Introduction to the Null Space of a Matrix

Kordame alamhulga üle.

Ja siis vaatame, kas saame defineerida mõnda huvitavat

alamhulka, mis käib maatriksite ja vektorite kohta.

On antud alamhulk,

nimega s

See on alamhulk, kui järgmised tingimused on kehtivad

Nullvektor on

s-i liige.

Ta sisaldab nullvektorit.

Kui v1 ja v2 on mõlemad mu alamhulga liikmed, siis

v1+v2 on ka mu alamhulga liige.

Teisiti öelda on alamhulgad

suletud liitmise suhtes.

Võid lisada 2 suvalist liiget ning sa saad

uue liikme alamhulka.

Ja viimase tingimus on, et

alamhulgad on suletud korrutamise suhtes.

Kui c on reaalarv ning ta on skalaarne.

Kui korrutan, v1 on mu alamhulga liige, kui

korrutan selle suvalise arvu mu alamhulga

liikmega v1, siis ma saan

uue alamhulga liikme.

Seega on ta suletud korrutamise suhtes.

Need olid alamhulgad.

See on meie definitsioon.

Alamhulga puhul peavad

need tingimused kehtima.

Proovime nüüd midagi huvitavat teha

oma arusaamisega maatriksi vektorkorrutisest.

On antud maatriks a,

mis on m korda n maatriks.

Olen huvitatud järgnevast juhtumist; ma tahan

teha homogeense võrrandi.

Räägime, miks see on homogeenne,

mõne hetke pärast.

Seame üles võrrandi.

Minu maatriks a korda vektor x on võrdne nullvektoriga.

See on homogeenne võrrand,

sest meil on null siin.

Tahan küsidajärgnevat.

Rääkisime alamhulkadest.

Kui ma võtan x-id,

mis rahuldavad seda

võrrandit, kas mul on siis kehtiv alamhulk?

Mõtleme selle üle.

Ma tahan võta kõik x-id, mis on Rn liikmed.

Kui meie maatriksil a on n veergu, siis ma

olen defineerinud selle maatriksi vektorkorrutise.

Kui x on r-i liige ja kui x-il peab olema n komponenti,siis

on see defineeritud.

Määran hulga vektoreid, mis on kõik

Rn liikmed, kus nad rahuldavad võrrandit a korda vektor x

on võrdne nullvektoriga.

Mis on alamhulk?

Kas see on alamhulk?

Esiteks, kas ta sisaldab nullvektorit?

Et see sisaldaks nullvektorit, siis

nullvektor peab rahuldama seda võrrandit.

Millega võrdub maatriks m korda n korda nullvektor?

Kirjutan välja maatriksi a, a[1,1]

a[1,2]

kuni lõpuni a[1,n].

Teisipidi samamoodi kui lõpuni

a[m,1]

ning nii edasi kui

saame a[m,n].

Korrutan selle nullvektoriga, millel

on täpselt n komponenti.

Nullvektor n komponendiga on 0, 0 ja sa saad

n tükki neid.

Komponentide arv peab olema täpselt sama

kui veergude arv. Kui sa

võtad selle korrutise, selle maatriksi vektori

korrutise, siis mis sa saad?

Mis me saame?

Esimene liige tuleb a[1,1] korda 0

pluss a[1,2] korda 0

pluss iga liige korda 0.

Siis liidad need kokku.

a[1,1] korda 0 pluss a[1,2]

pluss a[1,2] korda 0,

kuni a[1,n]

ja korda 0.

Siis saad 0.

See liige tuleb a[2,1] korda 0

pluss a[2,2] korda 0

pluss a[2,3] korda 0,

kuni a[2,n]

korda 0.

See ilmselt tuleb 0.

Teed nii edasi, sest on kõik

põhimõtteliselt punkt korrutised

--Ma ei ole defineerinud punkt korrutisi rea vektori

ja veeru vektori vahel, kuid saad aru küll-- nende

elementide summa korrutada

vastavate komponentidega selles vektoris.

Alati korrutad nulliga

ning liidad need kokku.

Nii saad ainult hunniku nulle.

Seega nullvektor rahuldas seda võrrandit.

A korda nullvektor on võrdne nullvektoriga.

See on väga ebatavaline märkus.

Kirjutan selle nii, sest ei viitsi

oma nulle paksuks teha, pead aru saama lihtsalt,

et see on vektor.

Siit esimene tingimus.

Nullvektor on hulga liige.

Määran oma hulga siin.

