< Return to Video

Линейна алгебра: Рангът на една матрица А е равен на ранга на транспонираната матрица А

  • 0:01 - 0:04
    Преди няколко урока казах, че
    рангът на една матрица А
  • 0:04 - 0:08
    е равен на ранга на
    нейната транспонирана матрица.
  • 0:08 - 0:10
    Но го формулирах
    малко повърхностно.
  • 0:10 - 0:12
    Беше в края на видеото
    и аз бях вече изморен.
  • 0:12 - 0:14
    Всъщност беше в
    края на деня.
  • 0:14 - 0:17
    Затова си мисля, че
    може би си заслужава
  • 0:17 - 0:17
    да отделим малко
    повече внимание на това,
  • 0:17 - 0:19
    защото това е едно
    важно свойство.
  • 0:19 - 0:23
    То ни помага да разберем малко
    по-добре всичко, което учим.
  • 0:23 - 0:25
    Хайде да видим...
  • 0:25 - 0:32
    Всъщност ще започна с ранга на
    транспонираната матрица А.
  • 0:32 - 0:37
    Рангът на транспонираната матрица А
    е равен на размера на
  • 0:37 - 0:40
    векторното пространство, определено
    чрез вектор-стълбовете на АТ.
  • 0:40 - 0:43
    Това е определението
    за ранг на матрица.
  • 0:43 - 0:47
    Размерът на векторното пространство
    на транспонираната матрица А
  • 0:47 - 0:54
    е броят на векторите в базиса
  • 0:54 - 0:55
    на векторното пространство, определено
    чрез вектор-стълбовете на АТ.
  • 0:55 - 0:57
    Ето това е този размер.
  • 0:57 - 1:00
    За всяко подпространство трябва
    да определим колко базисни вектори
  • 1:00 - 1:02
    са нужни за това подпространство,
    преброяваме ги
  • 1:02 - 1:03
    и това е нашият размер.
  • 1:03 - 1:07
    Значи това е броят на базисните
    вектори на векторното пространство
  • 1:07 - 1:10
    на транспонираната матрица А, което,
    разбира се, е същото нещо –
  • 1:10 - 1:13
    виждали сме го много пъти и като
  • 1:13 - 1:18
    векторно пространство, определено
    чрез вектор-редовете на матрицата А.
  • 1:18 - 1:18
    Нали?
  • 1:18 - 1:20
    Вектор-стълбовете на матрицата АТ
    са еднакви с
  • 1:20 - 1:22
    вектор-редовете на матрицата А.
  • 1:22 - 1:24
    Това е така, защото разменяме
    редовете и стълбовете.
  • 1:24 - 1:27
    Как можем да определим
    броя на базисните вектори,
  • 1:27 - 1:30
    които са ни нужни за векторното пространство,
    определено чрез вектор-стълбовете на АТ,
  • 1:30 - 1:32
    или векторното пространство, определено
    чрез вектор-редовете на матрицата А?
  • 1:32 - 1:34
    Да помислим какво представлява
    векторното пространство, определено чрез
  • 1:34 - 1:36
    вектор-редовете на
    транспонираната матрица А.
  • 1:36 - 1:38
    То е еквивалентно на...
    да кажем, че...
  • 1:38 - 1:43
    ще начертая матрицата А ето така.
  • 1:43 - 1:44
    Това е някаква матрица А.
  • 1:44 - 1:47
    Да кажем, че тя
    е матрица m x n.
  • 1:47 - 1:49
    Ще я представя като
    съвкупност от вектор-редове.
  • 1:49 - 1:51
    Мога да я запиша и като
    вектор-стълбове, но
  • 1:51 - 1:53
    сега ще използваме
    вектор-редове.
  • 1:53 - 1:55
    Имаме първи ред.
  • 1:55 - 1:57
    Това са транспонираните
    вектор-стълбове.
  • 1:57 - 2:02
    Това е първият ред, после
    имаме втори ред,
  • 2:02 - 2:06
    и така нататък,
    чак до ред m.
  • 2:06 - 2:06
    Нали?
  • 2:06 - 2:07
    Това е матрица m x n.
