지금부터 x의 제곱 더하기 36분에 1 dx를
부정적분 해봅시다
여러분도 볼 수 있듯이, 이 문제는
삼각법을 이용하지 않으면 힘든 문제입니다
이번엔 u로 치환하여 적분할 수도 없습니다
이것의 미분된 꼴이 없기 때문입니다
만약 2x가 여기 있었다면 쉬었을 것입니다
만약 있었다면, 이것의 도함수가 2x이므로
u로 치환할 수 있고, 문제를 풀었을 것입니다
하지만, 2x가 없을 땐 어떻게 해야 할까요?
먼저, 삼각법의 특징에 의존할 수 밖엔 없습니다
여기서 어떤 특징을 사용할 수 있는지 봅시다
제가 제일 먼저 하는 것은, 이 방법은 제가
주로 사용하는데요 -- 분모의 꼴이 상수에
어떤 것의 제곱이 더해져있으므로, 삼각법을
이용해야 함을 할 수 있습니다
1에 어떤 것의 제곱 형태가 제일 편합니다
이 적분을 다시 써보겠습니다
분자에 dx를 써놓겠습니다
곱셈과 같습니다
더 깔끔하게 바꿔보겠습니다
이 적분형태는 36을 밖으로 묶고 1더하기
x의 제곱 분에 dx가 됩니다
1더하기 36분에 x제곱이 이 적분을
다시 쓰는 방법입니다
어떤 삼각법이 문제를 간단히 할지
생각해봅시다
생각나는 방법은, 못 알아낸 분들을 위해 써드리면,
1 더하기 탄젠트 세타의 제곱입니다
이 식을 증명해봅시다
탄젠트 정의를 이용해 탄젠트 세타의 제곱을 바꾸면
1 더하기 cos 제곱 세타 분에 sin 제곱 세타가 됩니다
1은 cos 제곱 분에 cos 제곱으로 생각하면
이제 이 식을 cos 제곱 세타 분에
cos 제곱, 이게 아까의 1, 더하기 cos 세타의 제곱 분에
sin 세타의 제곱이 되어, 공통 분모가 생겼습니다
cos 제곱 세타와 sin 제곱 세타를 더하면?
단위 원의 정의가 됩니다
이제 이 식은 cos 제곱 세타 분에 1이 됩니다
cos 세타 분에 일의 제곱이라고 해도 됩니다
cos 세타 분에 일은 sec 세타입니다
그러므로 이 식은 sec 제곱 세타가 됩니다
만약 치환을 사용하게 된다면, 여기 이것을 tangent 세타로
만들어준다면, 즉, tangent 제곱 세타로 만들어준다면
이것은 tangent 제곱의 세타 더하기 1
secant 제곱의 세타가 될 것입니다
이를 이용해 이 식을 간단하게 바꿨습니다
36 분에 x 제곱을 tangent 제곱의 세타로
치환할 것입니다
양변에 제곱근을 씌워준다면
6분에 x가 tangent 세타와 같다
따라서, x가 6 tangent 세타임을 알 수 있습니다
양변을 세타에 대하여 미분을 하면