--

Varsti ütlen, miks ma nimetan seda ta n.

Me teame, et nullvektor on

minu n hulga liige.

Oletame, et mul on vektorid v1 ja v2 ning

nad on liikmed--kirjutan selle üles.

Mul on kaks tegurit v1 ja v2, mis

on meie hulga liikmed.

Mida see tähendab?

Nad mõlemad rahudavad meie võrrandit.

Seega mu maatriks a korda vektor 1 on

võrdne nulliga.

See on definitsiooni järgi.

Nad on hulga liikmed, mis tähendab,

et nad peavad rahuldama seda.

Vektor 2 on võrdne

nullvektoriga.

Et see oleks suletud liitmise suhtes, a korda

vektor 1 pluss vektor 2, nende vektorite summa

peaks olema ka n-i liige.

Nuputame välja, mis see on.

Nende kahe vektori summa on see vektor siin.

See on võrde--ja ma pole

veel tõestanud seda.

Pole teinud videot, kus tõestan seda.

Aga see on väga kerge kasutades meie definitsiooni

maatriksi vektorkorrutamisest, et maatriksi vektorkorrutis

näitab distributiivsust.

Võibolla teen video selle kohta, kuid sa

pead lihtsalt läbi töötlema iga

liikme.

See võrdub a[v,1]

pluss a[v,2].

Me teame, et see on võrdne nullvektoriga.

See on võrdne nullvektoriga.

Kui sa liidad nullvektori ise, siis kogu tulemus

on võrdne nullvektoriga.

Kui v1 on n-i liige ning v2 on n-i liige

ja mõlemad rahuldavad seda võrrandit, siis v1 pluss v2 on

kindlalt n-i liige.

Kui korrutan a sellega, siis saan

nullvektori uuesti.

Kirjutan selle tulemuse ka.

Teame juba, et v1 pluss v2 on ka n-i liige.

Viimase asjana peame näitama, et see on suletud

korrutamise suhtes.

v1 on meie hulga liige, mille määrasin

siin, kus nad rahuldavad seda võrrandit.

Aga c korda v1?

Kas see on n-i liige?

Mõtleme selle üle.

Mis on meie maatriks a korda vekor, eks?

Ma lihtsalt korrutan selle korda skaala.

Saan lihtsalt uue vektori.

Ei taha kirjutada suurt V-d siia.

Väike v, sest see on vektor.

Millega see võrdub?

Jällegi, ma pole tõestanud veel, aga

see on tegeliselt üsna kerge, et

näidata, et tegemist on skalaaridega, kui

sul on skalaar siin, siis ei loe, kas sa korrutad

skalaar korda vektor enne korrutamist maatriksiga

või korrutad maatriksi vektoriga ja

siis teed skalaari.

Seega on üsna kerge tõestada, et see on võrdne

c korda maatriks a--teen selle paksus kirjas, korda

meie vektor v.

Need kaks asja on samaväärsed.

Võibolla peaksin tegema video, mis teeb seda, kuid

ma jätan selle sinu teha.

Pead lihtsalt läbima iga

komponenti mehaanika

Ning sa näitad seda.

Aga kui on tõsi, siis teame, et v1

on meie hulga liige, mis tähendab, et a korda v1 on võrdne

nullvektoriga.

See tähendab, et see lihtsustub c korda nullvektorini,

mis on ikka nullvektor.

c[v,1]

on kindlasti n-i liige.

Seega on see suletud korrutamise suhtes.

Ning ma oletasin seda siin.

Aga äkki ma tõestan seda teises videos.

Aga ma tahan teha seda, et näidata, et see hulk n on

kehtiv alamhulk.

See on kehtiv alamhulk.

Ta sisaldab nullvektorit.

See on suletud liitmise suhtes.

See on suletud korrutamise suhtes.

Meil on tegelikult spetsiaalnimi selle kohta.

Me kutsume seda siin, n on a nullhulk.

Võime kirjutada, et n on võrdne--võibolla poleks tohtinud

kirjutana n.

Kirjutan selle oranžilt siin.

Meie oranž n on võrdne--see märkus on lihtsalt

a null hulk.

Võime kirjutada, et null hulk on võrdne oranži

märkega n ning kui ma anna suvalise

maatriksi a, ning ütlen, hei, leia mind n

a-st, mis siis?

Sinu eesmärk on leida iga x hulk,

mis rahuldab võrranit a korda x on võrdne nulliga.

Teen seda järgmises videos.