La magie de la Suite de Fibonacci

Les math sont logiques, fonctionnelles et juste... incroyables. Le mathémagicien Arthur Benjamin explore les propriétés cachées de cette étrange et merveilleuse suite de nombres, la Suite de Fibonacci. (Et il vous rappelle que les mathématiques peuvent vous inspirer aussi !).

Pourquoi apprenons nous les mathématiques ?

Principalement, pour trois raisons :

le calcul,

l'application,

et enfin, et malheureusement en dernier

en terme de temps que l'on y consacre,

l'inspiration.

Les mathématiques sont
la science des modèles,

et nous l'étudions pour apprendre
comment penser de façon logique,

critique et créative,

mais trop des mathématiques
que nous apprenons à l'école

n'est pas efficacement motivée,

et quand nos étudiants demandent :

"Pourquoi nous apprenons ça ?"

ils entendent souvent
qu'ils en auront besoin

dans leurs prochains cours de math
ou pour un futur examen.

Mais est ce que ça ne serait pas génial

si de temps en temps
nous faisions des mathématiques

juste parce que c'est amusant ou beau

ou parce que ça stimule l'esprit ?

Je sais que beaucoup de gens n'ont pas

eu la chance de voir comment
ça peut être possible,

alors laissez moi vous donner
un exemple rapide

avec ma série de nombres préférée,

la suite de Fibonacci.
(Applaudissements)

Super! J'ai déjà des admirateurs
de Fibonacci ici.

C'est super.

Cette suite peut être appréciée

de beaucoup de façons différentes.

Du point de vue du calcul,

ils sont faciles à comprendre

comme un plus un font deux.

Alors un plus deux font trois,

deux plus trois font cinq,
trois plus cinq font huit,

et ainsi de suite.

En fait, la personne que
nous appelons Fibonacci

s'appelait en fait Léonard de Pise,

et cette suite est apparue
dans son livre "Liber Abaci"

qui a appris au monde occidental

les méthodes arithmétiques
que nous utilisons aujourd'hui.

En termes d'applications,

la suite de Fibonacci apparait
dans la nature

étonnamment souvent.

Le nombre de pétales sur une fleur

est typiquement une suite de Fibonacci,

ou le nombre de spirales sur un tournesol

ou un ananas

tendent à être aussi une suite
de Fibonacci.

En fait, il y a beaucoup d'autres
applications de la suite de Fibonacci,

mais ce que je trouve le plus
inspirant à son sujet

c'est les beaux modèles numériques
qu'elle montre.

Laissez moi vous montrer
un de mes préférés.

Admettons que vous aimiez
les nombres carrés,

et franchement, qui n'aime pas ça ?
(Rires)

Regardons les carrés

des premiers nombres
de la suite de Fibonacci.

Donc un au carré fait un,

deux au carré fait quatre,
trois au carré fait neuf,

cinq au carré fait 25
et ainsi de suite.

Maintenant, c'est sans surprise

que, quand vous additionnez les nombres
consécutifs de la suite de Fibonacci,

vous trouvez le nombre suivant. Exact ?

Voilà comment ils sont créés.

Mais vous ne vous attendez
à rien de spécial

quand vous ajoutez les carrés
les uns aux autres.

Mais regardez ça.

Un plus un font deux,

et un plus quatre nous donne cinq.

Et quatre plus neuf font 13,

neuf plus 25 font 34,

et oui, le modèle continue.

En fait, en voilà un autre.

Supposons que vous vouliez

ajouter les carrés des premiers
nombres de la suite de Fibonacci.

Voyons ce que l'on obtient.

Donc un plus un plus quatre font six.

Ajoutez neuf à ça, nous obtenons 15.

Ajoutons 25, nous obtenons 40.

Ajoutons 64, nous obtenons 104.

Maintenant regardez ces nombres.

Ils ne forment pas une suite de Fibonacci,

mais si vous les regardez de plus près,

vous verrez la suite de Fibonacci

qui y est enterrée.

Vous la voyez ? Je vais vous la montrer.

Six c'est deux fois trois,
15 c'est trois fois cinq,

40 c'est cinq fois huit,

deux, trois, cinq, huit,
qui retrouve-t-on ?

(Rires)

Fibonacci ! Évidemment.

Maintenant, aussi amusant que ce soit
de découvrir ces schémas,

c'est encore plus satisfaisant
de comprendre

pourquoi ils sont vrais.

Regardons cette dernière équation.

Pourquoi les carrés de un, un, deux,
trois, cinq et huit

s'additionnent pour faire huit fois 13 ?

Je vais vous montrer en dessinant
une simple image.

Nous commencerons
avec un carré de un par un

et à côté, mettons un autre
carré de un par un.

Ensemble, ils forment un rectangle
de un par deux.

En dessous, je vais mettre un carré
de deux par deux,

et à côté, un carré de trois par trois,

en dessous, un carré de cinq par cinq,

et ensuite, un carré de huit par huit,

ce qui crée un rectangle géant, exact ?

Maintenant laissez moi vous poser
une question simple :

quelle est l'aire du rectangle ?

Et bien, d'un côté,

c'est la somme des aires

des carrés qui sont dedans, exact ?

Juste comme nous l'avons créé.

C'est un carré, plus un carré,

plus deux carrés, plus trois carrés,

plus cinq carrés, plus huit carrés,
exact ?

Voilà l'aire.

D'un autre côté,
parce que c'est un rectangle,

l'aire est égale à la longueur
fois la largeur,

et la largeur fait clairement huit,

et la longueur fait cinq plus huit,

ce qui est le nombre de Fibonacci
suivant, exact ?

Donc l'aire fait aussi huit fois 13.

Comme nous avons calculé
correctement la surface

de deux manières différentes,

ce doit être le même nombre,

et c'est pourquoi les carrés de un,
un, deux, trois, cinq et huit

s'ajoutent pour faire huit fois 13.

Maintenant, si on continue ce procédé,

nous allons générer des rectangles
qui feront 13 par 21,

21 par 34, et ainsi de suite.

Maintenant, regardez ça.

Si vous divisez 13 par huit,

vous obtenez 1,625.

Et si vous divisez le nombre le plus
grand par le nombre le plus petit,

alors ces rapports deviennent
de plus en plus proches

d'environ 1,618

connu par beaucoup comme le Nombre d'Or,

un nombre qui a fasciné
les mathématiciens,

les scientifiques et les artistes
pendant des siècles.

Je vous montre tout ça parce que,

comme beaucoup de mathématiques,

il y a un beau côté à ça,

et je crains qu'on ne lui
porte pas assez d'attention

dans nos écoles.

Nous passons beaucoup de temps
à apprendre le calcul,

mais n'oublions pas les applications,

y compris, peut-être
la plus importante de toutes,

apprendre comment penser.

Si je pouvais résumer ça en une phrase,

ce serait celle-là :

Les mathématiques
ne consistent pas juste à trouver x,

c'est aussi de trouver pourquoi.

Merci beaucoup.

(Applaudissements)