Introduction to the Null Space of a Matrix

Да си припомним още веднъж
понятието подпространство.

След което да видим дали можем
да дефинираме някои интересни

подпространства, като използваме
с матрици и вектори.

Подпространство – да кажем, че
имам някакво подпространство,

нека да го нарека
подпространство S.

Това е подпространство, ако
са изпълнени следните условия –

това е преговор – ако нулевият вектор,
ще го направя така –

нулевият вектор
принадлежи на S.

Значи то съдържа
нулевият вектор.

После, ако векторите v1 и v2 принадлежат
на това подпространство, тогава

векторът (v1 + v2) също принадлежи
на това подпространство.

Това означава, че подпространството
е затворено по отношение на събирането.

Можем да съберем всеки два елемента, и
ще получим друг елемент от подпространството.

Последното условие,
ако си спомняш, е,

че подпространството е затворено
по отношение на умножението.

Ако с е реално число, то
е просто скалар,

ако го умножим по вектор v1, който
принадлежи на подпространството,

ако умножа произволно реално
число по v1, по този елемент на

подпространството, тогава ще получа
друг елемент на подпространството.

Затворено е по отношение
на умножението.

Ето това е подпространство.

Това е определението за
подпространство.

Ако наречеш нещо подпространство,
тези условия трябва да са изпълнени.

Да видим дали можем да направим
нещо интересно с това,

което знаем за умножението
на матрица по вектор.

Нека да имаме матрицата А,
удебелявам хубаво буквата,

това е матрица m по n.

Интересува ме следната
ситуация – искам

да съставя едно хомогенно
уравнение.

Ще разгледаме защо
е хомогенно.

Ще ти кажа след секунда.

Да кажем, че съставим уравнение.

Матрицата ни А по вектор х
е равно на нулевия вектор.

Това е хомогенно уравнение,
защото тук имаме 0.

Искам да те питам...

говорехме за подпространства.

Ако взема всички хиксове
в целия свят, в цялата вселена,

множеството от всички хиксове,
които удовлетворяват това равенство,

дали ще имам валидно
подпространство?

Да помислим по това.

Искам да взема всички хиксове,
които принадлежат на множеството Rn.

Спомни си, само ако матрицата ни има
n стълба, само тогава можем

да дефинираме това
умножение на матрица по вектор.

Ако х принадлежи на Rn, и ако х
има точно n компонента,

само тогава това произведение
е дефинирано.

Ще дефинирам множеството на
всички вектори, които принадлежат

на Rn, които удовлетворяват
уравнението А по вектор х

е равно на нулевия вектор.

Въпросът ми е дали това
е подпространство?

Дали е валидно подпространство?

Първият въпрос е дали
съдържа нулевия вектор.

За да съдържа това нулевия
вектор,

нулевият вектор трябва
да удовлетворява това уравнение.

Колко е произведението на А, произволна
матрица m по n по нулевия вектор?

Да запишем матрицата А,
а11,

а12 и така чак до а1n.

И така като отиваме надолу
по стълба, чак до аm1.

И после отиваме така чак
до долу вдясно, до аmn.

Ще умножа това по
нулевия вектор, който

има точно n компонента.

Нулевият вектор има n
компонента – 0, 0 и така n на брой нули.

Броят на компонентите тук трябва
да е равен точно

на броя на стълбовете,
които имаме.

Но когато намираме това
произведение на матрица по вектор,

какво получаваме?

Какво получаваме?

Първият член тук горе
ще е а11 по 0, плюс а12 по 0,

плюс всеки от тези членове
по нула.

И ги събираме всичките.

а11 по 0, плюс а12 по нула,
и така до а1n по нула.

Така че ще получим 0.

Този член ще бъде а21 по 0,
плюс а22 по 0, плюс а23 по 0,

и така до а2n по 0.

Очевидно и това също ще бъде 0.

И продължаваме да правим това,
защото всички тези са принципно...

можеш да го разглеждаш като
скаларно произведение на...

не съм дефинирал скаларно
произведение с вектор-редове и

вектор-стълбове, но мисля, че
разбираш идеята – сборът на

всички тези елементи,
умножени по

съответния компонент
на този вектор.

И, разбира се, винаги
ще умножаваш по 0, и ги събираш.

Така че ще получиш само нули.

Значи нулевият вектор
удовлетворява това уравнение.

Матрицата А по нулевия вектор
е равно на нулевия вектор.

Това е много необичайно
записване.

