ഫിബൊനാച്ചി നമ്പരുകളുടെ ചെപ്പടിവിദ്യ

ഗണിതം എന്നാൽ ◦യുക്തിപരവും നിര്‍വ്വഹണപരവും കൃത്യവുമാണ്....വിസ്‌മയാവഹ0. ഗണിത മാന്ത്രികൻ ആർതർ ബെഞ്ചമിൻ വിചിത്രവും അത്ഭുതകരവുമായ ഫിബൊനാച്ചി നമ്പരുകളുടെ വസ്‌തുവകകളികൂടെ പര്യവേക്ഷണം നടത്തുന്നു (ഗണിതത്തിനു 'പ്രചോദിപ്പിക്കാനും' കഴിയും എന്ന് നമ്മെ ഓർമപ്പെടുത്തുകയും ചെയ്യുന്നു.)

എന്തുകൊണ്ടാണ് നാം ഗണിത ശാസ്ത്രം പഠിക്കുന്നത്

പ്രധാനമായും 3 കാരണങ്ങളാണ്

കണക്കുകൂട്ടല്,

പ്രയോഗം,

അവസാനത്തേതും നിര്ഭാഗ്യവശാല്

നമ്മള് കൊടുക്കുന സമയത്തെ അപേക്ഷിച്ച് അല്പമായത്

പ്രചോദനമാണ്.

ഗണിതശാസ്ത്രം ക്രമമായ രൂപങ്ങളുടെ ശാസ്ത്രം ആകുന്നു

നമ്മളത് പഠിക്കുന്നത് യുക്തിയുക്തമായ എങ്ങനെ ചിന്തിക്കും എന്നറിയാനാണ്,

നിരൂപണപരമായും സൃഷ്ടിപരമായും ചിന്തിക്കാനാണ്.

പക്ഷെ അത്യധികമായി നാം സ്കൂളിൽ പഠിക്കുന്ന ഗണിതശാസ്ത്രം

ഫലപ്രദമായി പ്രചോദനമകുന്നില്ല

നമ്മുടെ വിദ്യാര്ത്ഥികള് ചോദിക്കുമ്പോൾ

നമ്മൾ എന്തിനാണ് ഇത് പഠിക്കുന്നത് ??

പല പ്രാവശ്യം കേട്ടതു പോലെ, അത് ആവശ്യം വരും എന്ന് മറുപടി കിട്ടും

വരുന്ന ഗണിത ക്ലാസ്സിൽ അല്ലെങ്കിൽ ഭാവിയിലെ ഒരു പരീക്ഷയിൽ

എന്ത് മഹത്തരമാണെന്ന് ആലോചിച്ചു നോക്കൂ ...

എല്ലായ്പോഴും നാം കണക്ക് ചെയ്യുന്നത്

വിനോദത്തിനോ അതിന്റെ മനോഹാരിത നുണയുന്നതിനോ വേണ്ടി

അല്ലെങ്കിൽ ബുദ്ധിയെ ഉത്തേജിപ്പിക്കുന്നതിനു വേണ്ടി?

ഇപ്പോൾ, എനിക്കറിയാം പല ആളുകള്ക്കും

ഇതെങ്ങനെ സംഭവിക്കും എന്ന് കാണാനുള്ള അവസരം ഉണ്ടായിട്ടില്ല

അതുകൊണ്ട് നിങ്ങള്ക്ക് ഞാൻ പെട്ടെന്ന് ഒരു ഉദാഹരണം തരാം

എന്റെ ഇഷ്ടപ്പെട്ട ശേഖരത്തിൽ നിന്ന്

ഫിബൊനാച്ചി നമ്പരിൽ നിന്ന് (കരഘോഷം)

