Introduction to the Null Space of a Matrix

.

دعونا نقوم بعمل مراجعة لمفاهيم الفضاءات الجزئية مرة اخرى

ومن ثم دعونا نرى اذا كان بامكاننا ان نعرف بعض

الفضاءات الجزئية المثيرة للاهتمام التي تتعامل مع المصفوفات والمتجهات

اذاً الفضاء الجزئي --دعونا نفترض ان لدي فضاء جزئي ما-- دعوني

اسميه الفضاء الجزئي s

هذا فضاء جزئي، اذا كان الآتي صحيحاً --وهذا

كله عبارة عن مراجعة-- هذا المتجه 0 --سأكتبه بهذا الشكل--

المتجه 0، ويعتبر عنصر من s

يحتوي على المتجه 0

ثم اذا كان v1 و v2 كلاهما عناصر من الفاضء الجزئي، بالتالي فإن

v1 + v2 ايضاً يعتبر عنصراً في الفضاء الجزئي

اذاً دعونا نفترض ان الفضاءات الجزئية

تغلق اطار الجمع

يمكنك ان تجمع اي عنصران منها وستحصل على

عنصر آخر من الفضاء الجزئي

والشيئ الاخير، اذا كنت تتذكر، هو ان

الفضاءات الجزئية تغلق اطار الضرب

فاذا كان c عدد حقيقي، ومتدرج

واذا ضربت --و v1 عنصر من الفضاء الجزئي-- واذا

ضربت هذا العدد العشوائي بعنصر من

الفضاء الجزئي، v1، سأحصل على

عنصر آخر من الفضاء الجزئي

اذاً هو مغلق تحت اطار الضرب

هذا كله عبارة عن الفضاء الجزئي

وهو تعريفنا للفضاء الجزئي

اذا سميت شيئ ما بالفضاء الجزئي

فكل ما قلناه يجب ان يكون صحيحاً

الآن دعونا نرى اذا كان يمكننا ان نفعل شيئ ما مثيراً للاهتمام

بما ندركه عن ضرب متجه المصفوفة

دعونا نفترض ان لدي المصفوفة a --سأكتبها بشكل جميل و

بخط سميك-- وهي مصفوفة m × n

وانا اشعر بالمتعة من هذه الحالة؛ اريد

وضع معادلة متجانسة

وسنتحدث عن السبب الذي يجعلها متجانسة

حسناً، سأخبركم عن ذلك بسرعة

دعونا نفترض اننا سنضع المعادلة

المصفوفة a × المتجه x = المتجه 0

هذه معادلة متجانسة

لأن لدينا 0

متجانسة

واريد ان اسأل سؤالاً

--لقد تحدثت عن الفضاءات الجزئية

اذا كنت قد تحدثت عن x جميعهم-- اذا اخذت العالم

الكون، مجموعة جميع x التي تحقق هذه

المعادلة، هل لدي فضاء جزئي صالح؟

دعونا نفكر بهذا

اريد ان آخذ جميع قيم x التي تعتبر عناصر من Rn

وتذكروا، اذا كانت المصفوفة a تمتلك n من الاعمدة، بالتالي اكون قد

عرفت ضرب متجه المصفوفة هذا فقط

اذا كان x عنصراً من r، واذا كان يجب على x ان يمتلك n

من المكونات، بالتالي هذا الوحيد هو المعرف

اذاً دعوني اعرف مجموعة من جميع المتجهات التي تعتبر عنصراً

من Rn حيث انها تحقق المعادلة a × المتجه x

= المتجه 0

اذاً سؤالي الآن، ه هذا فضاء جزئي؟

هل هذا فضاء جزئي منطقي؟

اذاً السؤال الاول هو، هل يحتوي على المتجه 0؟

حسناً، لكي يحتوي على المتجه 0

المتجه 0 يجب ان يحقق هذه المعادلة

ما ناتج اي m × n، اي المصفوفة a، × المتجه 0؟

× المتجه 0

دعوني اكتب مصفوفة a --المصفوفة a-- وهي a1,1

a1,2

وصولاً الى a1,n

ومن ثم هذا، كلما اتجهما الى عامود سفلي، سنذهب

وصولاً الى a m,1 في الاسفل

ومن ثم كلما اقتربنا من الاسفل

على اليمين، سنتجه الى a m,n

سأضرب ذلك بالمتجه 0 والذي يحتوي على

n من المكونات

المتجه 0 مع n من المكونات يساوي 0،0، وسوف

نحصل على n من هذا

عدد المكونات هنا يجب ان يكون مساوياً

لعدد، لعدد الاعمدة التي لدينا. لكن عندما

نأخذ هذا الناتج، ناتج متجه المصفوفة هذا

على ماذا سنحصل؟

على ماذا ستحصل؟

حسناً، هذه العبارة الاولى هنا ستكون a1,1

× 0 + a1,2

×0 + كل من هذه العبارات × 0

وتجمعهم جميعاً، a1,1

× 0 + a1,2

+ a1,2

× 0، وصولاً الى a1,n

و × 0

اذاً نحصل على 0

الآن هذه العبارة ستكون a2,1

× 0 + a2,2

× 0 + a2,3

×0 وصولاً الى a2,n

× 0

هذا بكل وضوح ناتج سيكون 0

وستستمر في فعل ذلك لأن جميع هذه

--لا يمكنك ان تعتبره جداء قياسي

لــ-- لم اقم بتعريف الجداءات القياسية بمتجهات الصف و

ومتجهات العامود، لكن اعتقد انكم فهمتم الفكرة-- مجموع

كل من هذه العناصر، مضروب

بالمكون المتماثل في هذا المتجه

وبالطبع، فإنك دائماً ستضرب بـ 0 و

ومن ثم تجمع

لن تحصل الا على مجموعة اصفار

