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i
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Digamos que tenemos la integral indefinida de uno
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sobre 36 más x al cuadrado
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Ahora bien, como se puede imaginar, esta no es una integral sencilla de
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resolver sin la trigonometría.
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No puedo hacer la sustitución u, no tengo la derivada de
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esto sentado en algún lugar.
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Esto sería fácil si yo tuviera una sesión 2x allí.
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Lo que yo diría, oh la derivada de esto es 2x,
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Que podía hacer la sustitución u y me había propuesto ser.
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Pero no hay 2x allí, así que ¿cómo lo hago?
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Bueno, recurro a nuestras identidades trigonométricas.
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Vamos a ver qué identidad trigonométrica podemos llegar hasta aquí.
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La primera cosa que hago siempre, esto es sólo la forma en que mi cerebro
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obras, siempre me gusta - Puedo ver que esto es una ventaja constante
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algo cuadrado, lo que me dice que debería utilizar un
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identidad trigonométrica.
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Pero siempre me gusta en términos de un cuadrado y algo más.
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Yo sólo voy a escribir mi integrante como igual a,
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déjame escribir el dx en el numerador.
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Esto es sólo tiempos dx.
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Permítanme escribir una integrante más agradable que eso.
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Esto es igual a la integral de dx más de 36 veces 1
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más x cuadrado de más de 36.
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1 + X al cuadrado más de 36 años, que es otra forma de
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escribir mi integral.
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Vamos a ver si alguna de nuestras identidades trigonométricas alguna manera puede ser
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sustituido aquí por eso que de alguna manera
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simplificar el problema.
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Así que el que viene a la mente, y si usted no sabe
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esto ya, voy a escribir aquí, es un plus
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tangemte al cuadrado de theta
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f
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Vamos a probar esto
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Tangente al cuadrado de theta, esto es igual a 1, más simplemente
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definición de seno cuadrado tangente de theta sobre
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coseno cuadrado de theta.
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Ahora 1 es solo coseno cuadrado sobre coseno al cuadrado.
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Así que yo puedo reescribir esto como igual al coseno cuadrado de theta sobre
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coseno cuadrado de theta, que es 1, plus sine squared theta sobre
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coseno cuadrado de theta, ahora que tenemos un
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denominador común.
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Ahora ¿qué es coseno al cuadrado más el seno al cuadrado?
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Definición del círculo unidad.
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Es igual a 1 sobre coseno cuadrado de theta.
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O podríamos decir que es igual a 1 sobre coseno al cuadrado.
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Uno sobre coseno es secante.
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Esto es igual a la secante cuadrada de theta.
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Si hacemos la sustitución, si decimos que vamos a hacer esta cosa
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derecho aquí igual a la tangente de theta o tangente
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cuadrado de theta.
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Entonces esta expresión será 1 plus tangente cuadrado de theta.
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Que es igual a la secante al cuadrado.
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Lo mejor le ayudarán a simplificar esta ecuación un poco.
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Vamos a decir que x al cuadrado más 36 es igual a
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tangente cuadrado de theta.
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Vamos a tomar la raíz cuadrada de ambos lados de esta ecuación y
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usted consigue x más 6 es igual a la tangente de theta, o que x
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es igual a 6 tangente de theta.
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Si tomamos la derivada de ambos lados de esto con respeto
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a theta obtenemos d x d theta es igual a lo que tiene el
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¿derivada de la tangente de theta?
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Yo pude enseñárselo a usted justo al pasar de estos básicos
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principios aquí.
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Realmente me deja hacerlo por si acaso.
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Así la derivada de tangente theta--nunca me duele hacerlo
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en el lado, permítanme hacerlo aquí.
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Va a ser 6 veces la derivada con respecto a
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Theta de tangente de theta.
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Que necesitamos para la figura, así que vamos a averiguar.
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La derivada de la tangente de theta, que es lo mismo
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como d d theta de seno de theta sobre coseno de theta.
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Es simplemente la derivada de la tangente.
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O es la misma cosa como la derivada con respecto
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a theta, permítanme Desplácese hacia la derecha un poco.
