Điều kì diệu của dãy số Fibonacci

Toán học thật logic, thiết thực và ... tuyệt vời. Ảo thuật gia toán học Arthur Benjamin đã khám phá ra những đặc tính ẩn của dãy số kì lạ nhưng cũng rất tuyệt vời ấy, dãy Fibonacci. (Và cũng cho bạn thấy rằng, toán học cũng có thể truyền cảm hứng cho mọi người!)

Vì sao chúng ta học Toán?

Có ba nguyên nhân chính yếu sau:

Để tính toán

Để ứng dụng

Và cuối cùng, thật không may lại là thứ

chúng ta đầu tư thời gian vào ít nhất,

Để khơi nguồn cảm hứng

Toán học là khoa học của những quy luật

và chúng ta nghiên cứu nó để học cách tư duy một cách logic

để biết phản biện và sáng tạo

Nhưng hầu hết thứ Toán Học mà chúng ta đang học ở trường

lại không được khích lệ một cách hiệu quả

và khi các sinh viên đặt ra câu hỏi

"Tại sao chúng tôi phải học cái này?"

Họ thường được đáp lại rằng họ sẽ cần nó sau này

trong buổi học Toán tiếp theo, hoặc cho một bài kiểm tra sắp tới

Nhưng sẽ tuyệt vời thế nào

nếu khi nào chúng ta làm Toán

cũng đều đơn giản là vì nó hay, nó đẹp

hoặc là vì nó làm tâm trí của ta phải thích thú?

Vâng, tôi biết có nhiều người ở đây chưa từng biết được

làm cách nào Toán Học lại có thể thú vị như vậy,

Vậy nên bây giờ tôi sẽ cho các bạn một ví dụ nhỏ

một tập hợp những con số ưa thích của tôi,

Dãy số Fibonacci (Tiếng vỗ tay)

Yeah! Ở đây cũng đã có fan của Fibonacci rồi à,

Thật tuyệt.

Dãy số này được tán thưởng

theo nhiều cách.

Từ góc nhìn của việc tính toán

thật dễ dàng để hiểu được chúng

dễ như, 1 + 1 thì bằng 2

rồi 2 + 1 = 3

2 + 3 = 5, 3 + 5 = 8,

và cứ thế, cứ thế.

Thật ra, người mà chúng ta hay gọi là Fibonacci

tên thật là Leonardo of Pisa

và ông ta đã viết về những con số này trong cuốn sách "Liber Abaci"

cuốn sách đã dạy cho thế giới phương Tây

những phương pháp số học mà ta đang sử dụng ngày nay.

Từ góc nhìn của việc ứng dụng

những số Fibonacci rất hay xuất hiện trong tự nhiên

một cách đầy bất ngờ.

Số cánh hoa điển hình của một bông hoa

là một số Fibonacci,

hay những đường xoắn ốc của một bông hướng dương

hay trên một quả dứa

cũng thường là một số Fibonacci.

Trên thực tế, có rất nhiều những ứng dụng khác của dãy Fibonacci

Nhưng điều gây cảm hứng cho tôi nhất về chúng

lại là những quy luật số học tuyệt vời ẩn bên trong chúng

Để tôi cho các bạn thấy một trong những quy luật mà tôi thích nhất

Cứ cho là các bạn thích bình phương những con số đi

mà thật ra, ai chả thích vậy chứ? (Tiếng cười)

Hãy thử bình phương

vài con số Fibonacci đầu tiên

1 bình phương bằng 1

2 bình phương bằng 4, 3 bình phương là 9,

5 bình phương là 25, và cứ thế tiếp tục.

Bây giờ, hiển nhiên là

cứ cộng hai con số Fibonacci liên tiếp lại với nhau

thì sẽ được con số Fibonacci tiếp theo, đúng chứ?

Đó là cách dãy Fibonacci hình thành mà.

Nhưng chắc hẳn bạn sẽ không ngờ đến

những gì đặc biệt xảy ra khi ta cộng những bình phương này lại với nhau

Thử xem nào.

1 + 1 thì bằng 2,

và 1 + 4 thì được 5

và 4 + 9 thì bằng 13

9 + 25 bằng 34

và quy luật ấy cứ tiếp tục

Thật ra còn có một điều thú vị nữa

Bây giờ giả như bạn muốn tính

tổng các bình phương của vài số Fibonacci đầu tiên

Xem thử ta có gì nào

Bây giờ, 1 + 1 + 4 bằng 6

Cộng thêm 9, ta sẽ có 15

Cộng thêm 25, ta được 40

Cộng thêm 64, ta được 104

Giờ hãy nhìn lại những con số ấy

Chúng không phải là số Fibonacci

nhưng nếu bạn xem xét thật kĩ

bạn sẽ thấy những con số Fibonacci

ẩn mình bên trong chúng.

