< Return to Video

Introduction to the Null Space of a Matrix

  • 0:00 - 0:01
    -
  • 0:01 - 0:04
    ลองทบทวนแนวคิดเรื่องสับสเปซกันอีกครั้งหนึ่ง
  • 0:04 - 0:06
    แล้วลองดูว่าเราจะนิยามสับสเปซ
  • 0:06 - 0:09
    ที่น่าสนใจโดยใช้เมทริกซ์กับเวกเตอร์ได้ไหม
  • 0:09 - 0:16
    สับสเปซ -- สมมุติว่าผมมีสับสเปซ -- โอ้,
  • 0:16 - 0:18
    ขอผมเรียกมันว่าสับสเปซ s นะ
  • 0:18 - 0:21
    นี่คือสับสเปซหากเงื่อนไขต่อไปนี้เป็นจริง -- และ
  • 0:21 - 0:26
    นี่เป็นการทบทวน -- เงื่อไนขคือว่า ถ้าเวกเตอร์ 0 -- ผมจะทำ
  • 0:26 - 0:28
    แบบนั้นะ -- เวกเตอร์ 0, เป็นสมาชิกของ s
  • 0:28 - 0:30
    มันบรรจุเวกเตอร์ 0 อยู่
  • 0:30 - 0:37
    แล้วถ้า v1 กับ v2 เป็นสมาชิกของสับสเปซผมทั้งคู่, แล้ว
  • 0:37 - 0:43
    v1 บวก v2 จะเป็นสมาชิกของสับสเปซผมด้วย
  • 0:43 - 0:46
    นั่นก็แค่บอวก่า สับสเปซ
  • 0:46 - 0:47
    มีสมบัติปิดภายใต้การบวก
  • 0:47 - 0:49
    คุณสามารถบวกสมาชิกสงอตัวใดๆ แล้วคุณจะได้
  • 0:49 - 0:50
    สมาชิกของสับสเปซอีกตัวหนึ่ง
  • 0:50 - 0:53
    แล้วสิ่งที่จำเป็นอย่างสุดท้าย, ถ้าคุณจำได้, คือว่า
  • 0:53 - 0:55
    สับสเปซมีสมบัติปิดภายใต้การคูณ
  • 0:55 - 1:00
    คือว่าถ้า c เป็นจำนวนจริง, และมันคือสเกลาร์
  • 1:00 - 1:05
    แล้วถ้าผมคูณ, และ v1 เป็นสมาชิกของสับสเปซผม, แล้วถ้า
  • 1:05 - 1:10
    ผมคูณจำนวนจริงใดๆ ด้วยสมาชิกของสับสเปซผม,
  • 1:10 - 1:13
    v1, ผมจะได้
  • 1:13 - 1:14
    สมาชิกของสับสเปซอีกตัวหนึ่ง
  • 1:14 - 1:16
    มันมีสมบัติปิดภายใต้การคูณ
  • 1:16 - 1:18
    นั่นคือเรื่องของสับสเปซทั้งหมด
  • 1:18 - 1:20
    นี่คือนิยามของสับสเปซ
  • 1:20 - 1:21
    ถ้าคุณเรียกอะไรสักอย่างว่าสับสเปซ
  • 1:21 - 1:23
    พวกนี้ต้องเป็นจริง
  • 1:23 - 1:25
    ทีนี้ลองดูว่าเราจะทำอะไรน่าสนใจ
  • 1:25 - 1:29
    เกี่ยวกับวิธีที่เราเข้าใจ เกี่ยวกับการคูณเมทริกซ์เวกเตอร์บ้าง
