Introduction to the Null Space of a Matrix

Vamos revisar nossas noções de subespaço.

Vamos ver se
podemos definir subespaços

interessantes lidando
com matrizes e vetores.

Um subespaço-- vamos dizer
que tenho um subespaço-- deixe-me

chamar de subespaço s.

Isso é um subespaço se os
seguintes forem verdade--

e já é uma revisão-- que o
vetor nulo-- só vou fazer assim

--o vetor nulo é um membro de s.

Então contém o vetor nulo.

Então se v1 e v2 são dois
membros do subespaço, então

v1 mais v2 também é um vetor do subespaço.

Está dizendo que os subespaços são

fechados na adição.

Pode-se somar quaisquer
dois vetores e irá ter

outro membro do subespaço.

E o último requisito, se
você se lembra, é que

subespaços são fechados na multiplicação.

Se c é um número real, e é um escalar.

Se multiplicar, e v1 é um
membro do subespaço, então

se multiplicar esse número
real arbitrário pelo membro do

subespaço, v1, teremos outro membro

do subespaço.

Então é fechado na multiplicação.

Isso é tudo que um subespaço é.

Essa é nossa definição de subespaço.

Se é chamado de subespaço,

aquilo precisa ser verdade.

Vamos ver se conseguimos
fazer algo interessante

com o que entendemos sobre
multiplicação matriz vetor.

Vamos dizer que tenho a
matriz A-- vou fazer em

negrito-- e é uma matriz m por n.

E estou interessado na
seguinte situação: quero

definir a equação homogênea.

E vamos falar sobre o por
quê de ser homogênea.

Te direi em um segundo.

Vamos dizer que definimos a equação.

Minha matriz A vezes o vetor
x é igual ao vetor nulo.

Isso é uma equação homogênea,

pois temos um zero aqui.

E eu quero perguntar-- eu

falei sobre subespaços.

Se tomar todos os x--
se tomar o mundo, o

universo, o conjunto de todos
os x que satisfazem essa

equação, eu terei um subespaço válido?

Vamos pensar.

Quero tomar todos os x
que são membros de Rn.

Lembre-se, se a matriz A tem
n colunas, então apenas

defini essa multiplicação matriz vetor.

Se x é um membro de r, e
se x deve ter exatos n

componentes, só então é definido.

Deixe-me definir um conjunto de
todos os vetores, membros

de Rn que satisfazem a
equação: A vezes o vetor x

é igual ao vetor nulo.

Então minha pergunta é,
isso é um subespaço?

Isso é um subespaço válido?

A primeira pergunta é, isso
contém o vetor nulo?

Para que isso contenha
o vetor nulo, o vetor

nulo tem que satisfazer essa equação.

O que é qualquer matriz A, m
por n, vezes o valor nulo?

Vamos escrever nossa
matriz A-- matriz A, a[1,1]

a[1,2]

até o elemento a]1,n]

e isso, quando descemos
a coluna vamos até o

elemento a[m,1]

e quando descemos até o final

na direita temos o elemento a[m,n]

e vou multiplicar isso pelo
vetor nulo que tem

exatos n componentes.

Então o vetor nulo com n
componentes é zero, zero, e você

terá n desses.

O número de componentes
aqui deve ser o mesmo

o número de colunas. Mas quando você

faz o produto, essa matriz vetor

produto, resulta no que?

O que nós temos?

Bom, esse primeiro termo será a[1,1]

vezes zero, mais a[1,2]

vezes zero, mais cada um
dos termos vezes zero.

E você soma todos. a[1,1] vezes zero,

mais a[1,2]

vezes zero, até a[1,n]

vezes zero.

Então você tem zero.

Agora esse termo será a[2,1]

vezes zero, mais a[2,2]

vezes zero, mais a[2,3]

vezes zero, até a[2,n]

vezes zero.

Que obviamente será zero.

E você vai continuar a fazer
isso, pois todos esses,

essencialmente-- você pode ver
como produto escalar

de-- eu não defini produto
escalar entre vetor linha e

vetor coluna, mas eu acho
que você entendeu-- a soma de

cada um desses elementos
multiplicados pelo

componente correspondente nesse vetor.

E você está sempre multiplicando
por zero e somado.

Então você terá nada
mais do que vários zeros.

Então o vetor nulo
satisfaz a equação.

A vezes o vetor nulo é
igual ao vetor nulo.

E é uma notação não convencional.

Estou escrevendo assim
pois não quero

por em negrito os zeros
toda hora para você

ver que é um vetor.

Assim, encontramos o nosso
primeiro requisito.

O vetor nulo é um membro do conjunto.