Các bạn đã thấy chưa? Để tôi chỉ ra cho,

6 là 2 x 3, 15 là 3 x 5

40 là 5 x 8

2, 3, 5, 8, một tràng pháo tay cho .... ?

(Tiếng cười)

Fibonacci! Dĩ nhiên rồi.

Bây giờ, cũng thú vị như khi ta tìm ra những quy luật ấy

sẽ mãn nguyện hơn nhiều nếu ta hiểu được

tại sao chúng lại đúng.

Thử nhìn vào biểu thức cuối cùng kia xem,

Tại sao bình phương của 1, 1, 2, 3, 5 và 8

cộng với nhau lại bằng 8 x 13?

Tôi sẽ chứng minh cho các bạn thấy bằng một bức ảnh đơn giản.

Bắt đầu bằng một hình vuông 1 x 1

tiếp theo đặt một hình vuông 1 x 1 nữa bên cạnh

Chúng tạo nên một hình chữ nhật 1 x 2

Tôi đặt một hình vuông 2 x 2 vào bên cạnh chúng

rồi tới lượt một hình vuông 3 x 3

rồi đặt thêm bên cạnh một hình vuông 5 x 5

và rồi một hình vuông 8 x 8

Cuối cùng ta có một hình chữ nhật lớn, đúng không?

Bây giờ, tôi muốn hỏi bạn một câu đơn giản thôi:

diện tích hình chữ nhật kia là gì?

Được rồi, một mặt ta có,

diện tích ấy là tổng diện tích

của từng hình vuông bên trong nó, đúng chứ?

Hình chữ nhật được tạo ra như vậy mà.

Chính là, 1 bình phương cộng 1 bình phương

cộng 2 bình phương cộng 3 bình phương

cộng 5 bình phương cộng 8 bình phương. Đúng không?

Đó là diện tích hình chữ nhật lớn.

Một mặt khác, bởi vì đây là một hình chữ nhật

nên diện tích của nó sẽ bằng chiều dài nhân với chiều rộng.

chiều rộng dĩ nhiên là 8 rồi

còn chiều dài thì bằng 5 cộng với 8

chính là số Fibonacci tiếp theo, 13. Đúng chứ?

Vậy là diện tích đó còn bằng 8 x 13 nữa.

Và bởi vì chúng ta tính toán hoàn toàn chính xác

bằng hai cách khác nhau

nên chúng phải cho ta cùng một kết quả,

Đó chính là lí do tại sao, bình phương của 1, 1, 2, 3, 5, 8

cộng lại bằng 8 x 13

Bây giờ, nếu cứ tiếp tục quá trình này

chúng ta sẽ lần lượt tạo ra các hình chữ nhật dạng 13 x 21

21 x 34, và cứ thế ...

Giờ hãy xem thứ này,

Nếu bạn lấy 13 chia cho 8

thì sẽ được 1.625

Và nếu bạn cứ lấy số lớn chia cho số bé

thì những tỉ số này sẽ dần dần tiến tới

một số khoảng 1.618

con số mà nhiều người đều biết, là Tỉ Số Vàng

Một con số gây thích thú nhiều nhà toán học,

khoa học và nhiều nghệ sĩ trong hàng thế kỉ qua

Tôi cho các bạn thấy tất cả những thứ này là bởi vì,

cũng giống như Toán học vậy,

nó có một khía cạnh rất đẹp

mà tôi e rằng vẻ đẹp ấy chưa được quan tâm một cách đầy đủ

trong môi trường giáo dục hiện nay.

Chúng ta đầu tư rất nhiều thời gian học cách tính toán

nhưng lại quên đi mục đích thực tế của chúng

mà có lẽ, trong đó có một mục đích quan trọng nhất:

Chính là học cách tư duy.

Nếu tôi có thể tóm gọn lại tất cả bằng một câu nói

nó sẽ như thế này:

Toán học không phải chỉ gồm việc đi tìm x

Nó còn trả lời cho câu hỏi "Tại sao?"

Cảm ơn rất nhiều

(Tiếng vỗ tay)