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수직선 위를 따라 이동하는
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어떤 입자가 있다가 가정해봅시다
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여기에 수직선을 그려볼게요
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여기에 수직선을 그려보았습니다
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수직선이 여기 0에서 시작한다고 합시다
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시간이 지날수록, 이 작은 점은
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주위로 움직일거에요
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아마 이 점은 오른쪽으로 가거나,
느려지거나, 빨라질 수 있어요
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아마 이 점은 왼쪽으로 가거나,
느려지거나 빨라질 수도 있어요
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이 점은 온갖 행동들을
할 수 있을 것입니다
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시간에 대한 함수로
이 점의 위치를 설명하기 위해
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t에 대한 함수 s를
사용할 것입니다
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시간에 대한 함수로 주어진
이 입자의 위치는
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t³ - 6t² + 9t 입니다
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정의역을 양의 시간으로
제한할 것입니다
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그래서 시간을
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0보다 크거나 같다고
할 것입니다
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이제 여기에서 우리의 질문은
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언제 이 입자가 빨라지는지입니다
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그래서 언제 속도가 커집니까?
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약간의 설명이 필요한
것처럼 보입니다
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빨라진다는 것은
무슨 뜻입니까?
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두 가지 경우가 있습니다
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이미 입자가
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오른쪽으로 움직이고
있는 것입니다
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이 점이 오른쪽으로 이동하는지
알 수 있는 방법은
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속도가 0보다 큰지
보는 것입니다
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이 점이 오른쪽으로
움직이고 있고
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또한 오른쪽으로
가속하고 있다면
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가속도 또한 0보다 크다면
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속도가 커지고 있는
상황입니다
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속도가 점점 빨라지는
또 다른 상황으로는
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왼쪽으로 이동하고
있는 것입니다
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이 상황에서, 속도는
음수일 것입니다
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속도가 음이고
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음의 방향으로 더
빨리 가고 싶다면
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가속도 또한 음일 것입니다
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이로 인해 속도는
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시간이 지날수록 점점
음이 될 것입니다
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그래서 입자가 빨라지려면
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가속도 또한 음이
되어야 합니다
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여기서 또 다른 조합이
만들어질 수 있는데
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속도는 음이지만
가속도는 양이라면
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이는 속도의 음의 값이
점점 줄어들고 있거나
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왼쪽으로 가려는 힘이
줄어들고 있다는 것입니다
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이와 반대로, 속도가 양이고
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가속도가 음인 경우에는
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오른쪽으로 이동하고 있지만
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오른쪽으로 가는 속도가
줄고 있다는 뜻입니다
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이 두 가지 상황에
대해 생각해봅시다
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여기서 속도가 매우
중요한 역할을 하기 때문에
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다시 상기시켜보세요
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도함수는 단지
변수에 대한
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변화율입니다
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그래서 위치 함수가 주어졌고
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시간에 대한 위치의 도함수가 있다면
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이는 정말로 단지
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시간에 대한 위치의 순간적인
변화율만 알려주는 것일까요?
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시간에 대한 위치의
변화율은 무엇일까요?
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그것은 바로 속도 함수입니다
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이는 t에 대한 v로 표현할
수 있는 속도 함수입니다
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t에대한 s' 이라고도
쓸 수 있으며
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ds/dt라고도 쓸 수 있는
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시간에 대한 속도
함수라는 것입니다
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이제 이 함수식의
도함수를 살펴봅시다
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시간에 대하여 주어진
속도 함수는
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3t² - 12t + 9 가 될 것입니다
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이 속도 함수를 그래프에 그려서
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알아도록 합시다
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언제 속도가 양입니까?
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언제 음입니까?
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그리고 그 구역 내에서
가속도는 어떻습니까?
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그래프를 더 쉽게 그릴 수 있도록
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시간이 0일 때의 값인
v-절편을 구해보면
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9가 되는 것을 알 수 있습니다
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이는 그래프 그리는 데에
도움이 될 것입니다
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이 곳이 수직축과
교차하는 곳입니다
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또한
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t-축과는 어디서 교차하는지
알아봅시다
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v의 값이 0이 되도록
해봅시다
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즉 3t² - 12t + 9 = 0 이라는 것입니다
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봅시다
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이를 간단히 하기 위해서
양변을 3으로 나누겠습니다
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그러면 t² - 4t + 3 = 0 을
얻을 수 있습니다
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이제 인수분해가 되겠네요
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봅시다
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어떤 두 수의 곱이 3이 되고
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합이 -4가 될 수 있을까요?