  • 1:29 - 1:34
    สมมุติว่าเรามีเมทริกซ์ A -- ผมจะทำให้มันใหญ่
  • 1:34 - 1:38
    และหนา -- มันคือเมทริกซ์ขนาด m คูณ n
  • 1:38 - 1:41
    และผมสนใจสถานการณ์ต่อไปนี้: ผมอยาก
  • 1:41 - 1:44
    ตั้งสมการเอกพันธ์ขึ้นมา
  • 1:44 - 1:47
    และเราจะพูดถึงว่าคำตอบต้องเอกพันธ์ด้วย
  • 1:47 - 1:48
    ผมจะบอกคุณเร็วๆ นี้
  • 1:48 - 1:50
    สมมุติว่าเราตั้งสมการขึ้นมา
  • 1:50 - 2:00
    เมทริกซ์ A คูณเวกเตอร์ x เท่ากับเวกเตอร์ 0
  • 2:00 - 2:02
    นี่คือสมการเอกพันธ์
  • 2:02 - 2:04
    เพราะเรามี 0 ตรงนี้
  • 2:04 - 2:07
    -
  • 2:07 - 2:09
    และผมอยากถามว่า -- ผมได้
  • 2:09 - 2:11
    พูดถึงสับสเปซไปแล้ว
  • 2:11 - 2:16
    ถ้าผมเก็บ x ทั้งหมด -- ผมเก็บทุกอย่างในโลก
  • 2:16 - 2:20
    ในจักรวาล, เป็นเซตของ x ทุกตัว ที่เป็นไปตาม
  • 2:20 - 2:24
    สมการนี้, ผมจะยังได้สับสเปซหรือเปล่า?
  • 2:24 - 2:25
    ลองคิดเรื่องนี้ดู
  • 2:25 - 2:31
    ผมอยากได้ x ทุกตัวที่เป็นสมาชิกของ Rn
  • 2:31 - 2:35
    จำไว้, ถ้าเมทริกซ์ A ของเรามี n คอลัมน์, แล้วผม
  • 2:35 - 2:39
    จะนิยามการคูณเมทริกซ์กับเวกเตอร์ได้แบบเดียวเท่านั้น
  • 2:39 - 2:43
    ถ้า x เป็นสมาชิกของ R, ถ้า x มีองค์ประกอบ n ตัว
  • 2:43 - 2:45
    พอดี, แล้วมันถึงจะนิยามได้
  • 2:45 - 2:48
    งั้นขอผมนิยามเซตของเวกเตอร์ทุกตัว ที่เป็นสมาชิก
  • 2:48 - 2:54
    ของ Rn โดยพวกมันเป็นไปตามสมการ A คูณเวกเตอร์ x
  • 2:54 - 2:58
    เท่ากับเวกเตอร์ 0
  • 2:58 - 3:01
    คำถามของผมคือว่า, นี่เป็นสับสเปซหรือเปล่า?
  • 3:01 - 3:05
    มันเป็นสับสเปซที่ถูกต้องหรือไม่?
  • 3:05 - 3:08
    คำถามแรกคือว่า, มันบรรจุเวกเตอร์ 0 หรือเปล่า?
  • 3:08 - 3:10
    ในการที่เจ้านี่จะมีเวกเตอร์ 0,
  • 3:10 - 3:13
    เวกเตอร์ 0 ต้องเป็นไปตามสมการนี้
  • 3:13 - 3:20
    แล้ว เมทริกซ์ขนาด m คูณ n, A, คูณเวกเตอร์ 0 ได้อะไร?
