Магия чисел Фибоначчи

Математика логична, функциональна и просто... невероятна. Математический маг Артур Бенджамин исследует скрытые свойства странного и чудесного набора чисел — последовательности Фибоначчи. (И он напоминает вам, что математика может вдохновлять!)

Почему мы изучаем математику?

По сути, есть три причины:

расчёт,

применение

и последняя (к сожалению,
наименее важная

с точки зрения времени,
которое мы ей уделяем) —

это вдохновение.

Математика — это наука о моделях,

и мы изучаем её,
чтобы научиться мыслить логично,

критично и творчески,

но та математика,
которую мы изучаем в школе

чаще всего неэффективно мотивирована,

и когда наши студенты спрашивают:

«Почему мы это изучаем?» —

то им часто приходится слышать,
что это необходимо

в предстоящем математическом классе
или для будущих тестов.

Но было бы здорово,

если бы мы хоть иногда
занимались математикой

просто потому, что это весело или красиво

или потому, что она волнует ум.

Я знаю, что многие люди не имеют

возможности увидеть, как это происходит,

поэтому позвольте мне показать вам
небольшой пример

из моей любимой коллекции чисел,

чисел Фибоначчи. (Аплодисменты)

Да! Тут уже есть фанаты Фибоначчи.

Это здорово.

Эти цифры могут быть истолкованы

различными способами.

С точки зрения вычислений,

их так же легко понять,

как 1 + 1 = 2.

Тогда 1 + 2 = 3,

2 + 3 = 5, 3 + 5 = 8,

и так далее.

На самом деле человек,
которого мы называем Фибоначчи,

носил имя Леонардо из Пизы,

и эти цифры появляются
в его книге Liber Abaci,

которая научила западный мир

методам арифметических операций,
используемых сегодня.

С точки зрения применений,

числа Фибоначчи появляются в природе

удивительно часто.

Количество лепестков на цветке —

это типичное число Фибоначчи.

Количество спиралей на подсолнухе

или ананасе

также тяготеет к числу Фибоначчи.

В самом деле, есть много больше применений
чисел Фибоначчи,

но наиболее вдохновляющими,
по моему мнению,

являются прекрасные цифровые образцы,
которые они демонстрируют.

Позвольте мне показать вам
один из моих любимых.

Предположим, что вы хотите возвести
число в квадрат,

и, честно говоря, кто не хотел бы? (Смех)

Давайте посмотрим на квадраты

первых нескольких чисел Фибоначчи.

1 в квадрате равно 1,

2 в квадрате — 4,
3 в квадрате — это 9,

5 в квадрате — 25 и так далее.

Теперь известно,

что при сложении
последовательных чисел Фибоначчи

вы получите
следующее число Фибоначчи. Верно?

Вот как они созданы.

Но вы не ожидаете ничего особенного

от сложения их квадратов.

Но давайте проверим это.

1 + 1 = 2,

и 1 + 4 = 5.

И 4 + 9 = 13,

9 + 25 = 34,

и да, шаблон повторяется.

Фактически тут есть ещё один шаблон.

Предположим,
вы хотите проанализировать

сложение квадратов
нескольких первых чисел Фибоначчи.

Давайте посмотрим, что мы получим.

Так что 1 + 1 + 4 = 6.

Добавляем к этому 9 и получаем 15.

Добавив 25, мы получаем 40.

Добавив 64, мы получаем 104.

Теперь посмотрите на эти цифры.

Они не являются числами Фибоначчи,

но если вы посмотрите на них внимательно,

вы увидите, что числа Фибоначчи

скрыты внутри них.

Вы это видите? Я покажу вам это.

6 — это 2 × 3, 15 — это 3 × 5,

40 — это 5 × 8,

2, 3, 5, 8 — кому мы
должны быть признательны?

(Смех)

Фибоначчи! Конечно.

Обнаружить эти шаблоны было забавно,

но ещё большее удовлетворение — понять,

почему они являются подлинными.

Давайте посмотрим
на последнее уравнение.

Почему квадраты 1, 1, 2, 3, 5 и 8

составляют 8 × 13?

Я покажу вам это,
нарисовав простую картину.

Мы начнем с квадрата единицы,

и рядом с этим ещё один квадрат единицы.

Вместе они образуют
прямоугольник один на два.

Ниже я поставлю квадрат 2 на 2,

потом квадрат 3 на 3,

под ним квадрат 5 на 5,

и затем квадрат 8 на 8,

получается один гигантский
прямоугольник, правильно?

Теперь позвольте мне
задать вам простой вопрос:

какова площадь прямоугольника?

С одной стороны,

это сумма площадей

квадратов внутри него, правильно?

Так же, как мы создали его.

Это 1 в квадрате плюс 1 в квадрате

плюс 2 в квадрате плюс 3 в квадрате

плюс 5 в квадрате плюс 8 в квадрате. Верно?

Это площадь.

С другой стороны,
поскольку это прямоугольник,

площадь равна его высоте,
умноженной на ширину.

Высота равна 8,

а ширина — 5 + 8,

чем и является следующее
число Фибоначчи 13. Верно?

Таким образом, площадь равна 8 × 13.

Так как мы правильно рассчитали площадь

двумя разными способами,

числа должны быть одинаковыми,

и вот почему квадраты 1, 1, 2, 3, 5 и 8

складываются в 8 × 13.

Если мы продолжим этот процесс,

мы создадим прямоугольники
размером 13 на 21,

21 на 34 и так далее.

Теперь проверьте это.

Если вы разделите 13 на 8,

вы получите 1,625.

И если вы разделите большее число
на меньшее число,

то эти коэффициенты становятся
всё ближе и ближе

к числу 1.618,

известному многим людям
как Золотое сечение,

числу, которое очаровывало математиков,

учёных и художников
на протяжении многих веков.

Я показываю всё это вам потому,

что много что в математике

имеет красивые стороны,

которые, боюсь,
не получают достаточного внимания

в наших школах.

Мы тратим много времени
на изучение вычислений,

но давайте не забывать и о применении,

которое включает, возможно,
наиболее важное применение —

научиться думать.

Если я мог бы обобщить это
в одном предложении,

это звучало бы так:

математика — это не только поиск
решений для Х,

но также и поиск причин таких решений.

Большое спасибо.

(Аплодисменты)