Introduction to the Null Space of a Matrix

먼저 부분공간에 대한 개념을
복습하고 넘어갑시다

먼저 부분공간에 대한 개념을
복습하고 넘어갑시다

그 후 행렬과 벡터에 연관된

부분공간의 정의를 내리도록 합시다

그러면 부분공간이 있다고 하고

그 이름을 s라고 합시다

다음이 참이라면 이것은 부분공간입니다

복습해 볼까요

영벡터는 s의 원소입니다

따라서 이 부분공간은
영벡터를 가지고 있습니다

그렇다면, 만약 v1과 v2가
부분공간의 원소라면

v1+v2 또한
부분공간의 원소입니다

이 말은 부분공간이

덧셈에 대해 닫혀있다는 뜻입니다

임의의 원소 2개를 더하면

그 합은 부분공간의 원소가 됩니다

마지막 조건을 기억한다면

부분공간은 곱셈에 대해서도 닫혀있습니다

c를 실수 스칼라라고 해봅시다

부분공간의 원소 v1에 대해서

여기에 임의의 실수를 곱한다면

그 값도 부분공간의 원소가 됩니다

그 값도 부분공간의 원소가 됩니다

따라서 곱셈에 대하여
닫혀있다고 할 수 있는거죠

이것이 바로 부분공간입니다

부분공간의 정의죠

만약 부분공간이라고 한다면

위 사실들이 참이어야 합니다

행렬 벡터 곱셈에 대해 이해한 것으로

뭔가 흥미로운 것을 할 수 있는지 봅시다

행렬 a가 있다고 합시다
굵은 글씨로 보기좋게 쓰겠습니다

이 행렬은 m × n 행렬입니다

다음 상황에 대해 알아볼까요

동차방정식을 세워봅시다

왜 이 방정식이 동차인지에 대해
알아보고자 합니다

지금 알려드리도록 할게요

방정식을 하나 세웠다고 합시다

행렬 a와 벡터 x를 곱하면
영벡터가 됩니다

이것이 바로 동차방정식입니다

0이 존재하기 때문이죠

동차방정식입니다

궁금한 점이 있습니다

부분공간에 대해 이야기해보죠

만약 방정식을 만족하는
모든 x를 제거한다면

이 세상의, 이 우주의 집합에 있는
모든 x를 제거한다면

부분공간은 유효할까요?

한 번 고민해봅시다

Rⁿ의 원소에서
모든 x를 제거합니다

기억하세요
행렬이 n개의 열을 가지고 있다는 것은

이 행렬을 벡터의 곱셈으로밖에
정의하지 않았다는 것입니다

만약 x가 Rⁿ의 원소이고
x의 성분이 n개라면

그 상황에서만 정의가 가능합니다

행렬 a와 벡터 x의 곱이 영벡터를 만족하면서

Rⁿ의 원소인 모든 벡터 x의
집합을 정의하겠습니다

Rⁿ의 원소인 모든 벡터 x의
집합을 정의하겠습니다

여기서 질문, 이것은 부분공간인가요?

유효한 부분공간인가요?

이것부터 확인합시다
영벡터를 포함하나요?

영벡터가 존재하기 위해서는

이 방정식을 만족해야 합니다

임의의 m × n 행렬인 a와 영벡터를 곱하면
어떻게 되나요?

임의의 m × n 행렬인 a와 영벡터를 곱하면
어떻게 되나요?

행렬 a를 적어보겠습니다

a[1,1], a[1,2], ... a[1,n]

a[1,1], a[1,2], ... a[1,n]

그리고 열을 따라서 내려가면

a[m,1]까지 가게 됩니다

제일 밑바닥까지 내려가면

a[m,n]이 되겠죠

이들과 성분이 n개인 영벡터를

곱할 것입니다

따라서 n개의 성분을 가진 영벡터는

n개의 0을 가지게 될 것입니다

여기 성분의 개수는 열의 개수와

정확히 일치해야 합니다

그러나 이 행렬과 벡터의 곱을 계산할 때

그 결과는 어떻게 되나요?

무엇을 얻게 되죠?

자, 첫 번째 항은 a[1,1] × 0 이고

여기에 a[1,2] × 0 를 더합니다

이런 식으로 각 항에
0을 곱한 값을 더합니다

모두 더하면

a[1,1] × 0

더하기 a[1,2] × 0

더하기 ... + a[1,n] × 0

이렇게 되겠죠

그 결과는 0입니다

그러면 이 항은

a[2,1] × 0

더하기 a[2,2] × 0

더하기 a[2,3] × 0

더하기 ... + a[2,n] × 0 까지
더한 값입니다

그 결과는 당연히 0입니다

이 과정을 계속해 나갑니다

이것을 내적의 형태로 볼 수 있습니다

행벡터와 열벡터의 내적을
정의하지 않았지만

무슨 개념인지 알 것 같지 않나요?