  • 3:20 - 3:23
    -
  • 3:23 - 3:28
    ขอผมเขียนเมทริกซ์ออกมานะ -- เมทริกซ์ผม คือ A, a[1,1]
  • 3:28 - 3:29
    a[1,2]
  • 3:29 - 3:32
    ไปจนถึง a[1,n]
  • 3:32 - 3:34
    แล้วนี่, เมื่อเราลงไปตามคอลัมน์, เราจะ
  • 3:34 - 3:35
    ลงไปถึง a[m,1]
  • 3:35 - 3:37
    แล้วเราก็ลงไปจนถึงล่างสุด
  • 3:37 - 3:39
    ขวาสุด, เราไปถึง a[m,n]
  • 3:39 - 3:46
    และผมจะคูณมันด้วยเวกเตอร์ 0 ที่มี
  • 3:46 - 3:49
    องค์ประกอบ n ตัวพอดี
  • 3:49 - 3:53
    ดังนั้นเวกเตอร์ 0 มีองค์ประกอบ n ตัวคือ 0, 0 และ
  • 3:53 - 3:54
    เราจะได้พวกนี้ n ตัว
  • 3:54 - 3:56
    จำนวนองค์ประกอบตรงนี้ ต้องมีจำนวน
  • 3:56 - 3:59
    เท่ากับจำนวนของคอลัมน์ที่คุณมี. แต่หากคุณ
  • 3:59 - 4:02
    หาผลคูณี้, ผลคูณเมทริกซ์กับ
  • 4:02 - 4:04
    เวกเตอร์นี่, คุณจะได้อะไร?
  • 4:04 - 4:07
    เราจะได้อะไร?
  • 4:07 - 4:10
    ทีนี้, เทอมแรกนี่บนนี้จะเป็น a[1,1]
  • 4:10 - 4:11
    คูณ 0, บวก a[1,2]
  • 4:11 - 4:14
    คูณ 0, บวกแต่ละเทอมนี้คูณ 0
  • 4:14 - 4:16
    แล้วคุณบวกพวกมันเข้า. a[1,1]
  • 4:16 - 4:16
    คูณ 0, บวก a[1,2]
  • 4:16 - 4:17
    บวก a[1,2]
  • 4:17 - 4:19
    คูณ 0, จนไปถึง a[1,n]
  • 4:19 - 4:20
    แล้วคูณ 0
  • 4:20 - 4:22
    คุณจึงได้ 0
  • 4:22 - 4:26
    ทีนี้เทอมนี้จะเป็น a[2,1]
  • 4:26 - 4:28
    คูณ 0, บวก a[2,2]
  • 4:28 - 4:30
    คูณ 0, บวก a[2,3]
  • 4:30 - 4:32
    คูณ 0, ไปจนถึง a[2,n]
  • 4:32 - 4:33
    คูณ 0
  • 4:33 - 4:34
    นั่น, แน่นอน, เท่ากับ 0
  • 4:34 - 4:37
    แล้วคุณก็ทำไปเรื่อยๆ เพราะทั้งหมดนี้คือ,
  • 4:37 - 4:40
    สุดท้ายแล้ว -- คุณสามารถมองมันเป็นดอตโปรดัค
  • 4:40 - 4:44
    ของ -- ผมยังไม่ได้นิยามว่าดอตโปรดัคระหว่างเวกเตอร์แถวกับ
  • 4:44 - 4:48
    เวกเตอร์คอลัมน์ว่าคืออะไร, แต่ผมว่าคุณคงเข้าใจ -- มันคือ ผลบวก
  • 4:48 - 4:50
    ของแต่ละองค์ประกอบ, คูณกับ
  • 4:50 - 4:53
    องค์ประกอบของเวกเตอร์นี้ที่ตรงกัน
  • 4:53 - 4:55
    และแน่นอน, คุณจะคูณมันด้วย 0 เสมอแล้ว
  • 4:55 - 4:55
    บวกมันเข้า
  • 4:55 - 4:58
    คุณจะไม่ได้อย่างอื่นยกเว้น 0
  • 4:58 - 5:01
    ดังนั้นเวกเตอร์ 0 จึงเป็นไปตามสมการนี้
  • 5:01 - 5:05
