatt en annen trekant, hvor den ene siden var 9

og den andre 6, men vi vet ikke,

om de to vinkelen mellom er like.

I dette tilfellet har vi altså ikke begrenset mulighetene nok til å kunne si,

at de to trekantene er likedannet.

Vi vet nemlig ikke,

om de to vinklene er like.

Nå kan man kanskje si, at det er et par regler til,

som vi hadde, da vi snakket om kongruens,

men hvis man tenker over det,

har vi allerede vist, at to vinkler i seg selv er nok til å vise,

at to trekanter er likedannet.

Man behøver altså ikke bekymre seg for å ha to vinkler og en side

eller forholdet mellom sidene.

Da vi snakket om kongruens,

hadde vi også vinkel-side-vinkel,

men vi vet, at to vinkler er nok til å vise, at trekantene er likedannet,

så vi skal altså ikke bruke den ekstra siden til noe.

Vi behøver egentlig ikke den her.

De her er altså våre regler for likedannede trekanter.

Det er viktig å huske på, at side-side-side regelen for likedannede trekanter

ikke er den sammen regelen som side-side-side for kongruens.

For likedannede snakker vi nemlig om forholdet mellom de korresponderende sidene,

og vi sier altså ikke, at de er kongruent.

Side-vinkel-side regelen for likedannede trekanter er også forskjellig

fra side-vinkel-side regelen for kongruens.

Reglene henger på en måte sammen,

men for likedannede snakker vi om forholdet mellom sidene og ikke de eksakte lengdene.