When is a particle speeding up

Vamos supor que temos uma partícula
se movendo ao longo de uma reta de números

Deixe-me desenhar
uma reta de números aqui.

Aqui está ela.

Digamos que comece aqui em zero.

À medida que o tempo passa
a partícula se movimenta.

Talvez vá pra direita, desacelere,
acelere...

Ou pra esquerda, desacelere,
acelere...

Pode fazer qualquer coisa.

Para descrever esse movimento
e sua posição como uma função do tempo,

temos uma função, s de t.

A posição desta partícula
em função do tempo foi dada.

É t ao cubo menos seis t ao quadrado
mais nove t.

Vamos restringir o domínio pra que tenhamos
tempo positivo.

Vamos assumir que o tempo é maior
ou igual a zero.

O que queremos saber neste vídeo é:
Quando a partícula acelera?

Aqui merece um esclarecimento.

Como assim, acelera?

Existem dois cenários.

Se a partícula já está se movendo
para a direita

Saberíamos disso pois sua velocidade
seria maior que zero.

Se está se movendo para a direita
e também acelerando para a direita,

ou seja, sua aceleração também é positiva,

essa é a situação
em que estamos acelerando.

O outro cenário seria
se estivéssemos nos movendo pra esquerda.

Neste caso a velocidade seria negativa.

Se a velocidade é negativa
e queremos ir mais rápido nessa direção,

nossa aceleração também deve ser negativa.

Isso faria com que a velocidade ficasse
cada vez mais negativa com o tempo.

Nossa aceleração também deve ser negativa
se ainda quisermos continuar a acelerar.

Qualquer outra combinação aqui--

se a velocidade for negativa
e a aceleração positiva,

isso significa que a velocidade
ficará menos negativa,

você desacelerará na direção esquerda.

Vice-versa, se a velocidade é positiva
e a aceleração negativa,

você estará indo para a direita
mas desacelerando.

Vamos pensar nesses dois cenários.

Já que a velocidade importa tanto aqui,

precisamos apenas nos lembrar
que a velocidade--

Lembra? Derivada é apenas taxa de variação
em relação a uma variável.

Se você tem a função posição,

a derivada da posição em relação ao tempo
é apenas

a taxa de variação instantânea da posição
em relação ao tempo.

O que é mudança de posição
em relação ao tempo?

Isso será igual à nossa função velocidade,
v de t.

Ou então s linha de t, que pode ser
escrita como ds dt.

Igual à velocidade em função do tempo.

Vamos calcular a derivada disso.

Nossa velocidade em função do tempo será
três t ao quadrado menos 12t mais nove.

Vamos tentar representar graficamente
essa função velocidade.

Pra que isso faça sentido.

Quando a velocidade é positiva?
Quando é negativa?

O que a aceleração faz nesses intervalos?

Pra me ajudar a fazer o gráfico,
sabemos que v é interceptado em v de zero.

Que é igual a nove.

Isso nos ajudará.

É onde o eixo v é interceptado.

Vejamos também onde intercepta o eixo t.

Faremos isso aqui igual a zero.

Três t ao quadrado menos 12t mais nove
é igual a zero.

Pra simplificar isso,
vamos dividir os dois lados por três.

Obtendo t ao quadrado menos quatro t
mais três igual a zero.

Isso é totalmente "fatorável".

Isso será t...vejamos, que dois números
quando multiplicados dão três

e quando somados dão menos quatro?

Será t menos três vezes t menos um
igual a zero.

Como essa expressão pode ser igual a zero?

Se esses dois termos são iguais a zero.
Tanto t menos três quanto t menos um.

Ou t é igual a três
ou t é igual a um.

Nos dois casos, um desses termos zera
ou toda essa expressão será igual a zero.

Como o coeficiente de t ao quadrado
é positivo,

essa parábola terá concavidade
voltada pra cima.

Vamos tentar fazer esse gráfico.

Aqui está o eixo da velocidade.

Aqui o eixo do tempo.

Digamos que aqui seja um segundo--
supondo que aqui seja segundos--

dois, três, quatro

Deixe-me separar um pouco mais.

Um e três são importantes.
Um, dois e três.

Vou achatar um pouco o eixo vertical,
sua escala.

Digamos que aqui seja nove.

Quando t é igual a zero,
nossa velocidade é nove.

Quando t é um,
a velocidade será zero.

Sabemos daqui, três menos 12 mais nove
é zero.

Quando t é três, a velocidade é zero
novamente.

O vértice será bem aqui no meio,
quando t é dois, entre as raízes.

Podemos calcular essa velocidade
se quisermos.

Será três vezes quatro menos 12 vezes dois
mais nove.

Quanto dará?
12 menos 24 mais nove.

Menos 12 mais nove que é menos três.

Exatamente.

Menos três será mais ou menos aqui.

Nosso gráfico da velocidade
em função do tempo

será mais ou menos assim.

Só nos interessa o tempo positivo.

Será mais ou menos assim.

Pensemos.

Isso é velocidade em função do tempo.

Quando velocidade e aceleração
são menores que zero?

Vamos pensar neste caso aqui.

Quando é esse o caso?

Ambas menores que zero.

Bom, velocidade é menor que zero
ao longo de todo esse intervalo.

Mas a aceleração não é negativa
todo esse tempo.

Lembra? Aceleração é a taxa de variação
da velocidade.

Podemos escrever que a aceleração
em função do tempo

é igual à taxa de variação da velocidade
em relação ao tempo.

Podemos dizer que a aceleração
é igual a v linha de t.

Que é o mesmo que a segunda derivada
da posição em relação ao tempo.

Pense na aceleração como a inclinação
da reta tangente da função velocidade.

Aqui, o lugar onde isso tem inclinação
pra baixo

e a curva está abaixo do eixo t

é só nesse intervalo aqui.

Entre essa raíz e o vértice.

Chegamos a esse ponto
onde a inclinação fica plana.

Nesse intervalo, t será maior que um
e menor que dois.

Respeita as restrições.

Vejamos agora, onde aceleração
e velocidade serão maiores que zero.

A velocidade é maior que zero aqui.

Mas note que a aceleração, a inclinação
aqui é negativa.

Está inclinando pra baixo.
Não serve.

Aqui a velocidade é maior que zero

e a inclinação ou a taxa de variação
da velocidade,

a aceleração também é maior que zero.

Neste intervalo aqui.

Estamos acelerando pra direita.

Neste intervalo, t é maior que três.

Quando estamos acelerando?

Entre o primeiro e o segundo segundo.

E também após o terceiro segundo.

[legendado por: Vitor Tocci]
[revisado por: José Irigon]