    A คูณเวกเตอร์ 0 เท่ากับเวกเตอร์ 0
  • 5:05 - 5:07
    และนี่เป็นสัญลักษณ์ที่เขาไม่นิยมกัน
  • 5:07 - 5:08
    ผมเขียนแบบนั้น เพราะผมไม่อยาก
  • 5:08 - 5:11
    ทำ 0 เป็นตัวหนาตลอดเวลา คุณจะได้รู้ว่า
  • 5:11 - 5:12
    มันเป็นเวกเตอร์
  • 5:12 - 5:15
    เราตรงตามเงื่อนไขแรกเแล้ว
  • 5:15 - 5:17
    เวกเตอร์ 0 เป็นสมาชิกของเซต
  • 5:17 - 5:22
    ขอผมนิยามเซตของผมตรงนี้นะ
  • 5:22 - 5:22
    ผมนิยามมันว่า n
  • 5:22 - 5:25
    แล้วผมจะบอกคุณทีหลังว่าทำไมผมถึงเรียกมันว่า n
  • 5:25 - 5:30
    ตอนนี้เราก็รู้แล้วว่าเวกเตอร์ 0 เป็น
  • 5:30 - 5:32
    สมาชิกตัวหนึ่งของเซต n
  • 5:32 - 5:37
    ตอนนี้สมมุติว่าผมมีเวกเตอร์สองตัว, v1 กับ v2 ที่
  • 5:37 - 5:39
    เป็นสมาชิก -- ขอผมเขียนแบบนี้นะ
  • 5:39 - 5:46
    สมมุติว่าผมมีเวกเตอร์สองตัว, v1 กับ v2, ที่
  • 5:46 - 5:49
    เป็นสมาชิกของเซตเราทั้งคู่
  • 5:49 - 5:50
    นั่นหมายความอะไร?
  • 5:50 - 5:52
    นั่นหมายความว่าพวกมันเป็นไปตามเงื่อนไขนี้
  • 5:52 - 5:57
    นั่นหมายความว่า A -- เมทริกซ์ A ของผม -- คูณเวกเตอร์ 1
  • 5:57 - 5:58
    เท่ากับ 0
  • 5:58 - 6:00
    นี่คือนิยาม
  • 6:00 - 6:01
    ผมบอกว่า พวกมันเป็นสมาชิกของเซต, นั่นหมายความว่า
  • 6:01 - 6:03
    พวกมันต้องเป็นไปตามเงื่อนไขนี้
  • 6:03 - 6:07
    และมันยังหมายความว่า ฤ คูณเวกเตอร์ 2
  • 6:07 - 6:10
    เท่ากับเวกเตอร์ 0 ของเรา
  • 6:10 - 6:18
    ดังนั้นเพื่อให้มันมีสมบัติปิดภายใต้การบวก, A คูณ
  • 6:18 - 6:22
    เวกเตอร์ 1 บวกเวกเตอร์ 2, ผลบวกของเวกเตอร์ 2 ตัว
  • 6:22 - 6:24
    ควรเท่ากับสมาชิกของ n
  • 6:24 - 6:25
    ลองหากันว่ามันคืออะไร
  • 6:25 - 6:28
    ผลบวกของเวกเตอร์พวกนี้ คือเวกเตอร์นี่ตรงนี้
  • 6:28 - 6:29
    นี่เท่ากับ -- ผมยัง
  • 6:29 - 6:30
    ไม่ได้พิสูจน์ให้คุณดู
  • 6:30 - 6:32
    ผมยังไม่ได้กับวิดีโอเพื่อพิสูจน์เรื่องนี้
  • 6:32 - 6:34
    แต่มันพิสุจน์ได้ง่าย แค่ใช้นิยาม
  • 6:34 - 6:37
    การคูณเมทริกซ์กับเวกเตอร์, ว่าการคูณ
  • 6:37 - 6:40
    เมทริกซ์กับเวกเตอร์ มีสมบัติการกระจาย
  • 6:40 - 6:43
    บางทีผมจะทำวิดีโอเรื่องนั้น, แต่ตามนิยามแล้ว,
  • 6:43 - 6:44
    คุณแค่ทำเลขไปในแต่ละ
  • 6:44 - 6:45
    เทอม
