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Digamos que tenemos la integral indefinida de uno
sobre 36 más x al cuadrado
Ahora bien, como se puede imaginar, esta no es una integral sencilla de
resolver sin la trigonometría.
No puedo hacer la sustitución u, no tengo la derivada de
esto sentado en algún lugar.
Esto sería fácil si yo tuviera una sesión 2x allí.
Lo que yo diría, oh la derivada de esto es 2x,
Que podía hacer la sustitución u y me había propuesto ser.
Pero no hay 2x allí, así que ¿cómo lo hago?
Bueno, recurro a nuestras identidades trigonométricas.
Vamos a ver qué identidad trigonométrica podemos llegar hasta aquí.
La primera cosa que hago siempre, esto es sólo la forma en que mi cerebro
obras, siempre me gusta - Puedo ver que esto es una ventaja constante
algo cuadrado, lo que me dice que debería utilizar un
identidad trigonométrica.
Pero siempre me gusta en términos de un cuadrado y algo más.
Yo sólo voy a escribir mi integrante como igual a,
déjame escribir el dx en el numerador.
Esto es sólo tiempos dx.
Permítanme escribir una integrante más agradable que eso.
Esto es igual a la integral de dx más de 36 veces 1
más x cuadrado de más de 36.
1 + X al cuadrado más de 36 años, que es otra forma de
escribir mi integral.
Vamos a ver si alguna de nuestras identidades trigonométricas alguna manera puede ser
sustituido aquí por eso que de alguna manera
simplificar el problema.
Así que el que viene a la mente, y si usted no sabe
esto ya, voy a escribir aquí, es un plus
tangemte al cuadrado de theta
f
Vamos a probar esto
Tangente al cuadrado de theta, esto es igual a 1, más simplemente
definición de seno cuadrado tangente de theta sobre
coseno cuadrado de theta.
Ahora 1 es solo coseno cuadrado sobre coseno al cuadrado.
Así que yo puedo reescribir esto como igual al coseno cuadrado de theta sobre
coseno cuadrado de theta, que es 1, plus sine squared theta sobre
coseno cuadrado de theta, ahora que tenemos un
denominador común.
Ahora ¿qué es coseno al cuadrado más el seno al cuadrado?
Definición del círculo unidad.
Es igual a 1 sobre coseno cuadrado de theta.
O podríamos decir que es igual a 1 sobre coseno al cuadrado.
Uno sobre coseno es secante.
Esto es igual a la secante cuadrada de theta.
Si hacemos la sustitución, si decimos que vamos a hacer esta cosa
derecho aquí igual a la tangente de theta o tangente
cuadrado de theta.
Entonces esta expresión será 1 plus tangente cuadrado de theta.
Que es igual a la secante al cuadrado.
Lo mejor le ayudarán a simplificar esta ecuación un poco.
Vamos a decir que x al cuadrado más 36 es igual a
tangente cuadrado de theta.
Vamos a tomar la raíz cuadrada de ambos lados de esta ecuación y
usted consigue x más 6 es igual a la tangente de theta, o que x
es igual a 6 tangente de theta.
Si tomamos la derivada de ambos lados de esto con respeto
a theta obtenemos d x d theta es igual a lo que tiene el
¿derivada de la tangente de theta?
Yo pude enseñárselo a usted justo al pasar de estos básicos
principios aquí.
Realmente me deja hacerlo por si acaso.
Así la derivada de tangente theta--nunca me duele hacerlo
en el lado, permítanme hacerlo aquí.
Va a ser 6 veces la derivada con respecto a
Theta de tangente de theta.
Que necesitamos para la figura, así que vamos a averiguar.
La derivada de la tangente de theta, que es lo mismo
como d d theta de seno de theta sobre coseno de theta.
Es simplemente la derivada de la tangente.
O es la misma cosa como la derivada con respecto
a theta, permítanme Desplácese hacia la derecha un poco.
