Linear Algebra: Rank(A) = Rank(transpose of A)

예전의 강의에서, 행렬 A의 계수는

그 행렬의 전치의 계수와 같다고 했습니다

완전히 논리적이지는 않은 결론이었죠

강의의 끝부분이라서 제가 좀 피곤했나봐요

하루의 끝이기도 했거든요

아무튼 그래서 이 부분을 확실히
정리해보는 것이 좋을 것 같다고

생각했습니다

중요하게 기억해야할 부분이거든요

우리가 지금까지 배운 모든 것을 이해하는데

조금 더 도움이 될거에요

그래서 이해해봅시다, A의 전치의

계수로부터 시작해봅시다

A의 전치의 계수는 A의 전치의

열공간의 차원와 같습니다

이것은 계수의 정의이지요

A의 전치의 열공간의 차원은

A의 전치의 열공간을 이루는
기저벡터의 개수라고

할 수 있습니다

차원이라는 것은 이런 것이죠

임의의 부분공간에 대해서

그 부분공간에 필요한 기저벡터의

개수를 세면 그것이 차원입니다

그러니까 A의 전치의 열공간을 이루는

기저벡터의 개수도 같은 맥락이죠

이미 여러 번 보았듯이, A의 행공간과

같습니다

맞죠?

A의 행들이죠

행과 열을 전환하기 때문입니다

그렇다면 A의 전치의 열공간, 즉
A의 행공간에 필요한

기저벡터의 개수는 어떻게

구할 수 있을까요?

A의 전치의 열공간이 무엇을 나타내는지

먼저 생각해봅시다

이것은 다음과 같죠, 먼저

A를 그려보겠습니다

이것은 행렬 A입니다

m×n의 행렬이라 합시다

행벡터로 써볼게요

열벡터로 쓸 수도 있지만 일단

행벡터로 표현해보겠습니다

일단 첫 번째 행이 있겠죠

열벡터의 전치이므로

첫 번째 행, 두 번째 행, 이렇게 쭉

m 번째 행까지 있을거에요

그렇죠? m×n의 행렬이니까요

이 각각의 벡터는 rn의 원소일 것입니다

n개의 열이 있으므로 n개의 항목을

가질 것이니까요

A는 바로 이렇게 생겼을 겁니다

이것이 행렬 A이죠

A의 전치는, 이 모든 행을

열로 바꾼 것이 되겠죠

전치는 다음과 같이 쓸 수 있습니다
r1, r1, 이렇게

rm까지 쭉 쓸 수 있어요

당연히 n×m의 행렬일 것입니다

행과 열을 교환했으니까요

여기의 행이 열이 된 것입니다

그렇죠?

그리고 당연히 열공간은, 아마도
그렇게 당연하지 않을 수도 있지만

A의 전치의 열공간은

r1, r2, ... , rm까지를 생성한 것과
같을 것입니다

맞죠?

이들의 생성과 같을 거에요

혹은 모호하게, A의 행의 생성과

같다고 할 수 있습니다

행공간이라고 불리는 이유이기도 합니다

A의 행의 생성과 같아요

이 둘은 같은 것입니다

이것이 생성이지요

이 말은 곧 이 열, 혹은 여기의 행의

모든 선형결합인 어떤 부분공간이

존재한다는 것입니다

기저를 구하고 싶다면, 이들 열을

구성하는 선형독립벡터의 최소한의

집합을 구하면 됩니다

혹은 이 행을 구성하는 그러한
집합을 구할 수 있겠죠

자 그렇다면
A를 기약행사다리꼴로 만들면

어떻게 될까요?

기약행사다리꼴로 만들기 위해서는

많은 행연산이 필요하죠?

마치 이런 것입니다

A의 기약행사다리꼴을 구하면

A의 기약행사다리꼴은

이런 것이겠죠

피벗성분이 있는 피벗행이

있을 것입니다

여기 피벗성분이 하나 있다고 가정하고

여기도 하나 있다고 가정해봅시다

나머지는 모두 0일 겁니다

여기도 0일거에요

피벗성분은 그 열에서 0이 아닌

유일한 성분이어야 합니다

또한 그 성분의 왼쪽은 모두 0이어야합니다

이 성분들은 0이 아니라고 해봅시다

이 성분들은 0이 아니라고 해봅시다

여기는 0이고요

여기에 또 다른 피벗성분이 있다고 합시다

나머지는 모두 0입니다

나머지는 모두 피벗성분이
아니라고 가정합시다

다시 보면 여기에 몇 개의 피벗행이나

몇 개의 피벗성분이 있음을 알 수 있죠?

여기에 행연산을 해서 얻은 것입니다

그러니까 이러한 선형 행연산들

예를 들면 두 번째 행에 3을 곱하고
첫 번째 행에 더하면

새로운 첫 번째 행이 되는 식으로요

이런 방식으로 계속 연산하여
이 행렬이 나왔다고 합시다

그러니까 이 부분은 이 성분들의

선형결합이라고 할 수 있습니다

혹은 다른 방법으로는, 이 행연산을

거꾸로 할 수 있죠

이 행렬에서 시작해서

쉽게 정반대의 행연산을 할 수 있습니다

어떠한 선형 연산이든 그
반대를 행할 수 있죠

이미 여러 번 보았습니다

행연산을 통해 이 행렬로부터

이 행렬을 얻을 수 있습니다

다른 방법으로 살펴보면, 이 벡터들

이 행벡터들은 여기의 피벗행들의

선형결합으로 표현할 수 있습니다

당연하게도 피벗행이 아닌 행들은
모두 0입니다

쓸모없죠

하지만 피벗행들은, 선형결합을 구하면

행사다리꼴에서 정반대로

본래의 행렬을 구할 수 있습니다

그러니까 이 성분들은 모두 이 성분들의

선형결합으로 나타낼 수 있습니다

그리고 이 모든 피벗성분들은
정의에 의해서, 거의

선형독립한다고 할 수 있죠?

