ஃபிபோனாச்சி எண்களின் மாயாஜாலம்

கணிதம் என்பது தர்க்கரீதியான செயல்பாட்டுக்கு உதவும் ஒரு அற்புதம் ஆகும். கணித மேதை 'ஆதர் பெஞ்ஜமின்', ஃபிபோனாச்சி எண்களில் ஒளிந்துள்ள அற்புதமான பண்புகளை ஆராய்கிறார். (கணிதம் என்பது ஊக்கமளிக்கும் ஒரு சக்தி என்பதை உணர்த்துகிறார்)

நாம் ஏன் கணிதத்தைக் கற்கிறோம்?

முக்கியமாக மூன்று காரணங்களுக்காக:

மதிப்பிடுவதற்காக,

பயன்படுத்துவதற்காக,

கடைசியாக,

காலத்தின் அடிப்படையில்,

உத்வேகத்திற்காக.

கணிதம் என்பது மாதிரிகளின் அறிவியல்.

நாம் அதைக் கற்பது தர்க்கரீதியாகவும்,

ஆக்கப்பூர்வமாகவும், நெருக்கடியான சூழலில் சிந்திக்கவுமே ஆகும்.

ஆனால் பள்ளிகளில் நாம் கற்கும் கணிதம்

நமக்கு உத்வேகம் தருவதாக இல்லை.

நம் மாணவர்கள் நம்மிடம்,

"ஏன் கணிதத்தைக் கற்க வேண்டும்?" என்று வினவுகின்றனர்.

மாணவர்கள் கற்கும் கணிதத்தின் தேவை

எதிர்வரும் கணித வகுப்புக்கும், தேர்வுக்குமே ஆகும்.

ஆனால் என்றேனும் நாம் நினைத்ததுண்டா,

நாம் கணிதத்தை கற்கும் நோக்கம் என்பது

அது அழகானது, மகிழ்ச்சி தரக் கூடியது என்றும்

மேலும் நம் அறிவை உற்சாகப் படுத்தக்கூடியது என்றும்?

எனக்குத் தெரியும். பெரும்பாலானோருக்கு

இது எப்படி சாத்தியமென்று உணரும் வாய்ப்பில்லை.

மிக எளிய உதாரணம் கூறுகிறேன்.

எனக்கு மிக விருப்பமான

ஃபிபோனசி (Fibonacci) எண்களின் வாயிலாக. (கைத்தட்டல்).

நீங்கள் ஃபிபோனசி எண்களின் ரசிகரா?

இது பெருமைக்குரியது.

இது பல வழிகளில்

பாராட்டுக்குரியது.

மதிப்பீடுகளின் அடிப்படையில் பார்க்கையில்,

அவை எளிதாக புரிந்து கொள்ளத்தக்கது.

ஒன்றும் ஒன்றும் இரண்டு என்பதைப் போல.

ஒன்றும் இரண்டும் மூன்று என்பதைப் போல,

இரண்டும் மூன்றும் ஐந்து, மூன்றும் ஐந்தும் எட்டு

என்று சொல்லிக்கொண்டே போகலாம்.

ஃபிபோனசி என்று நம்மால் அழைக்கப்படுவது,

உண்மையில் பிசா லியானார்டோ என்பவர் ஆவார்.

இந்த எண்கள் அவருடைய "லிபெர் அபாசி" என்ற நூலில் உள்ளது.

இதுவே மேற்கு உலகத்தின் நம்பிக்கையின்படி

நாம் இன்று கற்கும் எண்கணித முறையாகும்.

பயன்பாடுகளின் அடிப்படையில்,

ஃபிபோனசி எண்கள் பல இடங்களில் காட்சியளிப்பது

ஆச்சர்யத்தை உண்டாக்குகின்றது.

பூக்களின் இதழ்களின் எண்ணிக்கை

ஒரு ஃபிபோனசி எண்ணே.