المتجه 0 يحقق المعادلة

a × المتجه 0 = المتجه 0

وهذه عبارة غير تقليدية

انني اكتبه هكذا، لأنني لا اشعر بأنني

اكتب الاصفار بخط سميك كل الوقت حتى اجعلكم تدركون ان

هذا متجه

لقد حققنا المطلب الاول

المتجه 0 عنصر في المجموعة

اذاً دعوني اعرف هذه المجموعة

دعوني اعرفها بـ n

وسأخبركم بسرعة عن سبب تسميتي لها بـ n

اذاً نحن نعلم ان المتجه 0 هو

عنصر من المجموعة n

الآن دعونا نفترض ان لدي متجهان، هما v1 و v2 ويعتبران

عناصر --دعوني اكتب هذا

اذاً دعونا نفترض ان لدي المتجهان v1 و v2

وكلاهما عناصر من المجموعة

ماذا يعني هذا؟

هذا يعني ان كلاهما يحققان هذه المعادلة

هذا يعني ان المصفوفة a × المتجه 1

= 0

هذا من خلال التعريف

انني اقول انهما عناصر من المجموعة، ما يعني

انهما يجب ان يحققا المعادلة

وذلك يعني ايضاً ان a × المتجه 2

= المتجه 0

وحتى يكون هذا مغلقاً تحت اطار الجمع، فإن a ×

المتجه 1 + المتجه 2، ومجموع هذان المتجهان

يجب ان يكون ايضاً عنصراً من n

لكن دعونا نجد ما هذا

مجموع هذان المتجهان يكون هذا المتجه

هذا يساوي --ولم اقم

باثبات هذا لكم بعد

لم اقم بعمل عرض لأثبت هذا

لكنه من السهل ان اثبت باستخدام تعريف

ضرب متجه المصفوفة، حيث ان ضرب متجه المصفوفة

يوضح خاصية التوزيع

وربما سأقوم بعمل عرض على هذا، لكن

عليكم ان تستعرضوا ميكانيكيات كل من

العبارات

هذا يساوي a v,1

+ a v,2

ونحن نعلم ان هذا يساوي المتجه 0

وهذا يساوي المتجه 0

واذا جمعتم المتجه 0 مع نفسه

فسيكون الناتج هو المتجه 0

اذا كان v1 عنصر من n، و v2 عنصر من n، ما

يعني ان كلاهما يحققان هذه المعادلة، وناتج v1 + v2

بلا شك سيكون عنصر من n

لانه عندما نضرب a × ذلك، سأحصل على

المتجه 0 مرة اخرى

اذاً دعوني اكتب ذلك الناتج

اذاً ايضاً --دعوني اكتب ذلك-- ايضاً--

نحن نعلم الآن ان ناتج v1 + v2 يعتبر ايضاً عنصر من n

والشيئ الاخير الذي يجب ان اوضحه هو انه مغلقاً تحت اطار

الضرب

دعونا نفترض ان v1 عنصر من الفراغ الذي عرفته

هنا، حيث انهما يحققا المعادلة

ماذا عن c × v1؟

هل يعتبر عنصراً من n؟

حسناً لنفكر فيه

ما هو حاصل المصفوفة a × المتجه --اليس كذلك؟

انني اضرب هذا بالتدرج

وسأحصل على متجه آخر

لا اريد ان اكتب V هنا

بل v، لاعبر عن المتجه

كم يساوي هذا؟

حسناً، مرة اخرى، لم اقم باثباته لكم بعد، لكنه

في الواقع شيئ مباشر لتقوموا به

ولتوضحوا انه عندما نتعامل مع التدرجات، اذا

كان لديكم تدرج هنا، فلا يهم اذا ضربتم

التدرج بالمتجه قبل ضربه

بالمصفوفة او ضرب المصفوفة بالمتجه، و

من ثم بالتدرج

انه من المباشر جداً ان تثبتوا ان هذا مساوياً

لـ c × المصفوفة a --سأكتب بخط جميل وسميك-- ×

المتجه v

حيث ان هذان متساويان

ربما يجب علي ان اجد ذلك العرض الذي يوضح هذا، لكن

سأترك هذا لكم

ستستعرضون الميكانيكيات

عنصر عنصر

وانتم وضحتهم هذا

لكن بكل وضوح، نحن بالفعل نعلم ان v1

يعتبر عنصراً من المجموعة، ما يعني ان a × v1 =

المتجه 0

وذلك يعني ان هذا يقلص الى c ×

المتجه 0، اي يبقى مساوياً للمتجه 0

اذاً c v,1

بلا شك عنصر من n

اذاً هو مغلق تحت اطار الضرب

وانا نوعاً ما افترض هذا

لانه ربما سأثبت ذلك في عروض مختلفة

لكنني اريدكم ان تفعلوا كل ذلك حتى توضحوا ان المجموعة n هي

فراغ جزئي صالح

انه فراغ جزئي صالح

انه يحتوي على المتجه 0

وهو مغلق تحت اطار الجمع

ومغلق تحت اطار الضرب

وبالفعل لدينا اسم مخصص لهذا

يمكننا ان نسميه، نسميه n، اي المساحة الفراغة لـ a

او يمكن ان نكتب n --ربما لا يتوجب علي ان

اكتب n

دعوني اكتب برتقالة هنا

البرتقالة n = --المفهوم هو

المساحة الفارغة لـ a

او يمكننا ان نكتب ان المساحة الفارغة = مفهوم البرتقالة

n، واذا اعطيتكم

مصفوفة عشوائية وهي a، وقلت، اوجدوا (n(a

كم يساوي؟

الهدف هو ان نجد مجموعة جميع قيم x التي

تحقق المعادلة a × x = 0

سأفعل هذا في العرض التالي

.