അതെ! നേരത്തെതന്നെ ഫിബൊനാച്ചി ആരാധകര് ഇവിടെ ഉണ്ട്

അത് ഗാഭീരമായി

ഇപ്പോൾ ഈ എണ്ണങ്ങളെ ആസ്വദിക്കാം

വ്യത്യസ്തമായ പല വഴികളിലൂടെ

ഗണനത്തിന്റെ കാഴ്ചപ്പാടിൽ നിന്നും

അവ മനസ്സിലാക്കാൻ വളരെഎളുപ്പമാണ്

ഒന്നും ഒന്നും = രണ്ട്, എന്നപോലെ

പിന്നെ ഒന്നും രണ്ടും = മൂന്ന്

രണ്ടും മൂന്നും = ◦അഞ്ച്, മൂന്നും അഞ്ചും = എട്ട്

അങ്ങനെ അങ്ങനെ

തീര്ച്ചയായും നമ്മൾ ഫിബൊനാച്ചി എന്നുവിളിക്കുന്ന ആളുടെ

ശരിക്കുള്ള പേര് ലിയോനാടോ ഓഫ് പിസ എന്നായിരുന്നു

ഈ നമ്പരുകൾ "ലിബർ അബചി" എന്ന ബുക്കിൽ കാണാം

അത് പാശ്ച്യാത്യ ലോകത്തെ പഠിപ്പിച്ചിരുന്ന പുസ്തകമായിരുന്നു.

ഇന്ന് നാം കണക്ക് കൂട്ടുന്ന സമ്പ്രദായം

പ്രയോഗത്തിന്റെ ഭാഷയില്,

ഫിബൊനാച്ചി നമ്പരുകൾ പ്രകൃതിയിൽ പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നു

അപ്രതീക്ഷിതമായി കൂടെക്കൂടെ

ഒരു പുഷ്പത്തിന്റെ ദളങ്ങളുടെ എണ്ണം

സവിശേഷമായ ഒരു ഫിബൊനാച്ചി നമ്പരാണ്

അല്ലെങ്കിൽ സുര്യകാന്തിയിലെ ചുഴികളുടെ എണ്ണം

അല്ലെങ്കിൽ ഒരു കൈതച്ചക്ക

ഒരു ഫിബൊനാച്ചി നമ്പർ ആകാൻ ഉദ്യമിക്കുന്നു

വാസ്തവത്തില് ഫിബൊനാച്ചി നമ്പരുകളുടെ പ്രായോഗങ്ങൾ വളരെയധികം ഉണ്ട്

പക്ഷെ ഞാൻ എന്താണ് ഏറ്റവും പ്രചോദനമായി കണ്ടതെന്നോ

അവ പ്രകടിപ്പിക്കുന്ന നമ്പരുകളുടെ സുന്ദരമായ ക്രമം

എനിക്ക് ഇഷ്ടപ്പെട്ട ഒന്ന് ഞാൻ കാണിക്കാം

നിങ്ങൾ 'വര്ഗ്ഗ'ങ്ങൾ ഇഷ്ടപെടുന്നു എന്ന് കരുതുക

തുറന്നു പറഞ്ഞാൽ, ആരാണ് ഇഷ്ടപ്പെടാത്തത്? (ചിരി)

നമുക്ക് വര്ഗ്ഗങ്ങളെ നോക്കാം

ഫിബൊനാച്ചി നമ്പറിലെ ആദ്യത്തെ ചിലത്

1 ന്റെ വര്ഗ്ഗം 1 ആകുന്നു

2 ന്റെ വര്ഗ്ഗം 4 ആകുന്നു, 3 ന്റെ വര്ഗ്ഗം 9

5 ന്റെ വര്ഗ്ഗം 25 അങ്ങനെ അങ്ങനെ

ഇപ്പോള് അതൊരു അത്ഭുതം അല്ല

തുടര്ച്ചയായി വരുന്ന ഫിബൊനാച്ചി നമ്പര് കൂട്ടിയാല്

നിങ്ങള്ക്ക് അടുത്ത ഫിബൊനാച്ചി നമ്പര് കിട്ടും, ശരിയല്ലേ?