சூரியகாந்தியில் அல்லது

அன்னாசிப் பழத்தில் உள்ள சுருள் வட்டம்

ஒரு ஃபிபோனசி எண்ணே ஆகும்.

சொல்லப்போனால் ஃபிபோனசி எண்ணை நாம் பல வகைகளில் பயன்படுத்துகிறோம்,

எனக்கு ஆச்சர்யம் தருவது என்னவென்றால்

அவற்றின் அழகான எண் அமைப்பு முறை ஆகும்.

எனக்கு விருப்பமான ஒரு அமைப்பைக் கூறுகிறேன்.

நீங்கள் ஒரு எண்ணின் வர்க்கத்தைக் காண விரும்பினால்,

யார் விரும்ப மாட்டார்கள்? (சிரிப்பொலி)

சில ஃபிபோனசி எண்களின்

வர்க்கங்களை இப்போது பார்ப்போம்.

ஒன்றின் வர்க்கம் ஒன்று,

இரண்டின் வர்க்கம் நான்கு. மூன்றின் வர்க்கம் ஒன்பது.

ஐந்தின் வர்க்கம் இருபத்தைந்து.

உங்களுக்குத் தெரியும்

அடுத்தடுத்த ஃபிபோனசி எண்களை கூட்டினால்,

அதற்கடுத்த ஃபிபோனசி எண் வரும் என்று. அல்லவா?

அப்படிதான் அவை உருவாக்கப்பட்டிருக்கிறது.

அவற்றின் வர்க்கங்களைக் கூட்டுவதில் என்ன சிறப்பு

என்பதை நீங்கள் அறிந்திருக்க மாட்டீர்கள்.

இதைப் பாருங்கள்.

ஒன்றும் ஒன்றும் இரண்டு.

ஒன்றும் நான்கும் ஐந்து.

நான்கும் ஒன்பதும் பதிமூன்று.

ஒன்பதும் இருபத்தைந்தும் முப்பத்தி நான்கு.

இந்த எண் அமைப்பு முறை இவ்வாறு தொடரும்.

இதோ இன்னும் ஒரு மாதிரி.

ஃபிபோனசி எண்களின் முதல்

சில எண்களைக் கூட்டினால் என்ன

நிகழும் என்பதைப் பார்க்கலாம்.

ஒன்றையும் ஒன்றையும் நான்கையும் கூட்டினால் ஆறு.

அதனுடன் ஒன்பதைக் கூடினால் பதினைந்து.

அதனுடன் இருபத்தைந்தைக் கூடினால் நாற்பது.

அதனுடன் அருபத்தினான்கைக் கூட்டினால் நூற்றி நான்கு.

இந்த எண்களைப் பாருங்கள்.

இவை ஃபிபோனசி எண்கள் அல்ல,

இவற்றை உற்று நோக்கினால்,

இவற்றினூடே ஃபிபோனசி எண்கள்

புதைந்திருப்பதைக் காணலாம்.

நீங்கள் இதைக் காண்கிறீர்களா? இதோ,

இரண்டு முறை மூன்று, ஆறு. மூன்று முறை ஐந்து, 15.

ஐந்து முறை எட்டு, 40.

இரண்டு, மூன்று, ஐந்து, எட்டு, யாரைப் பாராட்டுவது?

(சிரிப்பொலி)

நிச்சயமாக, ஃபிபோனசியைத்தான்.

இவ்வகை எண் முறையை வெளிப்படுத்தி வேடிக்கை காட்டுகிறது.

இதை நுட்பமாக அறிந்து கொள்வது நமக்கு

மேலும் திருப்தியளிக்கும்.

கடைசியாக ஒரு சமன்பாட்டைப் பார்க்கலாம்.

ஏன் ஒன்று, இரண்டு, மூன்று, ஐந்து மற்றும் எட்டின் இருபடி மூலத்தின்

கூட்டுத் தொகை 13?

எளிய ஒரு வரைபடத்தின் மூலம் இதை விளக்குகிறேன்.

