Introduction to the Null Space of a Matrix
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0:01 - 0:04我们再来复习一下子空间
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0:04 - 0:06然后来看看是不是我们可以定义一些有趣的
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0:06 - 0:08处理矩阵和向量的子空间
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0:08 - 0:15所以一个子空间――比如我有某个子空间
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0:15 - 0:18哦 就称它为子空间S吧
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0:18 - 0:21如果下述条件成立它就是子空间――
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0:21 - 0:24这都是复习――0向量――
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0:24 - 0:26我这样来讲――
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0:26 - 0:280向量 是属于S的
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0:28 - 0:30所以它包含0向量
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0:30 - 0:36然后如果v1和v2都在子空间内
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0:36 - 0:43则v1加上v2也在子空间内
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0:43 - 0:44这就是说
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0:44 - 0:46子空间在加法下是封闭的
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0:47 - 0:48你可以相加任何两个向量
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0:48 - 0:50你就会得到子空间内的另一个向量
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0:50 - 0:52然后最后一点 如果你还记得
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0:52 - 0:54就是子空间在乘法下封闭
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0:54 - 1:00使得如果c是实数 它是一个标量
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1:00 - 1:01如果我乘以
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1:01 - 1:05v1是子空间内的向量
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1:05 - 1:08则如果我将任意的实数
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1:08 - 1:11与这个子空间内的向量相乘
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1:11 - 1:14就是v1我就得到子空间内的另一个向量
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1:14 - 1:16所以它在乘法下封闭
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1:16 - 1:18这些都是子空间的性质
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1:18 - 1:20这就是子空间的定义
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1:20 - 1:21如果你称某个东西是子空间
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1:21 - 1:23这些条件必须都满足
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1:23 - 1:25现在我们来看看是否能做一些有趣的
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1:25 - 1:29关于矩阵向量乘法的理解的东西
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1:29 - 1:32比如我有矩阵A――
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1:32 - 1:35我写成漂亮的黑体
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1:35 - 1:38它是一个m×n的矩阵
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1:38 - 1:40我对于下述东西很感兴趣
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1:40 - 1:44我要建立齐次方程
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1:44 - 1:46我们要来讲一讲它为什么是齐次的
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1:46 - 1:48好 我等一会儿再说
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1:48 - 1:50我们先来建立这个方程
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1:50 - 1:59矩阵A乘以向量x等于0向量
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1:59 - 2:02这是齐次方程
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2:02 - 2:04因为这里有一个0
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2:08 - 2:09我要问――
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2:09 - 2:10我在讲子空间
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2:10 - 2:13如果我取所有的x――
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2:13 - 2:17如果我取全体所有的
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2:17 - 2:21所有满足这个方程的x的集合
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2:21 - 2:23这是一个子空间吗？
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2:23 - 2:26我们来考虑一下
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2:26 - 2:31我要取所有的Rn中的x
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2:31 - 2:35记住 如果矩阵A有n列
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2:35 - 2:36则我定义了
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2:36 - 2:38矩阵乘法
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2:38 - 2:41如果x有r个分量
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2:41 - 2:43如果x有n个分量
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2:43 - 2:45那才是有定义的
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2:45 - 2:46我来定义一个集合
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2:46 - 2:48包含所有Rn中的向量
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2:48 - 2:51它们满足
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2:51 - 2:54方程A乘以x
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2:54 - 2:57等于0
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2:57 - 3:00我的问题是 这是一个子空间吗？
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3:00 - 3:04这是一个成立的子空间吗？
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3:04 - 3:07第一个问题是 它包含0向量吗？
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3:08 - 3:10要是它包含0向量
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3:10 - 3:13那么0向量必须满足这个方程
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3:13 - 3:20任何一个m×n的矩阵A乘以0向量是多少？
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3:20 - 3:24我们来写出矩阵A_
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3:24 - 3:29矩阵A a11 a12
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3:29 - 3:31直到a1n
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3:31 - 3:34然后这个 向下的列
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3:34 - 3:36我们向下直到am1
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3:36 - 3:38然后向下直到
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3:38 - 3:39这里 到amn