  • 6:45 - 6:49
    นี่เท่ากับ A v1
  • 6:49 - 6:51
    บวก A v2
  • 6:51 - 6:53
    และเรารู้ว่านี่เท่ากับเวกเตอร์ 0
  • 6:53 - 6:55
    และนี่เท่ากับเวกเตอร์ 0 ด้วย
  • 6:55 - 6:59
    แล้วถ้าคุณบวกเวกเตอร์ 0 เข้ากับตัวเอง, ทั้งหมด
  • 6:59 - 7:02
    นี่ก็จะเท่ากับเวกเตอร์ 0
  • 7:02 - 7:06
    ดังนั้นถ้า v1 เป็นสมาชิกของ n, และ v2 เป็นสมาชิกของ n
  • 7:06 - 7:10
    ทั้งคู่เป็นไปตามสมการนี้, แล้ว v1 บวก v2
  • 7:10 - 7:11
    จะยังเป็นสมาชิกของ n อยู่
  • 7:11 - 7:13
    เพราะเมื่อเราจับ A คูณเจ้านั่น, ผมจะได้
  • 7:13 - 7:15
    เวกเตอร์ 0 เหมือนเดิม
  • 7:15 - 7:18
    ขอผมเขียนผลนั้นลงไปด้วยนะ
  • 7:18 - 7:25
    -
  • 7:25 - 7:31
    ตอนนี้เรารู้แล้วว่า v1 บวก v2 เป็นสมาชิกของ n ด้วย
  • 7:31 - 7:34
    และอย่างน้อยเราต้องแสดงว่า มันมีสมบัติปิดภายใต้
  • 7:34 - 7:35
    การคูณ
  • 7:35 - 7:42
    สมมุติว่า v1 เป็นสมาชิกของสเปซที่เรา
  • 7:42 - 7:44
    กำหนดตรงนี้, โดยพวกมันเป็นไปตามสมการนี้
  • 7:44 - 7:51
    แล้ว c คูณ v1 ล่ะ?
  • 7:51 - 7:53
    มันเป็นสมาชิกของ n หรือเปล่า?
  • 7:53 - 7:54
    ลองคิดดูกัน
  • 7:54 - 7:59
    เมทริกซ์ A คูณเวกเตอร์ คืออะไร -- ใช่ไหม?
  • 7:59 - 8:01
    ผมก็แค่คูณนี่กับค่ายืดหด
  • 8:01 - 8:03
    ผมจะได้เวกเตอร์อีกตัวหนึ่ง
  • 8:03 - 8:05
    ผมไม่อยากเขียน v ใหญ่ตรงนี้
  • 8:05 - 8:07
    ตัวเล็ก, นั่นคือเวกเตอร์ตัวหนึ่ง
  • 8:07 - 8:08
    แล้วนี่เท่ากับอะไร?
  • 8:08 - 8:11
    ทีนี้, เหมือนเดิม, ผมยังไม่ได้พิสูจน์ให้คุณดู, แต่
  • 8:11 - 8:13
    มันที่เรื่องตรงไปตรงมามาก,
  • 8:13 - 8:17
    ในการแสดงว่า เมื่อคุณคิดเป็นสเกลาร์, ถ้าคุณ
  • 8:17 - 8:19
    มีสเกลาร์ตรงนี้, มันไม่สำคัญว่าคุณจะคูณสเกลาร์นั้น
  • 8:19 - 8:24
    กับวเกตอร์ก่อนคูณกับเมทริกซ์
  • 8:24 - 8:26
    หรือคุณเมทรริกซ์กับเวกเตอร์, แล้ว
  • 8:26 - 8:27
    ค่อยคูณกับสเกลาร์
  • 8:27 - 8:31
    มันพิสูจน์ได้ตรงๆ ว่า นี่เท่ากับ
  • 8:31 - 8:36
    c คูณเมทริกซ์ A ของเรา -- ผมจะทำให้มันใหญ่และหนานะ,
  • 8:36 - 8:38
    คูณเวกเตอร์ v ของเรา
  • 8:38 - 8:40
    สองอย่างนี้เทียบเท่ากัน
  • 8:40 - 8:43
    บางทีผมควรทำวิดีโอเรื่องนี้ด้วย, แต่