  • 2:07 - 2:10
    Всеки от тези вектори принадлежи
    на Rn, защото те
  • 2:10 - 2:12
    съдържат елементи,
  • 2:12 - 2:14
    които образуват n стълба.
  • 2:14 - 2:17
    Значи матрицата А
    ще изглежда ето така.
  • 2:17 - 2:21
    След това в транспонираната
    матрица А всички тези редове
  • 2:21 - 2:22
    ще станат стълбове.
  • 2:22 - 2:28
    Транспонираната матрица
    ще изглежда така: r1, r2
  • 2:28 - 2:31
    и така нататък до rm.
  • 2:31 - 2:34
    Това ще бъде матрица n x m.
  • 2:34 - 2:35
    Разместваме тези букви.
  • 2:35 - 2:39
    Всички тези редове
    стават стълбове.
  • 2:39 - 2:40
    Нали?
  • 2:40 - 2:42
    Очевидно векторното пространство,
    определено чрез вектор-стълбовете –
  • 2:42 - 2:47
    а може и да не е толкова очевидно –
    векторното пространство, определено чрез
    вектор-стълбовете на АТ
  • 2:47 - 2:56
    е равно на линейната обвивка
    на r1, r2... rm.
  • 2:56 - 2:57
    Нали?
  • 2:57 - 2:58
    Равно е на линейната
    обвивка на тези вектори.
  • 2:58 - 3:01
    Или можеш алтернативно
    да го наречеш линейната обвивка
  • 3:01 - 3:01
    на вектор-редовете на
    матрицата А.
  • 3:01 - 3:04
    Затова се нарича векторно пространство,
    определено чрез вектор-редовете.
  • 3:04 - 3:13
    Това е равно на линейната обвивка
    на вектор-редовете на матрицата А.
  • 3:13 - 3:15
    Тези две неща са
    еквивалентни.
  • 3:15 - 3:16
    Значи това е
    линейната обвивка.
  • 3:16 - 3:18
    Това означава, че това е някакво
    подпространство, което съдържа
  • 3:18 - 3:21
    всички линейни комбинации
    на тези вектор-стълбове,
  • 3:21 - 3:22
    всички линейни комбинации
    на тези вектор-редове.
  • 3:22 - 3:26
    Ако търсим базисът на това,
    значи търсим минималното множество
  • 3:26 - 3:29
    от линейно независими вектори,
    които ще използваме,
  • 3:29 - 3:31
    за да съставим някой от тези
    вектор-стълбове.
  • 3:31 - 3:35
    Или които бихме използвали, за да
    конструираме някой от тези редове ето тук.
  • 3:35 - 3:37
    А какво се случва, когато
    преобразуваме матрицата А
  • 3:37 - 3:40
    в ешелонна форма?
  • 3:40 - 3:46
    Извършваме поредица
    от операции с редовете,
  • 3:46 - 3:49
    за да я преобразуваме
    в ешелонна форма.
  • 3:49 - 3:49
    Нали?
  • 3:49 - 3:52
    Извършваме операции
    по редове, и евентуално
  • 3:52 - 3:53
    получаваме нещо такова.
  • 3:53 - 3:57
    Получаваме ешелонната
    форма на матрицата А.
  • 3:57 - 4:00
    Ешелонната форма на
    матрицата А ще изглежда
  • 4:00 - 4:01
    приблизително така.
  • 4:01 - 4:04
    Ще имаме няколко водещи
    реда, няколко реда, които
  • 4:04 - 4:06
    съдържат водещи елементи.
  • 4:06 - 4:09
    Да кажем, че това
    е един такъв ред.
  • 4:09 - 4:11
    Този ще има нули
    чак до долу.
  • 4:11 - 4:13
    Този ще има нули.
  • 4:13 - 4:15
    Водещият елемент ще бъде
    единственият елемент, различен от нула,
  • 4:15 - 4:16
    в неговия стълб.
  • 4:16 - 4:18
    Всичко друго ще бъдат нули.
  • 4:18 - 4:20
    Да кажем, че това
    е един такъв елемент.
  • 4:20 - 4:21
    Това са няколко елемента,
    които са различни от нула.