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3:39 - 3:46我要将这个和0向量相乘
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3:46 - 3:47这个有n个分量
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3:47 - 3:51所以0向量的n个分量是0 0
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3:51 - 3:54有n个0
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3:54 - 3:56这里的分量数必须
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3:56 - 3:58和列数是相同的
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3:58 - 4:01但是当你取积的时候
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4:01 - 4:03这个矩阵向量积 得到的是什么？
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4:03 - 4:06我们得到了什么？
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4:06 - 4:10好 上面的第一项是a11乘以0
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4:10 - 4:14加上a12乘以0 加上这里的每一项乘以0
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4:14 - 4:16你把它们都加起来 a11乘以0
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4:16 - 4:21加上a12乘以0 直到a1n乘以0
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4:21 - 4:22所以结果是0
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4:22 - 4:29现在这一项是a21<i>0 加上a22</i>0
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4:29 - 4:32加上a23<i>0 直到a2n</i>0
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4:33 - 4:34这个 明显地 是0
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4:34 - 4:36继续这样做
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4:36 - 4:38因为所有这些都是 实际上――
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4:38 - 4:40你可以把它看做是点积――
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4:40 - 4:44我没有定义行向量
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4:44 - 4:48与列向量的点积 但我想你应该理解――
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4:48 - 4:50这些每个元素 乘以
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4:50 - 4:53这个向量对应的分量
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4:53 - 4:55当然啦 你总是以0相乘
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4:55 - 4:56然后相加
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4:56 - 4:58所以你什么也没得到 只是一串0
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4:58 - 5:01所以0向量满足这个方程
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5:01 - 5:05即A乘以0向量等于0向量
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5:05 - 5:07这是非常不寻常的标志
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5:07 - 5:08我把它写成这样
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5:08 - 5:09因为我不喜欢
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5:09 - 5:10总是把0写成黑体
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5:11 - 5:12来使得你们认出它是一个向量
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5:12 - 5:14所以我们证明了第一点成立
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5:14 - 5:170向量是这个集合中的一个元素
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5:17 - 5:21我来定义我的集合
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5:21 - 5:23我定义它为
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5:23 - 5:25我等一会儿再告诉你们为什么我称它为
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5:25 - 5:27那么现在我们知道了0向量
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5:27 - 5:32是集合N中的一个元素
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5:32 - 5:35现在比如我有两个向量
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5:35 - 5:38即v1和v2它们是――
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5:38 - 5:39我写下来
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5:39 - 5:43比如说我有两个向量 v1和v2
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5:43 - 5:49它们都是这个集合中的元素
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5:49 - 5:50这意味着什么？
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5:50 - 5:52这意味着它们都满足这个方程
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5:52 - 5:56这就意味着A――矩阵A――
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5:56 - 5:58乘以向量v1是0
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5:58 - 6:00这是由定义得到的
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6:00 - 6:02它们是这个集合中的元素
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6:02 - 6:03这就意味着它们必须满足这个
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6:03 - 6:07字这也就意味着A乘以向量v2
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6:07 - 6:10是0向量
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6:10 - 6:13要使这个在加法下封闭
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6:13 - 6:21A乘以向量v1加上向量v2
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6:21 - 6:23这两个向量的和
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6:23 - 6:24应该是N中的一个元素
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6:24 - 6:26但我们来看看它是什么
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6:26 - 6:28这两个向量的和是这个向量
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6:28 - 6:29这个等于――
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6:29 - 6:30我还没有证明这个
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6:30 - 6:32我没有做证明这个的视频
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6:32 - 6:33但证明这个很简单
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6:34 - 6:35仅由矩阵向量乘法的定义就可以
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6:35 - 6:37由矩阵向量乘法
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6:37 - 6:40可以发现分配律
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6:40 - 6:42或许我应该做一个关于这个的视频 但严格来说
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6:42 - 6:44你仅需要理解
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6:44 - 6:45每一项的结构
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6:45 - 6:50这个等于Av1加上Av2
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6:50 - 6:53我们知道这个等于0向量
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6:54 - 6:55而这个也等于0向量