Пиша го по този начин, защото
не искам да удебелявам

нулите през цялото време, за да
можеш да видиш, че това е вектор.

Значи първото условие
е изпълнено.

Нулевият вектор
принадлежи на множеството.

Сега ще дефинирам множеството.

Ще го дефинирам като N.

След секунда ще ти кажа
защо го наричам N.

Знаем, че нулевият вектор
принадлежи на нашето множество N.

Нека да имаме два вектора,
v1 и v2, които принадлежат...

ще го запиша.

Нека да имам два вектора
v1 и v2, които принадлежат

на нашето множество.

Какво означава това?

Това означава, че и двата вектора
удовлетворяват това уравнение.

Това означава, че матрицата А
по вектор v1 е равна на 0.

Това е по определение.

Казвам, че те принадлежат
на множеството, което означава,

че удовлетворяват това.

Означава още, че А по вектор v2

е равно на нулевия вектор.

За да бъде множеството
затворено по отношение на събирането,

А по вектор v1 плюс вектор v2,
А по сумата на тези два вектора,

също трябва да принадлежи
на множеството n.

Да видим какво означава това.

Сумата на тези два вектора
е този вектор ето тук.

Това е равно на... още не съм
го доказвал.

Не съм правил видео
с доказателството на това.

Но е много лесно да се докаже това,
като се използва определението

за умножение на матрица
по вектор, за което

важи дистрибутивното свойство.

Може би ще направя видео за това,
но буквално, само трябва

да разгледаш "механиката"
на всички членове.

Това е равно на аv1 плюс аv2

Знаем, че това е равно
на нулевия вектор.

Това е равно на нулевия вектор.

Ако съберем нулевия вектор със
самия него, полученият сбор

ще е равен пак на
нулевия вектор.

Ако v1 принадлежи на N,
и v2 принадлежи на N,

това означава, че и двата удовлетворяват
уравнението, следователно (v1 + v2)

също принадлежи на N.

Защото, когато умножаваме това по това,
получавам отново нулевия вектор.

Ще запиша и този резултат.

Знаем, че v1 + v2 също
принадлежи на N.

Последното, което трябва
да покажем, е, че множеството

е затворено по отношение
на умножението.

Да кажем, че това v1 принадлежи на
нашето пространство, което дефинирах тук,

кaто удовлетворява
това уравнение.

Какво да кажем за с по v1?

То принадлежи ли на N?

Да помислим.

Колко е матрицата А по
вектор... нали?

Просто умножавам това
по скалар.

Ще получа друг вектор.

Не искам да пиша тук главно V.

Малко v, това е вектор.

На какво е равно това?

Пак повтарям, че не съм
го доказвал още, но

това е много лесно нещо,

да се покаже, че когато
работим със скалари,

имаме скалар тук, няма
значение дали умножаваме

скалар по вектора преди
да го умножим по матрицата,

или умножаваме матрицата
по вектора, а после по скалара.

Много лесно се доказва,
че това е равно на

с по матрицата А – ще го
удебеля хубаво – по вектор v.

Тези двете са еквивалентни.

Може би трябва да направя специално
видео, в което го доказвам,

но сега го оставям на теб.

Просто разгледай какво се случва
компонент по компонент.

И ще получиш това.

И ако това е вярно, то
ние вече знаем, че v1

принадлежи на множеството, което
означава, че А по v1 е равно

на нулевия вектор.

Това означава, че това
ще се сведе до с по

нулевия вектор, което
отново е нулевият вектор.

Значи с v1 определено
принадлежи на N.

Значи множеството е затворено
по отношение на умножението.

Аз един вид допуснах това
ето тук.

Но може би ще го докажа
в следващо видео.

Искам да направя всичко това,
за да покажа, че това множество N

е валидно подпространство.

Това е валидно подпространство.

То съдържа нулев вектор.

Затворено е по отношение
на събирането.

Затворено е по отношение
на умножението.

И за това си има
специално име.

Наричаме това N ето тук
нулево пространство на А.

Можем да запишем, че е равно на...
може би не трябваше да пиша N.

Ще го напиша с оранжево.

Нашето оранжево N е равно –
начинът на записване

означава нулево
пространство на А.

Можем да запишем, че нулевото
пространство е равно на

оранжевия символ N, буквално, ако
ти дам някаква

произволна матрица А, и кажа:
"Намери ми N от А, какво е това?"

Буквално целта ни е да намерим
множеството от всички хиксове, които

удовлетворяват уравнението
А по х е равно на 0.

Ще го направя
в следващото видео.