  • 4:21 - 4:23
    Тези са нули.
  • 4:23 - 4:25
    Тук имаме друг
    водещ елемент.
  • 4:25 - 4:25
    Всичко друго са нули.
  • 4:25 - 4:29
    Да кажем, че всички други
    елементи не са водещи.
  • 4:29 - 4:33
    Значи преобразуваме, докато получим
    някакъв брой водещи редове,
  • 4:33 - 4:35
    или определен брой
    водещи елементи, нали?
  • 4:35 - 4:38
    И стигаме дотук, като
    извършваме линейни операции
  • 4:38 - 4:39
    с тези редове.
  • 4:39 - 4:42
    Значи линейни операции по редове –
    спомни си, взимаме
  • 4:42 - 4:45
    3 пъти втория ред и го прибавяме
    към първия ред, който след това
  • 4:45 - 4:46
    става нашият нов втори ред.
  • 4:46 - 4:48
    И продължаваме така, докато
    получим тази форма.
  • 4:48 - 4:49
    Значи тези тук са
    линейни комбинации
  • 4:49 - 4:51
    на тези тук.
  • 4:51 - 4:53
    Друг начин да го направим
    е да приложим наобратно
  • 4:53 - 4:53
    тези операции по редове.
  • 4:53 - 4:56
    Можем да започнем с тези тук.
  • 4:56 - 4:59
    Можем също така лесно
    да изпълним операциите
  • 4:59 - 5:00
    по редове по обратния път.
  • 5:00 - 5:02
    Всяка линейна операция можем
    да я извършим наобратно.
  • 5:02 - 5:04
    Правили сме го
    много пъти.
  • 5:04 - 5:10
    Можем да извършваме операции
    с тези редове, така че
  • 5:10 - 5:11
    да получим всички тези редове.
  • 5:11 - 5:15
    Друг начин да го разглеждаме, е,
    че тези вектор-редове тук,
  • 5:15 - 5:20
    тяхната линейна обвивка
    са всички тези... или всички тези
  • 5:20 - 5:23
    вектор-редове могат да бъдат
    представени като линейни комбинации
  • 5:23 - 5:24
    на нашите водещи редове
    ето тук.
  • 5:24 - 5:29
    Очевидно, неводещите редове
    ще съдържат само нули.
  • 5:29 - 5:31
    И всички те са безполезни.
  • 5:31 - 5:34
    Но водещите редове,
    ако ги комбинираме линейно,
  • 5:34 - 5:38
    очевидно можем да "обърнем"
    ешелонната форма
  • 5:38 - 5:39
    и да получим отново
    нашата матрица.
  • 5:39 - 5:41
    Значи всички тези тук
    могат да се представят
  • 5:41 - 5:43
    като линейни комбинации
    на тези.
  • 5:43 - 5:47
    А всички тези водещи елементи
    по определение –
  • 5:47 - 5:49
    почти по определение –
    те всички са линейно независими,
  • 5:49 - 5:50
    нали?
  • 5:50 - 5:51
    Защото тук имам 1.
  • 5:51 - 5:53
    Никой друг ред няма тук 1.
  • 5:53 - 5:56
    Значи този ред определено
    не може да се представи като
  • 5:56 - 5:58
    линейна комбинация
    на този ред.
  • 5:58 - 6:01
    Но защо правя всичко това?
  • 6:01 - 6:02
    В началото казах, че искам
    да определя
  • 6:02 - 6:05
    базиса на векторното пространство,
    определено чрез вектор-редовете.
  • 6:05 - 6:10
    Търсим някакво минимално множество
    от линейно независими вектори,
  • 6:10 - 6:13
    чиято линейна обвивка включва
    линейните обвивки на всички тези вектори.
  • 6:13 - 6:15
    Ако всички тези вектори могат
    да бъдат представени като
  • 6:15 - 6:18
    линейни комбинации на тези
    вектор-редове в ешелонната форма –
  • 6:18 - 6:23
    или тези водещи редове в
    ешелонната форма –
  • 6:23 - 6:26
    и тези вектори са линейно
    независими, тогава това
  • 6:26 - 6:28
    определено е базис.