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6:55 - 6:58如果你将0向量和它本身相加
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6:58 - 7:01这个全体还是0向量
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7:01 - 7:06所以如果v1是N中的元素 v2也是N中的元素
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7:06 - 7:08就是说它们都满足这个方程
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7:08 - 7:11那么v1加上v2也仍然是N中的元素
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7:11 - 7:13因为当我将A与它相乘时
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7:13 - 7:14我又得到了0向量
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7:14 - 7:18我把这个结果也写下来
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7:18 - 7:31我们现在知道哦v1+v2也是N中的元素
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7:31 - 7:33而我们要说明的最后一点
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7:33 - 7:35就是它在乘法下封闭
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7:35 - 7:41比如说v1是我们定义的空间中的元素
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7:41 - 7:44它满足这个方程
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7:44 - 7:49那么c*v1呢？
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7:49 - 7:53它是N中的元素吗？
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7:53 - 7:55好 我们来看看
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7:55 - 8:00矩阵A乘以这个向量是什么 好
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8:00 - 8:01我要将这个和这个标量相乘
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8:01 - 8:02我要算得另一个向量
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8:02 - 8:05我不想写大写的V
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8:05 - 8:06小写的v 它是一个向量
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8:06 - 8:08这个等于什么？
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8:08 - 8:11好 再一次地 我没有证明
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8:11 - 8:12但它是一个非常直接的结论
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8:12 - 8:16说明了当你处理标量时
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8:16 - 8:18如果你有一个标量
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8:18 - 8:20你是在与矩阵相乘之前将这个标量
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8:20 - 8:24与向量相乘
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8:24 - 8:26或是将这个矩阵先乘以向量
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8:26 - 8:27然后再算标量都没有关系
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8:27 - 8:30所以要证明
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8:30 - 8:34这个等于c乘以矩阵A是很显然的――
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8:34 - 8:37我把它写成漂亮的黑体 乘以向量v
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8:37 - 8:40这两个是相等的
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8:40 - 8:43或许我应该在视频里讲一讲这一点
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8:43 - 8:44但还是留给你们做吧
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8:44 - 8:46你 按部就班地 理解
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8:46 - 8:48分量与分量的机理
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8:48 - 8:49然后就会明白了
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8:49 - 8:53但很显然地 如果这是真的 我们已经知道v1
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8:55 - 8:58是这个集合中的元素
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8:58 - 9:01这就意味着A乘以v1是0向量
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9:01 - 9:04所以这个就意味着
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9:04 - 9:07这个就化简成c0
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9:07 - 9:08仍然是0
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9:08 - 9:14所以cv1是N中的元素
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9:14 - 9:15所以它在乘法下是封闭的
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9:15 - 9:18我先假定这个是成立的
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9:18 - 9:20但或许我要在另一个视频里证明这个
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9:20 - 9:21但我要做这些来说明
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9:21 - 9:25这个集合N是一个子空间
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9:25 - 9:27这是一个子空间
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9:27 - 9:28它包含0向量
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9:28 - 9:31它在加法下封闭
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9:31 - 9:32它在乘法下封闭
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9:32 - 9:34事实上我们用一个特殊的名字来称呼它
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9:34 - 9:38我们称之为 我们称
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9:38 - 9:46为A的零空间
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9:46 - 9:49或许我们可以把A写成――
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9:49 - 9:51或许我不应该写成
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9:51 - 9:52我们来用橙色吧
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9:52 - 9:56橙色的N等于――
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9:56 - 9:59这个的含义就是A的零空间
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9:59 - 10:01或许我们可以讲零空间写成是
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10:01 - 10:03橙色的N 而按照字面含义
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10:03 - 10:05如果我给出任意矩阵A
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10:05 - 10:10我说 嘿 给我找到A的N 那是什么？
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10:10 - 10:14照字面意义 你的目标是要找到所有
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10:14 - 10:19满足方程Ax=0的x构成的集合
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10:19 - 10:22我要在下一个视频中来讲解
- Title:
- Introduction to the Null Space of a Matrix
- Description:
-
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- Video Language:
- English
- Team:
Khan Academy
- Duration:
- 10:23
|
Fran Ontanaya edited Chinese (Simplified, China) subtitles for Introduction to the Null Space of a Matrix |