-
-
-
Altuzay kavramını tekrar edelim.
-
Sonra da, matris ve vektörlerle ilgili altuzaylar tanımlamaya çalışalım.
-
-
-
-
-
S adında bir altuzayım olduğunu varsayayım.
-
Bunun altuzay olması için şu koşullar sağlanmalı: 0 vektörü S'nin elemanı olmalı.
-
-
-
-
-
S, 0 vektörünü kapsar.
-
Ayrıca, v 1 ve v 2 altuzayın elemanlarıysa, v 1 artı v 2 de altuzayın elemanıdır.
-
-
-
Bu, altuzayın toplama işlemine göre kapalı olduğu anlamına geliyor.
-
-
-
İki elemanını topladığınızda, altuzayın bir başka elemanını elde ediyorsunuz.
-
-
-
Hatırlarsanız, son koşul da, altuzayın çarpma işlemine göre kapalı olmasıydı.
-
-
-
c bir reel sayı ise, bir skalerse, ve v 1 altuzayın bir elemanı ise, c ile v 1'i çarptığım zaman, altuzayın bir başka elemanını elde ederim.
-
-
-
-
-
-
-
-
-
Yani, altuzay çarpmaya göre kapalı.
-
Altuzayın anlamı böyleydi.
-
Altuzay tanımımıza göre, bunların doğru olması lazım.
-
-
-
-
-
Şimdi, matris vektör çarpımıyla ilgili ilginç bir şeyler yapmaya çalışalım.
-
-
-
Bir A matrisimiz var, diyelim. m n matrisi.
-
-
-
Bir homojen denklem kurmak istiyorum.
-
-
-
Niye homojen olmasını istediğimi birazdan size anlatacağım.
-
-
-
Denklemi kuralım.
-
A matrisi çarpı x vektörü eşittir 0 vektörü.
-
Burada 0 olduğu için, bu homojen bir denklem.
-
-
-
-
-
Altuzaylar hakkında konuştuğumuza göre, şu soruyu sormak istiyorum:
-
-
-
Bu denklemi sağlayan tüm x'leri alırsam, bütün bu x'lerin kümesi geçerli bir altuzay oluşturur mu?
-
-
-
-
-
Şimdi bunu düşünelim.
-
R n'nin elemanı olan tüm x'leri almak istiyorum.
-
Eğer matrisimizin n adet sütunu varsa, x'in n bileşeni olması gerekir. Ancak bu şekilde matris vektör çarpımı tanımlı olur.
-
-
-
-
-
-
-
Şimdi, R n'nin elemanı olan ve A çarpı x eşittir 0 vektörü denklemini sağlayan tüm vektörlerin kümesini tanımlayayım.
-
-
-
-
-
Size sorum, bu bir altuzay mıdır?
-
Bu geçerli bir altuzay mıdır?
-
Yani, birinci sorum, bu küme 0 vektörünü kapsar mı?
-
0 vektörünü kapsaması için, 0 vektörünün bu denklemi sağlaması lazım.
-
-
-
Herhangi bir m n matrisinin 0 vektörüyle çarpımının sonucu nedir?
-
-
-
A matrisini yazayım: a 1 1, a 1 2, a 1 n'ye kadar.
-
-
-
-
-
Ve, sütun boyunca indiğimizde, a m 1'e kadar gideriz.
-
-
-
Sağ alt köşeye gidersek de, a m n'ye ulaşırız.
-
-
-
Bunu n bileşenli bir 0 vektörüyle çarpacağım.
-
-
-
Bu 0 vektörünün n adet sıfırı olacak.
-
-
-
Buradaki bileşen sayısının sütun sayısıyla aynı olması lazım.
-
Peki, bu çarpımı aldığınızda ne elde edersiniz?
-
-
-
-
-
Ne elde ederiz?
-
Birinci terim, a 1 1 çarpı 0 artı a 1 2 çarpı 0 artı bu terimlerin her biri çarpı 0 olacak.
-
-
-
-
-
Bunları topladığımızda, a 1 1 çarpı 0 artı a 1 2 çarpı 0, a 1 n çarpı 0'a kadar, 0 elde ederiz.
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
Şimdi bu terim: a 2 1 çarpı 0 artı a 2 2 çarpı 0 artı a 2 3 çarpı 0, a 2 n çarpı 0'a kadar.
-
-
-
-
-
-
-
-
-
Bu da 0 olacak.
-
Her ne kadar satır vektörüyle sütun vektörü arasındaki iç çarpımı henüz tanımlamış olmasak da, olayı anladığınızı düşünüyorum, bileşenlerin karşılıklı çarpımlarının toplamını almaya devam ediyoruz.
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
Ve, tabii ki, her seferinde 0'la çarpıp topluyoruz.
-
-
-
Bu nedenle, sadece 0'lar elde edeceğiz.
-
Yani, 0 vektörü denklemi sağlar.
-
A çarpı 0 vektörü eşittir 0 vektörü.
-
Bu çok alışılmadık bir notasyon.
-
0'ların vektör olduğunu belirtmek için koyu yazmaya üşendiğimden böyle yazıyorum.
-
-
-
-
-
Birinci koşulu sağladık.
