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지금부터 x의 제곱 더하기 36분에 1 dx를
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부정적분 해봅시다
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여러분도 볼 수 있듯이, 이 문제는
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삼각법을 이용하지 않으면 힘든 문제입니다
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이번엔 u로 치환하여 적분할 수도 없습니다
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이것의 미분된 꼴이 없기 때문입니다
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만약 2x가 여기 있었다면 쉬었을 것입니다
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만약 있었다면, 이것의 도함수가 2x이므로
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u로 치환할 수 있고, 문제를 풀었을 것입니다
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하지만, 2x가 없을 땐 어떻게 해야 할까요?
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먼저, 삼각법의 특징에 의존할 수 밖엔 없습니다
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여기서 어떤 특징을 사용할 수 있는지 봅시다
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제가 제일 먼저 하는 것은, 이 방법은 제가
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주로 사용하는데요 -- 분모의 꼴이 상수에
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어떤 것의 제곱이 더해져있으므로, 삼각법을
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이용해야 함을 할 수 있습니다
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1에 어떤 것의 제곱 형태가 제일 편합니다
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이 적분을 다시 써보겠습니다
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분자에 dx를 써놓겠습니다
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곱셈과 같습니다
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더 깔끔하게 바꿔보겠습니다
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이 적분형태는 36을 밖으로 묶고 1더하기
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x의 제곱 분에 dx가 됩니다
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1더하기 36분에 x제곱이 이 적분을
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다시 쓰는 방법입니다
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어떤 삼각법이 문제를 간단히 할지
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생각해봅시다
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생각나는 방법은, 못 알아낸 분들을 위해 써드리면,
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1 더하기 탄젠트 세타의 제곱입니다
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이 식을 증명해봅시다
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탄젠트 정의를 이용해 탄젠트 세타의 제곱을 바꾸면
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1 더하기 cos 제곱 세타 분에 sin 제곱 세타가 됩니다
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1은 cos 제곱 분에 cos 제곱으로 생각하면
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이제 이 식을 cos 제곱 세타 분에
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cos 제곱, 이게 아까의 1, 더하기 cos 세타의 제곱 분에
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sin 세타의 제곱이 되어, 공통 분모가 생겼습니다
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cos 제곱 세타와 sin 제곱 세타를 더하면?
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단위 원의 정의가 됩니다
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이제 이 식은 cos 제곱 세타 분에 1이 됩니다
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cos 세타 분에 일의 제곱이라고 해도 됩니다
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cos 세타 분에 일은 sec 세타입니다
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그러므로 이 식은 sec 제곱 세타가 됩니다
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만약 치환을 사용하게 된다면, 여기 이것을 tangent 세타로
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만들어준다면, 즉, tangent 제곱 세타로 만들어준다면
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이것은 tangent 제곱의 세타 더하기 1
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secant 제곱의 세타가 될 것입니다
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이를 이용해 이 식을 간단하게 바꿨습니다
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36 분에 x 제곱을 tangent 제곱의 세타로
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치환할 것입니다
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양변에 제곱근을 씌워준다면
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6분에 x가 tangent 세타와 같다
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따라서, x가 6 tangent 세타임을 알 수 있습니다
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양변을 세타에 대하여 미분을 하면
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