행벡터의 성분과 이에 대응하는
열벡터의 성분을 각각 곱하여

모두 더하는 것이죠

물론 먼저 0을 곱하고 그 후 더해야 합니다

그러면 무수히 많은
0이 나오게 됩니다

따라서 영벡터는 이 방정식에 부합합니다

행렬 a와 영벡터의 곱은
영벡터가 되는 것이죠

그리고 이것은 색다른 표기법입니다

이런 식으로 쓰는 이유는

0이 벡터임을 나타내려고

매번 진하게 표시하기
번거롭기 때문이에요

따라서 첫 번째 조건을 만족합니다

영벡터는 이 집합의 원소입니다

이 집합을 정의하도록 하죠

n이라고 합시다

왜 n으로 했는지 잠시 후에
알려드리도록 하겠습니다

영벡터는 집합 n의 원소라는 것을

알게 되었습니다

이제 두 벡터 v1, v2가 있다고 합시다

적어볼게요

두 벡터 v1, v2는 집합의 원소입니다

두 벡터 v1, v2는 집합의 원소입니다

무슨 말이죠?

이 말은 두 벡터가 모두
방정식을 만족한다는 것입니다

즉, 행렬 a와 v1의 곱은

0이라는 뜻이겠죠

이것이 바로 정의입니다

집합의 원소라는 것은

이 방정식을 만족한다는 의미입니다

또한 a와 v2의 곱은

영벡터입니다

따라서 덧셈에 대하여 닫혀 있으려면

v1와 v2의 합
즉, 두 벡터의 합은

n의 원소가 되어야 합니다

하지만 먼저 풀어봅시다

두 벡터의 합은 바로 이 벡터입니다

이것은 다음과 같습니다

아직 증명하지 않은 부분이죠

이를 증명하는 강의를
아직 만들지 않았어요

하지만 분배법칙이 성립하는

행렬 벡터 곱셈의 정의를 이용하면

손쉽게 증명할 수 있습니다

곧 관련 영상을 만들 예정이지만

지금은 우선
말 그대로 각 항마다

계산해 나가야 합니다

이것은 a[v,1] + a[v,2] 입니다

이것은 a[v,1] + a[v,2] 입니다

알다시피 이 값은 영벡터입니다

영벡터죠

영벡터에 자기 자신을 더한다면

그 결과는 영벡터가 되겠죠

따라서 v1과 v2가 n의 원소라면

즉, 둘 다 방정식을 만족한다면

v1+v2는 명백히 n의 원소입니다

왜냐하면 여기에 a를 곱하면

다시 영벡터가 나오기 때문이죠

마찬가지로 결과를 적어보도록 하죠

마찬가지로 결과를 적어보도록 하죠

따라서 v1+v2가 n의 원소라는 것을
알게 되었습니다

마지막으로 보여야 할 것은

곱셈에 대하여 닫혀있다는 것입니다

방정식을 만족하는 v1이

여기서 정의한 공간의 원소라고 합시다

c × v1은 무엇인가요?

n의 원소인가요?

생각해 봅시다

행렬 a와 벡터를 곱합니다

벡터의 스칼라배를 곱합니다

다른 벡터를 구해보죠

대문자 V를 쓰지 않고

소문자 v를 쓰겠습니다
벡터 v 입니다

그 결과는 무엇일까요?

다시 한번 말하지만
이 부분은 증명하지 않았어요

하지만 사실 상당히 간단합니다

스칼라를 다룰 때

행렬과 벡터를 곱하기 전에

스칼라와 벡터를 곱한다면

상관이 없습니다

그 후 스칼라를 곱합니다

그러므로 증명하기 꽤 간단합니다

이것은 c와 행렬 a와 벡터 v의 곱입니다

진한 글씨로 보기좋게 쓰겠습니다

이 두 값은 동일합니다

이와 관련된 영상을
대량으로 찍어내는게 좋겠지만

지금은 여러분에게 맡기겠습니다

여러분은 매 성분마다

그대로 계산해 나가면 됩니다

그리고 이것을 보여주세요

하지만, 명백하게 그것이 참이면

v1은 집합의 원소이므로

그 결과는 영벡터입니다

이 말은 즉, 이것은 c와 영벡터의 곱으로

여전히 그 값은 영벡터입니다

따라서 c[v,1]은

명백히 n의 원소입니다

따라서 이것은
곱셈에 대하여 닫혀있습니다

여기서 살짝 가정을 했죠

아마 다른 강의에서 증명할 거에요

그러나 집합 n이
유효한 부분공간이라는 것을

보여주고 싶습니다

이건 유효한 부분공간입니다

영벡터를 포함하죠

덧셈에 대하여 닫혀있습니다

또한 곱셈에 대해서 닫혀있죠

이에 대한 특별한 명칭이 있어요

n을 a의 영공간이라고 부릅니다

아니면 n을 다음과 같다고
할 수 있습니다

아무래도 n이라고 쓰면 안되겠네요

주황색으로 적도록 하겠습니다

주황색 N은 영공간 a와

표기법이 같습니다

혹은 영공간이 주황색 N의
표기법과 같다고 할 수 있고

글자 그대로
임의의 행렬 a가 주어지고

N을 찾으라고 한다면

그 값은 무엇일까요?

글자 그대로, 여러분의 목표는
방정식 a × x = 0 을 만족하는

모든 x의 집합을 찾는 것이죠

다음 강의에서 하도록 하죠

다음 강의에서 하도록 하죠