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결과는 (t-3)×(t-1) 이
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0이 되는 것입니다
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어떻게 이 표현이
0이 될 수 있을까요?
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이 두 항 중 하나가 0이
되려면 t-3=0 이거나
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t-1=0 이 되어야 합니다
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그래서 t는 3이거나
1이라는 것입니다
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t가 3 또는 1이라면
두 항 중 하나는 0이거나
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위에 있는 전체 식이
0이라는 뜻입니다
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t² 항의 계수가 양수이므로
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아래로 볼록한 포물선이
나타날 것입니다
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시간에 대한 함수로 속도를
좌표에 표현해 봅시다
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이것이 속도 축입니다
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여기에 있는 것은 시간 축입니다
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단위가 초라고 가정하고
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1 간격으로 2,3,4도 찍겠습니다
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간격을 조금 더 넓히겠습니다
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1과 3이 중요하기 때문입니다
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세로 축의 범위를
약간만 좁히겠습니다
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여기는 9의 속도를 가집니다
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즉 t가 0일 때
속도는 9라는 것입니다
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t=1일 때 속도는 0일 것입니다
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여기서 알 수 있습니다
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3 - 12 + 9 는 0입니다
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그리고 t=3일 때 속도는 다시 0입니다
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꼭짓점은 이 두 점 사이인
t=2 에 있을 것입니다
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0의 값을 가지는 두 지점의 중간에 말입니다
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원한다면 그 때의 속도는 얼마인지
알아볼 수도 있습니다
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3 × 4 - 12 × 2 + 9 입니다
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답이 무엇입니까?
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계산하면 12 - 24 + 9 이므로
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-12 + 9가 되어
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-3이 되겠습니다
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-3의 값을 그래프에 그려보면
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이렇게 될 것입니다
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그래서 시간에 대한 속도
함수의 그래프는
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이렇게 생긴 것입니다
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양의 시간만 고려하기로 했습니다
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이렇게 생긴 그래프입니다
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생각해봅시다
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이것은 속도임을 기억하세요
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시간에 대한 함수로 나타내어진
속도입니다
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언제 속도가 0보다
작아지는지 생각해봅시다
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언제 가속도가 0보다
작아지는지도 말입니다
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이 상황에 대해 생각해봅시다
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이것은 어떤 상황입니까?
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속도와 가속도가 모두 0보다
작은 상황입니다
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속도가 0보다 작을 때는
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움푹 패인 구역 전체입니다
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하지만 가속도는 계속
0보다 작지는 않습니다
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속도의 변화량이 가속도인
것을 꼭 기억하세요
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시간에 대한 함수로
가속도를 표현할 수 있고
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시간에 대한 함수로
가속도를 표현할 수 있고
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이는 시간에 대한 속도의
변화량과 같습니다
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또는 가속도는
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t에 대한 v' 이라 적어도 되는데 이는
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시간에 대한 위치의
2차 도함수라는 것입니다
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그래서 가속도는 실제로
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속도 함수의 접선의 기울기라고
생각하셔도 됩니다
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아래로 향하는 기울기인
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음의 기울기를 가졌고
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곡선이 t-축 아래에 있는 부분은
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이 구간밖에 없습니다
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0의 값을 가지는 이 지점과
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꼭짓점 사이 구간 말입니다
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기고는 기울기가 평평해지겠네요
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여기의 이 구간은
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t가 1보다는 크고
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2보다는 작을 것입니다
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이 제한 범위를 가지네요
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이제 속도가 0보다 크고
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가속도가 0보다 클 때의
상황을 생각해봅시다
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이 부분에서 속도가 0보다 큽니다
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하지만 가속도인 접선의
기울기는 이 부분에서 음입니다
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아래로 향하는 기울기이므로
이 부분은 해당되지 않습니다
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이 부분의 속도는 0보다 크고
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속도의 기울기이자 속도의 변화율인
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가속도 또한 0보다 큽니다
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이 부분이 바로
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오른쪽으로 빨라질
때의 구간입니다
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이 구간은 t가 3보다 큽니다
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그래서 언제 빨라집니까?
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1초와 2초 사이에서 빨라지고
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3초 이후부터 계속 빨라집니다
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