முதலில் ஒன்றின் இருபடி ஒன்று.

அடுத்த ஒன்றின் இருபடி ஒன்று.

அவை 1 X 2 செவ்வகத்தை உருவாக்கும்.

இதன் கீழ் இரண்டின் இருபடியையும்,

அருகில் மூன்றின் இருபடியையும்,

அதன் கீழ் ஐந்தின் இருபடியையும்,

பின் எட்டின் இருபடியையும் சேர்த்தால்,

பெரிய செவ்வகத்தை உருவாக்கும் அல்லவா?

உங்களிடையே ஒரு கேள்வி கேட்கிறேன்:

செவ்வகத்தின் பரப்பளவு என்ன?

ஒருவகையில், அதனுள் இருக்கும்

சதுரங்களின் பரப்பளவின்

கூட்டுத்தொகை அல்லவா?

இது நம் எல்லோருக்கும் தெரிந்ததே.

இது, ஒன்று, மற்றும் ஒன்று

இரண்டு, மூன்று, ஐந்து, எட்டின்

இருபடிகளின் கூட்டுத் தொகை அல்லவா?

இதுவே, செவ்வகத்தின் பரப்பளவு.

மற்றொரு வகையில் செவ்வகத்தின் பரப்பளவு

உயரத்தின் மடங்கு அகலத்திற்கு சமம்.

இந்த செவ்வகத்தின் உயரம் எட்டு.

அகலம் ஐந்து மற்றும் எட்டின் கூட்டு பதிமூன்று.

இதுவும் ஒரு Fibonacci எண் ஆகும்.

ஆகையால் பரப்பளவு 8 மடங்கு பதிமூன்று.

நாம் இரு வழிகளில்

செவ்வகத்தின் பரப்பளவைக் கண்டறிந்தோம்.

இரண்டு விடைகளும் ஒன்றாகவே இருக்க வேண்டும்.

அதனால் தான் ஒன்று, இரண்டு, மூன்று, ஐந்து, எட்டின் இருமடன்கின் கூட்டு

எட்டின் மடங்கு பதிமூன்றுக்கு சமம்.

இந்த நடைமுறையை பின்பற்றி

13 X 21 அளவுள்ள செவ்வகத்தையும்

21 X 34 அளவுள்ள செவ்வகத்தையும் உருவாக்கலாம்.

இதைப் பாருங்கள்.

பதிமூன்றை எட்டால் வகுத்தால்,

1.625 கிடைக்கும்.

பெரிய எண்ணை சிறிய எண்ணால் வகுத்தால்

விகிதம் குறைந்து கொண்டே வரும்.

1.618 போல ஒரு

ஒரு அற்புதமான புகழ்பெற்ற எண் கிடைக்கும்.

கணித மேதைகளும், அறிவியல் அறிஞர்களும், கலைஞர்களும்

காலம் காலமாக கண்டு வியக்கும் அந்த எண்.

இவ்வனைத்தையும் உங்களுக்கு இங்கே

கூறியதின் நோக்கம், கணித மேதைகள் வியக்கும்

கணிதத்தின் இந்த அழகான ஒரு பகுதியை

நம் பள்ளிகள்

உணர மறந்ததை எடுத்துரைப்பதே ஆகும்.

கணிதத்தை மதிப்பீடு செய்ய மட்டுமல்லாமல்

பயன்பாட்டுக்கும் கற்க வேண்டும்.

அதிலும் மிக முக்கியமான பயன்பாடான

சிந்திப்பதற்கு அதைப் பயன்படுத்த வேண்டும்.

இந்த உரையின் சாராம்சம் என்னவென்றால்,

ஒரு வரியில் கூறவேண்டுமெனில்,

கணிதம் என்பது X என்பதற்கு தீர்வு காண மட்டும் அல்ல.

ஏன் இந்த தீர்வு என்று ஆராயவும் ஆகும்.

மிக்க நன்றி, வணக்கம்.

(கைத்தட்டல்)