  • 6:28 - 6:31
    Значи тези водещи редове тук,
    това е един от тях,
  • 6:31 - 6:34
    това е вторият ред, това
    е третият ред, може би
  • 6:34 - 6:34
    те са само три.
  • 6:34 - 6:36
    Това е нашият
    конкретен пример.
  • 6:36 - 6:39
    Това е подходящ базис за нашето векторно
    пространство, определено чрез вектор-редовете.
  • 6:39 - 6:41
    Ще запиша това.
  • 6:41 - 6:57
    Водещите редове в ешелонната
    форма на матрицата А са базис
  • 6:57 - 7:03
    за векторното пространство, определено
    чрез вектор-редовете на матрицата А.
  • 7:03 - 7:07
    А векторното пространство, определено чрез
    вектор-редовете на матрицата А съвпада с
  • 7:07 - 7:08
    векторното пространство, определено чрез
    вектор-стълбовете на транспонираната матрица А.
  • 7:08 - 7:10
    Векторното пространство, определено чрез
    вектор-редовете на матрицата А съвпада с
  • 7:10 - 7:11
    векторното пространство, определено чрез
    вектор-стълбовете на транспонираната матрица А.
  • 7:11 - 7:13
    Видяхме това много пъти.
  • 7:13 - 7:17
    Ако искам да определя размера на
    векторното пространство,
  • 7:17 - 7:21
    просто преброявам водещите
    редове, които имам.
  • 7:21 - 7:23
    Значи просто преброяваме
    водещите редове.
  • 7:23 - 7:26
    Значи размерът на векторното пространство,
    определено чрез вектор-редовете, който е равен на
  • 7:26 - 7:28
    векторното пространство, определено чрез
    вектор-стълбовете на АТ, ще бъде равен на
  • 7:28 - 7:32
    броя на водещите редове, които
    имаме в ешелонната форма на матрицата.
  • 7:32 - 7:35
    Даже, още по-лесно, броят
    на водещите елементи, които имаме,
  • 7:35 - 7:37
    защото на всеки водещ елемент
    съответства водещ ред.
  • 7:37 - 7:47
    Значи можем да запишем, че рангът
    на транспонираната матрица А е равен
  • 7:47 - 7:57
    на броя на водещите елементи
    в ешелонната форма на матрицата А.
  • 7:57 - 7:57
    Нали?
  • 7:57 - 8:00
    Защото всеки водещ елемент
    съответства на водещ ред.
  • 8:00 - 8:04
    Този водещ ред е подходящ
    базис за цялото векторно пространство,
  • 8:04 - 8:06
    определено чрез вектор-редове, защото
    всеки ред може да бъде линейна комбинация
  • 8:06 - 8:08
    от тези вектор-редове.
  • 8:08 - 8:10
    И понеже всички тези са възможни,
    тогава всеки от тези вектори
  • 8:10 - 8:13
    могат да бъдат конструирани,
    тези вектори могат да бъдат конструирани.
  • 8:13 - 8:14
    Добре.
  • 8:14 - 8:16
    И какъв е рангът на матрицата А?
  • 8:16 - 8:20
    Това е рангът на транспонираната
    матрица А, който досега определяхме.
  • 8:20 - 8:30
    Рангът на матрицата А е равен
    на размера на
  • 8:30 - 8:33
    векторното пространство, определено
    чрез вектор-стълбовете на матрицата А.
  • 8:33 - 8:42
    Или можем да кажем, че това
    е броят на векторите в базиса
  • 8:42 - 8:44
    на векторното пространство
    на матрицата А.
  • 8:44 - 8:51
    Да вземем същата матрица А,
    която използвахме преди,
  • 8:51 - 8:58
    но сега да я представим
    като вектор-стълбове – с1, с2 до сn.
  • 8:58 - 9:00
    Тук имаме n стълба.
  • 9:00 - 9:02
    Векторното пространство, определено
    чрез вектор-стълбовете е подпространството,
  • 9:02 - 9:05
    чиито базови вектори са
    всички тези вектори тук, нали?
  • 9:05 - 9:07
    Това е линейната обвивка на
    всички тези вектор-стълбове.