  • 8:43 - 8:44
    ผมจะปล่อยให้คุณลองแล้วกัน
  • 8:44 - 8:46
    คุณก็แค่, ทำตามนิยาม, ทำตามกลไก
  • 8:46 - 8:47
    ไล่ไปทีละองค์ประกอบ
  • 8:47 - 8:49
    แล้วคุณจะแสดงนี้ได้
  • 8:49 - 8:56
    แต่แน่นอน, ถ้ามันเป็นจริง, เรารู้แล้วว่า v1
  • 8:56 - 9:00
    เป็นสมาชิกของเซตเรา, ซึ่งหมายความว่า A คูณ v1 เท่ากับ
  • 9:00 - 9:02
    เวกเตอร์ 0
  • 9:02 - 9:06
    แล้วนั่นหมายความว่า นี่ลดรูปเหลือ c คูณเวกเตอร์
  • 9:06 - 9:09
    0, ซึ่งก็ยังเป็น 0
  • 9:09 - 9:11
    ได้ c v1
  • 9:11 - 9:13
    นั่นเป็นสมาชิกของ n แน่นอน
  • 9:13 - 9:15
    มันมีสมบัติปิดภายใต้การคูณ
  • 9:15 - 9:18
    และผมสมมุติว่ามันใช่ตรงนี้
  • 9:18 - 9:20
    แต่บางทีผมจะพิสูจน์ให้ดูในอีกวิดีโอนึง
  • 9:20 - 9:23
    แต่ผมอยากทำทั้งหมดนี้ เพื่อแสดงให้เห็นว่าเซต n เป็น
  • 9:23 - 9:25
    สับสเปซถูกต้อง
  • 9:25 - 9:27
    นี่คือสับสเปซจริง
  • 9:27 - 9:28
    มันมีเวกเตอร์ 0
  • 9:28 - 9:30
    มันมีสมบัติปิดภายใต้การบวก
  • 9:30 - 9:31
    มันมีสมบัติปิดภายใต้การคูณ
  • 9:31 - 9:33
    และเรามีชื่อเรียกพิเศษให้มัน
  • 9:33 - 9:46
    เราเรียกเจ้านี่ตรงนี้, เราเรียกมันว่า n, สเปซว่าง (null space) ของ A
  • 9:46 - 9:50
    หรือเราสามารถเขียน n ว่าเท่ากับ -- บางทีผมไม่ควร
  • 9:50 - 9:50
    เขียนว่า n เฉยๆ
  • 9:50 - 9:53
    ขอผมเขียนด้วยสีส้มตรงนี้นะ
  • 9:53 - 9:58
    n สีส้มของเรา เท่ากับ -- สัญลักษณ์นี้ คือ
  • 9:58 - 9:59
    สเปซว่างของ A
  • 9:59 - 10:01
    หรือผมควรเขียนว่า สเปซว่าง เท่ากับ
  • 10:01 - 10:04
    สัญลักษณ์ n สีส้ม, แล้วถ้าผมให้เมทริกซ์
  • 10:04 - 10:08
    ตามใจ A คุณไป, และผมบอกว่า, เฮ้, หา
  • 10:08 - 10:10
    n ของ A ให้หน่อย, มันจะได้อะไร?
  • 10:10 - 10:16
    ตามนิยามแล้ว, เป้าหมายของเราคือ หาเซตของ x ทุกตัวที่
  • 10:16 - 10:20
    เป็นไปตามสมการ A คูณ x เท่ากับ 0
  • 10:20 - 10:23
    และผมจะทำให้ดูในตัวอย่างหน้านะ
  • 10:23 - 10:23
    -
Title:
Introduction to the Null Space of a Matrix
Description:
more » « less
Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
10:23

Thai subtitles

Revisions

Our website uses cookies for analysis purposes.