-
0 vektörü kümenin bir elemanı.
-
Şimdi kümemi tanımlayayım.
-
N adını vereyim.
-
-
-
Artık 0 vektörünün N kümesinin bir elemanı olduğunu biliyoruz.
-
-
-
-
-
-
-
Şimdi, kümemizin elemanı olan v 1 ve v 2 vektörlerini alalım.
-
-
-
Bunun anlamı nedir?
-
İki vektör de bu denklemi sağlar.
-
Yani, A matrisi çarpı 1. vektör eşittir 0.
-
-
-
Tanım gereği böyle.
-
Kümenin elemanı olduğunu söylüyorsam, bu denklemi sağlaması gerekir.
-
-
-
Ayrıca, A çarpı 2. vektör de 0 vektörüne eşit.
-
-
-
Bunun toplama işlemine göre kapalı olması için, A çarpı 1. vektör artı 2. vektör, bu iki vektörün toplamının da N'nin elemanı olması gerekir.
-
-
-
-
-
Bunun ne olduğunu bulalım.
-
Bu vektörlerin toplamı, şuradaki vektördür.
-
Bunu henüz ispatlamadım.
-
-
-
Bunu ispatladığım bir video yapmadım.
-
Ama matris vektör çarpımı tanımını ve bu çarpımın dağılma özelliğini kullanarak gayet kolay bir şekilde ispatlayabiliriz.
-
-
-
-
-
Belki bu konuda bir video yaparım, ama yapmanız gereken tek şey, her terimi teker teker hesaplamak.
-
-
-
-
-
Bu eşittir A v 1 artı A v 2.
-
-
-
Ve, bunun 0 vektörüne eşit olduğunu biliyoruz.
-
Şunun da 0 vektörüne eşit olduğunu biliyoruz.
-
0 vektörünü kendiyle toplarsam, bunun tamamı 0 vektörüne eşit olur.
-
-
-
v 1 N'nin bir elemanıysa ve v 2 N'nin bir elemanıysa, bu demektir ki, ikisi de bu denklemi sağlar. O zaman, v 1 artı v 2 de N'nin bir elemanıdır.
-
-
-
-
-
Çünkü bunu A ile çarptığımda, yine 0 vektörünü elde ederim.
-
-
-
Bu sonucu da yazayım.
-
-
-
v 1 artı v 2'nin de N'nin elemanı olduğunu öğrendik.
-
Göstermemiz gereken en son şey, N'nin çarpmaya göre kapalı olduğu.
-
-
-
v 1'in altuzayımızın bir elemanı olduğunu varsayalım. Yani, v 1 bu denklemi sağlar.
-
-
-
Peki, c çarpı v 1?
-
Bu, N'nin elemanı mı?
-
Düşünelim.
-
-
-
Bu vektörü sadece skalerle çarptım.
-
Sonuçta bir başka vektör elde ederim.
-
-
-
Küçük v yazayım, vektör olduğu belli olsun.
-
Bu neye eşit?
-
Size bunu ispatlamadım, ama ispatı gayet kolay.
-
-
-
Skalerlerle işlem yaparken, burada bir skaler varsa, önce vektörü skalerle çarpıp sonra matrisle çarpmak veya önce vektörü matrisle sonra skalerle çarpmak sonucu değiştirmez.
-
-
-
-
-
-
-
-
-
Yani, bu eşittir c çarpı A matrisi çarpı v vektörü.
-
-
-
-
-
Bu iki ifade birbirine denk.
-
Belki bu konuyla ilgili bir video yapmalıyım. Ama, şimdilik ispatı size bırakıyorum.
-
-
-
Tek tek bileşenleri hesapladığınızda, bunu göstermiş oluyorsunuz.
-
-
-
-
-
v 1 kümemizin elemanı olduğu için, A çarpı v 1'in 0 vektörüne eşit olduğunu biliyoruz.
-
-
-
-
-
Bu demektir ki, bu ifadeyi c çarpı 0 vektörüne indirgeyebiliriz, ki bu da 0 vektörüdür.
-
-
-
Yani, c v 1 de N'nin elemanıdır.
-
-
-
Buna göre, N çarpma işlemine göre kapalıdır.
-
Burada varsayımda bulundum.
-
Belki bunu başka bir videoda ispatlarım.
-
Bütün bunları, N kümesinin geçerli bir altuzay olduğunu göstermek için yaptım.
-
-
-
Bu, geçerli bir altuzay.
-
0 vektörünü kapsar.
-
Toplama işlemine göre kapalıdır.
-
Çarpma işlemine göre kapalıdır.
-
Aslında, bu küme için özel bir adımız var.
-
N kümesine A'nın boşuzayı deriz.
-
-
-
-
-
-
-
Boşuzayın notasyonu böyle.
-
-
-
Size herhangi bir A matrisi versem ve bu matrisin boşuzayını bulmanızı istesem, neyi bulmanızı istemiş olurum?
-
-
-
-
-
-
-
A çarpı x eşittir 0 denklemini sağlayan x'lerin kümesini bulmanızı istemiş olurum.
-
-
-
Bunu bir sonraki videoda yapacağım.
-
-
Khan Academy
