Integrals: Trig Substitution 2

Another example of finding an anti-derivative using trigonometric substitution

دعونا نفترض أن لدينا مشتقاً عكسياً قيمته 1

تقسيم 36 زائد مربع المتغير x dx.

والآن، كما تتوقع، فإن إيجاد مكاملة هذه الدالة

يصعب الحل بدون إستخدام أساليب حساب المثلثات

لا يمكنني التعويض في هذه الحالة كذلك، فليس لدي مشتقة

هذا في مكان ما.

لربما كان الأمر أسهل لو أن المتغير 2x كان هناك.

لقلت أن مشتقة الدالة هذه هو 2x،

وبعدها أعوض عن المتغير وأنتهي من هذه .

لكنه لا يوجد 2x هناك، إذن كيف بإمكاني إيجاد مكاملة الدالة؟

سوف أضطر لاستخدام المتطابقات المثلثية.

لنرى أي المتطابقات المثلثية موجودة هنا.

أول ما أقوم به دائماً،

فبإمكاني أن أرى أن هناك رقم ثابت زائد شيء

آخر مربع، مما يدلني أنه علي استخدام

المتطابقات المثلثي.

لكني أفضلها إن كانت في هذه الصيغة: 1 زائد مربع المتغير

لهذا سأقوم بإعادة كتابة المكاملة على هذه الصيغة تساوي

دعني أكتب dx في البسط

هذا الكسر مضروب بـ dx

دعني أكتب متكاملة أبسط من ذلك

هذا يساوي المتكاملة للدالة dx على 36 ضرب 1

زائد مربع x تقسيم 36.

1 زائد مربع x تقسيم 36، هي طريقة أخرى

لكتابة متكاملة هذه الدالة.

دعونا نرى إن كان بإمكاننا التعويض باستخدام المتطابقات المثلثية

بشكل ما

لتبسيط المشكلة.

إذا فإن إحدى المتطابقات المثلثية التي تخطر في بالي، وإن لم تكونوا تعرفوها

سأكتبها هنا، وهي 1 زائد

مربع tan θ

دعونا نبرهن هذه المتطابقة المثلثية

مربع tan θ يساوي

وهذا هو تعريف الدالة المثلثية tan، واحد زائد مربع sin θ على

مربع الدالة المثلثية cos θ

والآن، فبإمكاننا أن نرى أن 1 يساوي مربع الدالة cos على مربع الدالة cos

وهكذا، فبإمكاني إعادة كتابة هذا في هذه الصيغة : مربع cos θ على

مربع cos θ، والذي يعطينا 1، زائد مربع sin θ على

مربع cos θ،والآن فإن لدينا

مقاماً موحداً

والآن، فما هي الطريقة الأخرى لكتابة مربع cos θ + مربع sin θ؟

تعريف دائرة الوحدة.

وهو 1 فتصبح 1على مربع cos θ

أو بإمكاننا القول أن ذلك يساوي 1 على مربع cos θ

نعرف أن 1 على cos هو الدالة المثلثية sec.

وهكذا، فإن هذا يساوي مربع sec θ.

وإذا قمنا بالتعويض، وجعلنا هذا الشيء هنا

يساوي tan θ أو

مربع tan θ.

فهكذا، تصبح هذه العبارة تساوي 1 زائد مربع tan θ.

والذي يساوي مربع مربع sec.

لربما يساعد ذلك في تبسيط المعادلة قليلاً.

سنفترض أن مربع x على 36 يساوي...

مربع الدالة المثلثية tan θ.

دعونا نأخذ الجذر التربيعي لجانبي المعادلة

ومن ذلك تصبح المعادلة x تقسيم 6 يساوي tan θ.او

x = 6 tan θ