അങ്ങനെയാണ് അവയെ ഉണ്ടാക്കിയിരിക്കുന്നത്

പക്ഷെ നിങ്ങള് സവിശേഷമായ ഒന്നും സംഭവിക്കും എന്ന് പ്രതീഷിക്കുന്നുണ്ടാവില്ല

നിങ്ങള് വര്ഗ്ഗങ്ങളെ പരസ്പരം കൂട്ടുമ്പോള്

പക്ഷെ ഇതൊന്നു പരിശോധിച്ചു നോക്കൂ

ഒന്നും ഒന്നും കൂട്ടിയാല് രണ്ടു കിട്ടും

1-ഉം 4-ഉം കൂട്ടിയാല് 5 കിട്ടും

4 ഉം 5 ഉം കൂട്ടിയാല് 13 ആണ്

9 ഉം 25 ഉം കൂട്ടിയാല് 34 ആണ്

അതെ അത് അങ്ങനെ തുടരുന്നു

വാസ്തവത്തില് ഇവിടെ ഇതാ മറ്റൊന്ന്

സങ്കല്പിക്കുക, നിങ്ങള്ക്ക് നോക്കണം

ആദ്യത്തെ ചില ഫിബൊനാച്ചി നമ്പരുകളുടെ വര്ഗ്ഗങ്ങളെ കൂട്ടി നോക്കണം

നമുക്കെ നോക്കാം എന്താണ് കിട്ടുന്നതെന്ന്

1 ഉം 1 ഉം 4 ഉം കൂട്ടിയാല് 6

അതിലേക്ക് 9 കൂട്ടുക, നമുക്ക് 15 കിട്ടും

25 കൂട്ടുക, നമുക്ക് 40 കിട്ടും

64 കൂട്ടുക, 104 കിട്ടും

ഇനി ആ നമ്പര്കളിലേക്ക് നോക്കൂ

അവ ഫിബൊനാച്ചി നമ്പര്കളല്ല

പക്ഷെ നിങ്ങള് അതിനെ ഒന്നുകൂടെ അടുത്ത് നിന്ന് നോക്കിയാല്

നിങ്ങള്ക്ക് ഫിബൊനാച്ചി നമ്പര് കാണാം

അവയെ അതിനകത്ത് ഒളിച്ചുവയ്ച നിലയില്

നിങ്ങള് കണ്ടോ? ഞാന് നിങ്ങള്ക്ക് കാണിച്ചു തരാം

6 എന്നത് 2 പ്രാവശ്യം 3 ആണ്, 15 എന്നത് 3 പ്രാവശ്യം 5 ആണ്

40 എന്നത് 5 തവണ 8 ആണ്

2,3,5,8, ആരെയാണ് നാം വിലമതിക്കുക

(ചിരി)

ഫിബൊനാച്ചി! തീര്ച്ച

ഇപ്പോള്, ഈ ക്രമം കണ്ടുപിടിച്ചപ്പോ വളരെ വിനോദം തോന്നുന്നു

അതു കൂടുതല് തൃപ്തിപ്പെടുത്തു

എങ്ങനെ അവ ശരിയാണ് എന്ന് മനസ്സിലാക്കുമ്പോള്

നമുക്ക് അവസാനത്തെ ആ സമവാക്യം നോക്കാം

എന്തിനാണ് 1,1,2,3,5 പിന്നെ 8 യും വര്ഗ്ഗങ്ങളും

എട്ടു തവണ 13 ഉം കൂട്ടുന്നത്?

ഞാന് ഒരു ലളിതമായ ചിത്രം വരച്ചു കാണിക്കാം

നമുക്ക് 1 നു 1 സമചതുരം കൊണ്ട് തുടങ്ങാം

എന്നിട്ട് അത് മറ്റൊരു 1 നു 1 സമചതുരത്തിനു ചേർത്ത് വക്ക്കുക

രണ്ടും കൂടെ 1 നു 2 ദീര്ഘചതുരം ആയി രൂപപ്പെട്ടു

അതിനടിയിൽ ഞാൻ 2 നു 2 സമചതുരം വയ്ക്കും

അതിനടുത് 3 നു 3 സമചതുരം

അതിനടിയിൽ 5 നു 5 സമചതുരം

പിന്നെ ഒരു 8 നു 8 സമചതുരം

ഒരു വലിയ ദീര്ഘചതുരം സൃഷ്ടിക്കുന്നു, ശരിയല്ലേ?

ഞാനൊരു ലളിതമായ ചോദ്യം ചോദിക്കട്ടെ?

ദീര്ഘചതുരത്തിന്റെ വ്യാപ്തി എത്രയാണ്?

ശരി, മറ്റൊരു രീതിയിൽ

അത് മൊത്തം വിസ്തീർണത്തിന്റെ ആകെത്തുകയാണ്

അതിനക്കുതുള്ള സമചതുരങ്ങളുടെ, ശരിയല്ലേ?