Porque nunca recuerdo la regla del cociente, te lo he dicho en
el pasado que es un poco cojo, del seno de tiempos de theta
coseno de theta al menos 1 poder.
¿Qué es este igual?
Podríamos decir que es igual, pues la derivada de la
primera expresión o la primera función, podríamos decir, que
es justo coseno de theta.
Esto es igual al coseno de theta, que es sólo la
derivada de seno de theta veces nuestra segunda expresión.
Coseno de tiempos de theta al menos 1.
He puesto estos paréntesis y poner el signo menos 1 ahi
porque no quería poner el signo menos 1 aquí y hacerte
Creo que estoy hablando un coseno inverso o un arco coseno.
Lo es la derivada de seno coseno de veces y ahora
Quiero aprovechar más la derivada del coseno.
l;
No sólo el coseno, el derivado si coseno al menos 1.
Eso es menos veces 1 coseno al menos poder 2 theta.
Que es el derivado de los tiempos fuera del
derivado del interior.
Me permito desplazarse más.
Por lo es la derivada de la parte exterior.
Si la theta de coseno fue sólo una x, usted diría x negativo
1 derivado es menos de 1 x a la menos 2.
Ahora veces la derivada del interior.
De coseno de theta con respecto a theta.
Eso es a veces menos seno de theta.
Voy a multiplicar todo eso veces sinusoidal de theta.
La derivada de esta cosa, que es la materia en verde,
tiempos de la primera expresión.
Así que ¿qué significa esto?
Estos coseno de theta dividido por el coseno del
Theta, es igual a 1.
Y luego tengo una 1 negativo y tengo un seno negativo de theta.
Es plus plus.
¿Qué tengo?
Tengo seno cuadrado, seno de seno de tiempo theta de theta
sobre coseno al cuadrado.
Así más plazas sinusoidal de theta sobre coseno cuadrado de theta.
Que es igual a 1 más tangente cuadrado de theta.
¿Qué es 1 plus tangente cuadrado de theta?
Yo sólo le mostramos.
Es igual a la secante cuadrado de theta.
Por lo que es igual a la derivada de la tangente de theta
secante cuadrado de theta.
Todos los que trabajan para sacarnos bastante algo--es bueno
Cuando sale simple.
Tan d x d theta, esto es simplemente igual a la secante
cuadrado de theta.
Si queremos averiguar qué x d es igual a, d x es igual a
sólo ambos lados veces d theta.
Por lo que es theta de secante cuadrado de 6 veces d theta.
Es nuestro d x.
Por supuesto, en el futuro vamos a tener que volver
sustituir, por lo que queremos resolver por theta.
Es bastante sencillo.
Simplemente tome el arco tangente de ambos lados de esta ecuación.
Consigues que el arco tangente de x más 6 es igual a la theta.
Esto nos ahorrará para más tarde.
Así que ¿qué es nuestra integral reducido a?
¿Nuestra integral se convierte ahora en la integral de x d?
¿Qué es x d?
Es 6 de secante cuadrado de theta d theta.
Todo eso sobre este denominador, que es de 36
tiempos 1 plus tangente cuadrado de theta.
Sabemos que esta ahí es secante cuadrado de theta.
Creo que he mostrado que varias veces.
Esto es secante cuadrado de theta en el denominador.
Tenemos una secante al cuadrado en el numerador, cancelan.
Por lo que aquellos se cancelan.
Son tan integral se reduce a, suerte para nosotros, 6/36 que
es simplemente theta de 1/6 d.
Que es igual a 1/6 theta plus c.
Ahora sustituimos atrás utilizando este resultado.
Theta es igual al arco tangente x 6 más.
La primitiva 1 sobre 36 plus x cuadrado es
igual a 1/6 veces theta.
Theta s justo igual que el arco tangente x más 6 plus c.
Y hemos terminado.
Para que uno no estaba demasiado mal.
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