  • 9:07 - 9:13
    Значи векторното пространство, определено
    чрез вектор-стълбовете на А е равно на
  • 9:13 - 9:16
    линейната обвивка на
    с1, с2... сn.
  • 9:16 - 9:17
    Това е определението.
  • 9:17 - 9:19
    Но ние искаме да знаем
    броят на базисните вектори.
  • 9:19 - 9:23
    И вече сме виждали –
    правили сме го много пъти –
  • 9:23 - 9:25
    кои може да са подходящите
    базисни вектори.
  • 9:25 - 9:29
    Ако преобразувам матрицата
    в ешелонна форма, и ако
  • 9:29 - 9:33
    имаме няколко водещи елемента,
    съответно водещи стълбове,
  • 9:33 - 9:37
    значи няколко водещи елементи
    и съответните им водещи стълбове,
  • 9:37 - 9:37
    ето така.
  • 9:37 - 9:42
    Може би този тук, и после
    може би този не е водещ,
  • 9:42 - 9:43
    после този тук е водещ.
  • 9:43 - 9:47
    Значи имаме определен
    брой водещи стълбове.
  • 9:47 - 9:49
    Ще използвам различен цвят.
  • 9:49 - 9:53
    Когато преобразуваме матрицата А
    в ешелонна форма, научихме,
  • 9:53 - 9:57
    че базисните вектори,
    или базисните вектор-стълбове, които
  • 9:57 - 9:59
    образуват нашето векторно пространство,
    са вектор-стълбовете, които
  • 9:59 - 10:02
    съответстват на
    водещите стълбове.
  • 10:02 - 10:05
    Значи първият стълб е
    водещ стълб,
  • 10:05 - 10:06
    значи този стълб
    може да бъде базисен вектор.
  • 10:06 - 10:08
    Вторият стълб е – значи
    това може да е водещ стълб.
  • 10:08 - 10:11
    Или може би четвъртият стълб
    ето тук, значи този стълб
  • 10:11 - 10:12
    може да е водещ вектор.
  • 10:12 - 10:16
    Значи, по принцип, просто
    си казваш, че ако искаш да преброиш
  • 10:16 - 10:17
    броя на базисните вектори –
    защото дори не е задължително да знаем
  • 10:17 - 10:18
    кои са те, за да определим
    ранга на матрицата.
  • 10:18 - 10:20
    Трябва да знаем само
    техния брой.
  • 10:20 - 10:23
    И затова казваме, че
    за всеки водещ стълб тук
  • 10:23 - 10:25
    имаме базисен вектор тук.
  • 10:25 - 10:27
    Можем просто да преброим
    броя на водещите стълбове.
  • 10:27 - 10:30
    Но броят на водещите стълбове
    е равен просто на броя на
  • 10:30 - 10:32
    водещите елементи, които
    имаме, защото всеки водещ елемент
  • 10:32 - 10:33
    съответства на своя
    собствен стълб.
  • 10:33 - 10:42
    Така че можем да определим, че
    ранга на матрицата А е равен на
  • 10:42 - 10:50
    броя на водещите елементи в
    ешелонната форма на матрицата А.
  • 10:50 - 10:53
    И, както ясно виждаш,
    той е съвсем същият
  • 10:53 - 10:56
    който доказахме, че е равен на ранга
    на транспонираната матрица А –
  • 10:56 - 10:58
    размерът на векторното пространство,
    определено чрез вектор-стълбовете
  • 10:58 - 11:00
    на транспонираната матрица А.
  • 11:00 - 11:02
    Или размерите на векторното пространство,
    определен чрез вектор-редовете на матрицата А.
  • 11:02 - 11:04
    И сега мога да запиша
    нашия резултат.
  • 11:04 - 11:11
    Рангът на матрицата А определено
    е равен на ранга на
  • 11:11 - 11:14
    транспонираната матрица А.
Title:
Линейна алгебра: Рангът на една матрица А е равен на ранга на транспонираната матрица А
Description:
more » « less
Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
11:14

Bulgarian subtitles

Revisions Compare revisions

Our website uses cookies for analysis purposes.