ഇപ്പോൾ നമ്മൾ അത് ഉണ്ടാക്കിയത് പോലെ

അത് വര്ഗ്ഗീകരിച്ച ഒന്നും ഒന്നും കൂട്ടിയത്

വര്ഗ്ഗീകരിച്ച 2 ഉം 3 ഉം കൂട്ടിയതും

വര്ഗ്ഗീകരിച്ച 5 ഉം 8 ഉം കൂട്ടിയതുമാണ്, ശരിയല്ലേ?

അതാണ് വിസ്തീര്ണ്ണം

മറ്റൊരു വശം, അത് സമചതുരമായത് കൊണ്ട്

വിസ്തീര്ണ്ണം എന്നത് പാദവും ഉയരവും ഗുണിച്ചാൽ കിട്ടുനതായിരിക്കും

ഉയരം വ്യക്തമായും എട്ടാണ്

പാദം 5 ഉം 8 ഉം കൂട്ടിയതാകുന്നു

അതാണ് അടുത്ത ഫിബൊനാച്ചി നമ്പര്, ശരിയല്ലേ?

അത് കൊണ്ട് വിസ്തീർണം എട്ടിനെ 13 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചതാകുന്നു

നമ്മൾ ശരിയായി വിസ്തീർണം കണക്കു കൂട്ടിയത്

രണ്ടു വ്യത്യസ്ത വഴി ആയതു കൊണ്ട്

അവ ഒരേ ഉത്തരം ആയിരിക്കണം

അത് കൊണ്ടാണ് 1, 2, 3, 5 പിന്നെ 8 ന്റെയും വർഗ്ഗങ്ങൾ

കൂട്ടിയാൽ 13 ന്റെ എട്ടു മട്ങ്ങാകുന്നത്

ഇപ്പോൾ, ഈ രീതി തുടർന്നാൽ

നമ്മൾ ദീര്ഘചതുരം ഉണ്ടാക്കും.. 13 ഗുണം 21 -ല് രൂപത്തിൽ

21 ഗുണം 34, അങ്ങനെ അങ്ങനെ

ഇപ്പോൾ ഇത് പരിശോധിക്കുക

നിങ്ങൾ 13 നെ എട്ടു കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ

നിങ്ങള്ക്ക് 1.625 കിട്ടും

അത് പോലെ വലിയ അക്കങ്ങളെ ചെറിയത് കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ

അപ്പോൾ ഈ അനുപാതം കൂടുതൽ അടുത്തു വരും

ഏകദേശം 1.618 വരെ

പലരും ഇത് അറിയപ്പെടുന്നത് 'ഗോൽഡൻ റേഷ്യോ എന്നാണ്

ഗണിതജ്ഞന്മാരെ അത്ഭുതപെടുത്തിയ നമ്പര്

ശാസ്ത്രജ്ഞന്മാരെയും കലാകാരന്മാരെയും നൂറ്റാണ്ട്കളോളം

ഇപ്പോൾ ഞാൻ ഇതെല്ലം കാണിക്കാൻ കാരണം

ഗണിതത്തെ വളരെ ഇഷ്ടപ്പെടുന്നു

അതിനു സുന്ദരമായ ഒരു വശം ഉണ്ട്

അതിനു ആവശ്യമായ ശ്രദ്ധ കിട്ടുനില്ല എന്ന് ഞാൻ ഭയപ്പെടുന്നു

നമ്മുടെ സ്കൂളുകളിൽ

കണക്കു കൂട്ടൽ പഠിക്കാന് നാം വളരെ സമയം ചെലവാക്കുന്നു

പക്ഷെ അതിന്റെ പ്രയോഗത്തിനെ കുറിച്ച് നാം മറക്കാതിരിക്കുക

ഒരുപക്ഷെ മറ്റെന്തിനെക്കാളും പ്രധാനപ്പെട്ടതു

എങ്ങനെ ചിന്തിക്കണം എന്ന് മനസ്സിലാക്കലാണ്

ഞാൻ ഇത് ഒറ്റ വാക്യത്തിൽ ക്രാഡീകരിച്ചാല്

അതിങ്ങനെ ആയിരിക്കും

x നു പരിഹാരം കാണുക എന്നത് മാത്രമല്ല ഗണിതം

അത് 'എന്തുകൊണ്ടാണ്' എന്ന് കണ്ടെത്തുകയും ചെയ്യുന്നു

വളരെയധികം നന്ദി

(കൈയ്യടി)