¿Por qué no es posible dividir entre cero?

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En el mundo de las matemáticas, se pueden obtener resultados muy raros cuando se cambian las reglas. Pero hay una que se aconseja respetar: no dividir entre cero. ¿Cómo es posible que la simple combinación de un número tan común con una operación básica cause tantos problemas?

Animación de Nick Hilditch.

En el mundo de las matemáticas,

se pueden obtener resultados muy raros
si se cambian las reglas.

Pero hay una que se aconseja respetar:

no dividir entre cero.

¿Cómo es posible que la simple
combinación de un número tan común

con una operación básica
pueda causar tantos problemas?

En general, la división entre números
cada vez más bajos

da resultados cada vez más grandes.

El número 10 dividido 2 da 5,

dividido 1 da 10,

dividido entre 1 millón da 10 millones,

y así sucesivamente.

Tal parece, entonces,

que si dividimos entre números
cada vez más cercanos a cero

el resultado será cada vez más alto.

Por lo tanto, el resultado de dividir
10 entre 0 ¿no sería infinito?

Puede parecer razonable.

Pero lo único que realmente sabemos
es que si dividimos 10

entre un número que se acerca a 0,

el resultado tiende a infinito.

Esto no significa que 10 dividido 0

es igual a infinito.

¿Por qué no?

Pues bien, veamos en mayor detalle
qué es realmente una división.

Dividir 10 entre 2 sería como decir:

"¿Cuántas veces debemos sumar
el número 2 para llegar a 10?"

o "el número 2 multiplicado
por cuánto equivale a 10"?

Dividir entre un número es básicamente
lo opuesto de multiplicarlo,

de la siguiente manera:

si multiplicamos cualquier número
por un número dado x,

podemos preguntarnos
si existe un nuevo número

por el que luego podemos multiplicarlo

para volver al punto de partida.

Si lo hay, el nuevo número se llama
inverso multiplicativo de x.

Por ejemplo, si multiplicamos
3 por 2 para obtener 6,

podemos luego multiplicarlo
por 1/2 para volver al 3.

Es decir que el inverso
multiplicativo de 2 es 1/2,

y el inverso multiplicativo
de 10 es 1/10.

Como se puede ver, el producto
de cualquier número

y su inverso multiplicativo
es siempre es 1.

Si queremos dividir un número entre 0,

debemos encontrar
su inverso multiplicativo,

que debería ser 1 sobre 0.

Este debería ser un número tal que
multiplicado por 0 dé por resultado 1.

Pero, como cualquier número
multiplicado por 0 dará 0,

ese número no existe,

por lo tanto, el 0 no tiene
inverso multiplicativo.

Pero ¿sirve esto para aclarar las cosas?

Después de todo, los matemáticos
han infringido reglas en el pasado.

Por ejemplo, durante mucho tiempo,

no existía la raíz cuadrada
de los números negativos.

Pero luego definieron
la raíz cuadrada de −1

como un número nuevo llamado "i",

lo cual abrió todo un nuevo
mundo en las matemáticas:

los números complejos.

Y si ellos pueden hacerlo,

¿no podríamos inventar
una nueva regla por la cual,

por ejemplo, el símbolo de infinito
signifique 1 sobre 0,

y ver qué sucede?

Hagamos la prueba,

imaginando que aún no
tenemos ni idea de infinito.

Según la definición de
inverso multiplicativo,

0 multiplicado por infinito
debe ser igual a 1.

Esto significa que 0
multiplicado por infinito,

más 0 multiplicado por infinito
debería ser igual a 2.

Ahora bien, por propiedad distributiva,

el lado izquierdo de la ecuación
puede replantearse

como 0 más 0 multiplicado por infinito.

Y como 0 más 0 es sin duda 0,

se reduce a 0 multiplicado por infinito.

Lamentablemente, ya hemos planteado
que el resultado aquí es 1,

en tanto que el otro lado de la ecuación
aún nos indica que el resultado es 2.

Es decir que 1 es igual a 2.

Por extraño que parezca, esto
no es necesariamente incorrecto;

simplemente, no es correcto
en nuestro mundo normal de los números.

Pero existe un modo en que
pueda ser matemáticamente válido

si 1, 2 y cualquier otro número
equivaliera a 0.

Pero hacer que infinito sea igual a 0

no es, a la larga, demasiado útil
para los matemáticos, ni para nadie.

En realidad, existe lo que se conoce
como la esfera de Riemann

que plantea la división entre 0
usando un método distinto,

pero dejaremos esa historia
para otra oportunidad.

Mientras tanto, dividir entre 0
de la manera convencional

no funciona tan bien.

Pero esto no debería
impedirnos asumir riesgos,

sino alentarnos a infringir
las reglas matemáticas

para inventar otros mundos
nuevos y divertidos.