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Porque nunca recuerdo la regla del cociente, te lo he dicho en
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el pasado que es un poco cojo, del seno de tiempos de theta
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coseno de theta al menos 1 poder.
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¿Qué es este igual?
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Podríamos decir que es igual, pues la derivada de la
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primera expresión o la primera función, podríamos decir, que
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es justo coseno de theta.
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Esto es igual al coseno de theta, que es sólo la
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derivada de seno de theta veces nuestra segunda expresión.
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Coseno de tiempos de theta al menos 1.
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He puesto estos paréntesis y poner el signo menos 1 ahi
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porque no quería poner el signo menos 1 aquí y hacerte
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Creo que estoy hablando un coseno inverso o un arco coseno.
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Lo es la derivada de seno coseno de veces y ahora
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Quiero aprovechar más la derivada del coseno.
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l;
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No sólo el coseno, el derivado si coseno al menos 1.
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Eso es menos veces 1 coseno al menos poder 2 theta.
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Que es el derivado de los tiempos fuera del
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derivado del interior.
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Me permito desplazarse más.
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Por lo es la derivada de la parte exterior.
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Si la theta de coseno fue sólo una x, usted diría x negativo
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1 derivado es menos de 1 x a la menos 2.
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Ahora veces la derivada del interior.
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De coseno de theta con respecto a theta.
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Eso es a veces menos seno de theta.
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Voy a multiplicar todo eso veces sinusoidal de theta.
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La derivada de esta cosa, que es la materia en verde,
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tiempos de la primera expresión.
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Así que ¿qué significa esto?
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Estos coseno de theta dividido por el coseno del
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Theta, es igual a 1.
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Y luego tengo una 1 negativo y tengo un seno negativo de theta.
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Es plus plus.
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¿Qué tengo?
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Tengo seno cuadrado, seno de seno de tiempo theta de theta
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sobre coseno al cuadrado.
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Así más plazas sinusoidal de theta sobre coseno cuadrado de theta.
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Que es igual a 1 más tangente cuadrado de theta.
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¿Qué es 1 plus tangente cuadrado de theta?
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Yo sólo le mostramos.
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Es igual a la secante cuadrado de theta.
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Por lo que es igual a la derivada de la tangente de theta
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secante cuadrado de theta.
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Todos los que trabajan para sacarnos bastante algo--es bueno
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Cuando sale simple.
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Tan d x d theta, esto es simplemente igual a la secante
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cuadrado de theta.
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Si queremos averiguar qué x d es igual a, d x es igual a
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sólo ambos lados veces d theta.
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Por lo que es theta de secante cuadrado de 6 veces d theta.
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Es nuestro d x.
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Por supuesto, en el futuro vamos a tener que volver
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sustituir, por lo que queremos resolver por theta.
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Es bastante sencillo.
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Simplemente tome el arco tangente de ambos lados de esta ecuación.
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Consigues que el arco tangente de x más 6 es igual a la theta.
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Esto nos ahorrará para más tarde.
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Así que ¿qué es nuestra integral reducido a?
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¿Nuestra integral se convierte ahora en la integral de x d?
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¿Qué es x d?
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Es 6 de secante cuadrado de theta d theta.
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Todo eso sobre este denominador, que es de 36
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tiempos 1 plus tangente cuadrado de theta.
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Sabemos que esta ahí es secante cuadrado de theta.
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Creo que he mostrado que varias veces.
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Esto es secante cuadrado de theta en el denominador.
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Tenemos una secante al cuadrado en el numerador, cancelan.
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Por lo que aquellos se cancelan.
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Son tan integral se reduce a, suerte para nosotros, 6/36 que
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es simplemente theta de 1/6 d.
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Que es igual a 1/6 theta plus c.
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Ahora sustituimos atrás utilizando este resultado.
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Theta es igual al arco tangente x 6 más.
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La primitiva 1 sobre 36 plus x cuadrado es
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igual a 1/6 veces theta.
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Theta s justo igual que el arco tangente x más 6 plus c.
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Y hemos terminado.
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Para que uno no estaba demasiado mal.
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