Deixe-me definir o conjunto aqui.

Deixe-me
definir n.

E te falarei em um segundo
porquê estou chamando de n.

Agora nós sabemos
que o vetor nulo é um

membro do conjunto n.

Agora vamos dizer que tenho
dois vetores, v1 e v2 que são

membros-- deixe-me escrever isso.

Vamos dizer que tenho
dois fatores, v1 e v2, os dois

membros do nosso conjunto.

O que isso significa?

Significa que os dois
satisfazem essa equação.

Significa que A-- a matriz
A-- vezes o vetor um é

igual a zero.

Isso por definição.

Estou dizendo que
são membros do conjunto

que significa que
satisfazem isso.

E também significa que
A vezes o vetor dois é

igual ao vetor nulo.

Então, para que isso seja
fechado na adição, A vezes

vetor um mais vetor dois,
a soma desses dois vetores

também deve ser
membro de n.

Vamos descobrir
o que é isso.

A soma desses dois vetores
é esse vetor bem aqui.

Isso é igual a-
e ainda

não provei isso aqui.

Ainda não fiz um vídeo
provando isso

Mas é muito fácil provar
usando a definição da

multiplicação matriz
vetor, que a multiplicação

matriz vetor tem a
propriedade distributiva.

E talvez vou fazer sobre isso,
mas literalmente, você só

tem que ir através
da mecânica

dos termos.

Isso é igual a a[v,1]

mais a[v,2].

E sabemos que isso é
igual ao vetor nulo.

Então isso é igual ao vetor nulo.

E se você adicionar o
vetor nulo a si mesmo, isso

sera igual ao vetor nulo.

Então se v1 é um membro de n, e
v2 é um membro de n, significa

que os dois satisfazem essa
equação, então v1 mais v2 é,

definitivamente
membro de n.

Pois quando multiplico
A por isso, tenho

o vetor nulo de novo.

Deixe-me escrever esse resultado, também.

Agora que sabemos que v1
mais v2 também é membro de n.

E a última coisa que temos
que mostrar é que é fechado

na multiplicação.

Vamos dizer que v1 é um membro
do nosso espaço que defini

aqui, onde satisfazem essa equação.

E quanto c vezes v1?

Isso é um membro de n?

Vamos pensar.

O que é a matriz A
vezes o vetor-- certo?

Estou multiplicando
por um escalar.

Só estou tentando obter outro vetor.

Eu não quero escrever v maiúsculo.

Minúsculo v, pois é um vetor.

Isso é igual a o que?

Bom, mais uma vez, eu não
provei isso ainda, mas

na verdade, é algo
muito direto a se fazer,

mostrar que quando lidamos
com escalares, se você tem

um escalar aqui, não
tem importância multiplicar o

escalar pelo vetor antes
de multiplicar pela

matriz ou multiplicar a
matriz pelo vetor, e

então o escalar.

Portanto, é bastante simples
provar que isso é igual a

c vezes nossa matriz A-- vou
escrever em negrito, vezes

nosso vetor v.

Que esses dois são equivalentes.

Talvez eu deva desligar o
vídeo que faz isso, mas

vou deixar para você.

Você trabalha a
mecânica, componente

por componente.

E você mostra isso.

Mas claramente, se aquilo é verdade,
nós já sabemos que v1

é um membro do nosso conjunto, o que
significa que A vezes v1 é igual

ao vetor nulo.

Aquilo significa que isso vai
se reduzir a c vezes o vetor

nulo, que ainda é o vetor nulo.

Então c[v,1]

é definitivamente um membro de n.

Então é fechado na multiplicação.

E eu, de certa forma, assumi isso aqui.

Mas talvez eu prove
em outro vídeo.

Mas eu quero fazer tudo isso para
mostrar que esse conjunto n é um

subespaço válido.

Esse é o subespaço válido.

Contém o vetor nulor.

É fechado na adição

É fechado na multiplicação.

E temos um nome
especial para isso.

Chamamos isso, chamamos
n de espaço nulo de A.

Ou poderíamos escrever n é
igual-- talvez eu não devesse

escrever n.

Vou escrever de laranja.

Nosso n laranja é igual a--
a notação é espaço

nulo de A.

Ou podemos escrever
espaço nulo é igual ao

n laranja, e literalmente,
se eu só der para você

uma matriz arbitrária A,
e eu disser, encontre n

de A, o que é isso?

Literalmente, seu objetivo é encontrar o
conjunto de todos os x que

satisfazem a equação
A vezes x igual a zero.

E vou fazer isso no próximo vídeo.

Traduzido por: Victória Celeri