数学のクラスでだらだら: 無限象

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あなたは私で，あなたはまた数学のクラスにいます．

というのも，大人達がそうするように
しむけるからです．毎日，毎日．

そしてあなたが習っているのは -- 何かわかりませんが．

無限級数の和でしょうか．

これは高校のトピックです，そうでしょう?

これはちょっと変です．
なぜならこれはクールなトピックだからです．

しかしともかく大人達はどうにかして
これを台無しにすることに成功します．

だから多分,無限級数についての話がカリキュラムに
入ることを許されたのでしょう．

よくわかる理由からあなたには気晴らしが必要なので，

ノートにいたずら書きをしながら

今の授業のトピックよりも，

級数(series)の複数形は何だろうかと考えたりします．

"Serieses," "seriese," "seriesen," それとも "serii?"

それともこの単語には単数形しかなくて変化しない?

1つの "serie," それとも "serus," あるいは "serum?"

これではまるで "sheep(羊)" の単数が
"shoop" でなくてはいけないみたいです．

しかし 1/2 +1/4 +1/8 +1/16 が続いていくとそれが

1 に近づくというような考え全体は

象が一列になっている様子を書くのにとても便利です．

それぞれの象は次の象のしっぽをつかんでいます．

普通の象，若い象，

ベイビー象，犬サイズの象，子犬サイズの象．．．

ミスター・タスクス(訳注:あるコミックの登場者)さん，
そしてさらにもっと．．．

これは少なくともちょっとは素敵です．

それはこの線の上には，無限の数の象がいて，

それでもこのノートの1ページに
おさまっているからです．

しかしこの場合には質問があるでしょう．たとえば，

「もし『らくだ』だったらどうなんでしょう．
そのらくだが

象よりも小さかったら，

ページの1/3位しかいかないでしょうか?」

ページの端までいくには，

次のらくだはどのくらい大きくなくては
いけないでしょうか?

もちろんあなたはこの質問の答えを
計算することができます．

それが計算できるというのはクールですね．

でも実は私はそんなに計算することに
興味があるわけではありません．

らくだに戻りましょう．

これはフラクタルです．

ここにある円からはじめます．

円の中に，

大きい円を書き続けます．

それはこの間の空間にはまります．

これは「アポロニウスのガスケット」と言います．

違う円から始めることもできます．

それでもやっぱり上手くいきます．

これはある種の人々にはよく知られています．

というのも，円の相対曲率などの，

それはなかなかすてきなものですが，

とても面白い性質があるからです．

しかしまた，見た目もクールですし，

すごいいたずら書きゲームができます．

ステップ1:

何でもいいので形を描きます．

ステップ2:

その形の中に描ける最大の円を描きます．

ステップ3:

形の中に残った所に描ける

最大の円を描きます．

ステップ4:

ステップ3に戻ります．

最初の円を描いた後に残ったスペースがある限り，

つまり，円で始めなくても，

この方法はどんな形でもフラクタルにしてしまいます．

これを3角形ですることもできます．

星でもできます．飾りつけを忘れずに!

象でもできます．蛇でも，

あなたの友達の横顔でもできます．

私はアブラハム・リンカーンにしました!

これはすごい．

OK, しかし円以外の他の形ではどうなんでしょうか．

たとえば，正3角形は?

これで他の3角形を埋めます．これは上手くいきます．

というのも埋めている3角形は，外側の3角形の

逆方向を向いているからです．
(そして方向は重要です．)

これは私達の友人「シェルピンスキーの3角形」です．

ところで，それはアブラハム・リンカーンでも
できます．

しかし3角形はこの場合美しくおさまります．

しかし特別な場合があります．

そしてそれが3角形では問題です．

3角形はいつも気持ちよくおさまるわけではありません．

たとえば，この泡のような形では，

最大の正3角形にはこの寂しい離れた角があります．

そしてもちろん，これでこの楽しい落書きゲーム

をやめる必要はありません．

しかしこの場合には円でのゲームにあった美しさが
何か欠けている気がします．

または，最大のものを描くために，3角形の方向を

変更することができたらどうでしょうか?

あるいは，もう正3角形に限らないことに
したらどうでしょうか?

そうですね．多角形の場合，

このゲームはとても早く終わってしまいます．
ですからあまり良くありません．

しかし曲がった，複雑な形の時，

このプロセスそのものが難しくなります．

どうやったら一番大きな3角形を
みつけられるでしょうか?

どの3角形が一番面積が大きいのかは
そんなに明らかではありません．

特に形がよく定義されていないような
形から始める場合はそうです．

これはある意味興味ある質問です．

なぜなら正しい答えが「ある」からです．

しかしもしあなたが与えられた形で
他の形を埋めるような

コンピュータのプログラムを書く時には，

たとえ簡単なバージョンのルールに従う時でも

何か計算機科学を勉強する必要があるでしょう．

あなたが3角形や4角形を越えて，

あるいは象を越えていくことに
私は確信を持っています．

しかし円はすばらしいです．なぜなら，

それは単にすばらしく丸いからです．

では，ちょっとした脇道のだらだらチャレンジです:

円は3点から定義できます．

では3つの任意の点を描いて，そして

それを通る円をみつけましょう．

さて，円のゲームで私が面白いと思うのは，

このような「コーナー」のようなものがある時です．

こういうものがあると，

無限の円がその先にできることがわかるでしょう．

つまり，これらの無限の円のそれぞれに対して，

さらに小さなコーナーが作られます．

それらは皆無限の円が必要になります．

そしてまたこれらの全てに．．．と続きます．

信じられない数の円がさらに円を
生むことがわかるでしょう．

そしてあなたはいかに無限が密なのかを
見ることができるでしょう．

それでも，驚異的なことはこのような無限が，

一番小さな可算無限でしかないということです．
そして，

もっと度肝を抜くようなさらに
無限の無限があることです．

しかしちょっと待って，ここに興味深いことがあります:

もしあなたがこの距離 を「ある任意の単位長さ」
とするとしたら，

この距離たす「これ」点点点．．．

は「1」に近づく無限数列です．

そしてここには他の，それもまた1に近づく
違った数列があります．

そしてここにも，ここにも．

外側の形さえちゃんと定義されていれば，

その数列も同様にちゃんと定義されます．

しかしもし「簡単な」種類の数列が欲しければ，

それぞれの円の直径が

前の円のあるパーセンテージのものを
使うことができます．

するとそれは直線になります．
もしあなたが直線の傾きが

どう定義されているかを知っていれば，
それは当然ですね．

これはいいです．なぜならそれは「素敵」で，

数学的で，計算せずに，だらだら書きの方法で

らくだの問題を解く方法を示唆しているからです．

らくだの代わりに，円があります．

右に無限の数列を単に角を書くことで
作ることができます．

それはこのページの端で終わります．
そしてその中を埋めましょう．

円をらくだで置きかえれば，ほら!

無限のサハラキャラバン，

はるか彼方に消えていく，

数を全然使う必要がありません!

では，私は無限の情報を

あなたのために最後の文にいれてみせましょう．

多分，まだ最後の 5 秒に入るでしょう．

もし私が次の言葉を2倍の速さで言えば，

(そしてその次の言葉を2倍の速さで言えば，)

(そしてその次の言葉を2倍の ... 高いピッチの声 )