여기 1이 있기 때문에요

나머지는 모두 1이 없습니다

그러니까 이 성분은 확실히
다른 것의 선형결합으로

표현될 수 없습니다

지금 이 과정을 왜 하고 있죠?

행공간을 위한 기저가

필요하다고 했었죠

이 성분들이 생성하는 모든 것을

생성하는 선형독립하는 벡터의
최소한 집합을 원했습니다

이들을 모두 기약행사다리꼴의

행벡터 혹은 피벗행들의

선형결합으로 나타낼 수 있다면

이들은 모두 선형독립하며

유효한 기저가 될 수 있는 것이죠

그러니까 여기의 피벗행들

하나, 둘, 세 개가 있죠

이것은 하나의 특정한 예시라고
볼 수 있습니다

이것은 이 행공간에 적합한 기저가 되겠죠

한 번 써볼게요

기약행사다리꼴의 피벗행들은

A의 행공간을 위한 기저가 됩니다

A의 행공간, 혹은 A의 전치의

열공간이요

A의 행공간이 A 의 전치의 열공간과

같다는 것은

이미 여러 번 확인했습니다

자 이제 열공간의 차원을 구하려면

피벗행의 개수를 세면 되겠죠

피벗행을 한 번 세봅시다

A의 전치의 열공간과 같은

행공간의 차원은

기약행사다리꼴에서 피벗행의
개수와 같다는 것입니다

더 단순하게는 피벗성분의 개수라고도
말할 수 있겠네요, 왜냐하면

각각의 피벗성분은 피벗행을 가지니까요

그러니까 A의 전치의 계수가
기약행사다리꼴의 A에서

피벗성분의 개수라고 할 수 있겠죠

그렇죠?

왜냐하면 각각의 피벗성분이
피벗행과 상응하니까요

이 피벗행들은 전체 행공간을 위한
적합한 기저가 됩니다

각각의 행이 이들의 선형결합으로

만들어질 수 있으니까요

그러므로 이들이 만들어질 수 있고

이어서 이들도 만들어질 수 있겠죠

자, 좋아요

그렇다면 A의 계수는 무엇일까요?

이것은 우리가 계속 다루고 있는

A의 전치의 계수입니다

A의 계수는 A의 열공간의 차원과

같습니다

A의 열공간을 위한 기저에 존재하는

벡터의 개수라고도 할 수 있습니다

위의 행렬 A를

c1, c2, ... , cn에 이르는 열벡터로

표현해봅시다

여기 n개의 열이 있죠

열공간은 기본적으로 이들에 의해

생성된 부분공간이지요?

여기 각각의 열벡터들에 의해
생성된 공간이요

그러니까 A의 열공간은 c1, c2, ..., cn의

생성과 같습니다

정의를 이용한 것이죠

하지만 우리가 알고싶은 것은
기저벡터의 개수입니다

앞에서 여러 번 했지만, 우리는 적합한

기저벡터가 어떤 것인지 알고 있어요

기약행사다리꼴로 만들면

몇몇 피벗성분과 그에 상응하는
피벗열이 존재합니다

이런 식으로 피벗성분에 그에 상응하는

피벗열이 있는 것이죠

이렇게 1이나 0이 아닌 성분이 있을 수 있고

여기 1이 존재할 수도 있겠죠

특정개수의 피벗열이 있을 겁니다

다른 색깔로 써볼게요

A를 기약행사다리꼴로 만들면

기저벡터, 즉 열공간을 위한 기저를

생성하는 기저열이 피벗열에 상응하는

열이 되는 것입니다

그러므로 여기 첫 번째 열은 피벗열이고

기저벡터가 될 수 있습니다

두 번째 열도 피벗열이므로
피벗벡터가 되구요

네 번째 열 역시 마찬가지입니다

그러니까 일반적으로 기저벡터의 개수를

구할 때, 계수만을 알고
벡터 자체가 무엇인지

알 필요는 없으므로

몇 개가 있는지만 알면 됩니다

각각의 피벗열에 대해서

기저벡터가 있다고 했었죠

그러니까 피벗열의 개수만 세면 되겠군요

피벗열의 개수는 피벗성분의 개수와 같죠

피벗성분이 각각 하나의 열을

가지니까요

그러므로 우리는 A의 계수가
기약행사다리꼴의 A에서

피벗성분의 개수와 같다고 할 수 있습니다

보이는 바와 같이 이것이 바로 우리가
유추했던 결론입니다

A의 전치의 계수가

A의 전치의 열공간의 차원과 같고

A의 전치의 열공간의 차원과 같고

A의 행공간의 차원과도 같다는 것입니다

결론을 다시 정리해볼게요

A의 계수는 A의 전치의 계수와
명백히 같은 것입니다