Magija Fibonačijevih brojeva

Matematika je logična, upotrebljiva i jednostavno... fenomenalna. Matemagičar Arthur Benjamin istražuje skrivene mogućnosti tog čudnog i divnog niza brojeva, Fibonačijevog niza (I podsjeća nas da matematika može biti inspirativna, također!).

Dakle, zašto učimo matematiku?

U suštini, iz tri razloga:

računanje,

primjena,

i posljednji, nažalost najmanje važan

u smislu vremena koji mu posvetimo,

je inspiracija.

Matematika je nauka o uzorcima

i proučavamo je s ciljem da naučimo kako razmišljati logički,

kritički i kreativno,

ali matematika koju učimo u školi

uglavnom neuspješno motiviše

i kada naši učenici pitaju:

"Zašto ovo učimo?"

obično čuju da će im to zatrebati

na narednom času matematike ili na budućem ispitu.

Međutim, zar ne bi bilo divno

kad bismo se s vremena na vrijeme bavili matematikom

jednostavno zato što je zabavna i lijepa

ili možda zato što je uspjela uzbuditi um?

Znam da mnogi nisu

uspjeli doživjeti to o čemu pričam,

pa zato dopustite da vam dam jednostavan primjer

koristeći moju omiljenu kolekciju brojeva,

Fibonačijeve brojeve. (Aplauz)

Tako je! Vidim da ovdje imamo Fibonačijeve obožavatelje.

To je divno.

Značaj ovih brojeva se ogleda

na više načina.

Sa stanovišta računanja,

jednostavno ih je razumjeti

kao što je i to da je jedan i jedan jednako dva.

Zatim, jedan i dva je tri,

dva i tri je pet, tri i pet je osam,

i tako dalje.

Zaista, osoba koju zovemo Fibonači

se ustvari zvala Leonardo od Pise,

a ovi brojevi se spominju u njegovoj knjizi "Liber Abaci" ("Knjiga računanja"),

koja je naučila zapadni svijet

metodama aritmetike koje koristimo danas.

U smislu primjene,

Fibonačijevi brojevi se pojavljuju u prirodi

iznenađujuće često.

Broj latica na cvijetu

je obično Fibonačijev broj,

ili broj spirala na suncokretu

ili ananasu

također teži da bude Fibonačijev broj.

Ustvari, postoje mnoge druge primjene Fibonačijevih brojeva,

ali ono sto smatram najinspirativnijim

su divni šabloni brojeva koje predstavljaju.

Sad ću vam pokazati jedan od mojih omiljenih.

Pretpostavimo da volite kvadrirati brojeve,

a realno, ko ne voli? (Smijeh)

Pogledajmo kvadrate

prvih nekoliko Fibonačijevih brojeva.

Dakle, kvadrat broja jedan je jedan,

kvadrat broja dva je četiri, tri na kvadrat je devet,

pet na kvadrat je 25, itd.

Nije nikakvo iznenađenje

da sabiranjem dva uzastopna Fibonačijeva broja,

dobijemo sljedeći Fibonačijev broj, je li tako?

Tako se oni i kreiraju.

Međutim, ne biste očekivali nista posebno

da se dogodi u slučaju sabiranja njihovih kvadrata.

Ali, pogledajte ovo.

Jedan i jedan je dva,

a jedan i četiri je pet.

Četiri i devet je 13,

devet i 25 je 34,

i da, šablon se nastavlja.

Ustvari, evo jos jednog.

Pretpostavimo da ste htjeli pokušati

sabrati kvadrate prvih nekoliko Fibonačijevih brojeva.

Pogledajmo šta smo dobili ovdje.

Dakle, jedan plus jedan plus četiri je šest.

Ako dodamo devet na to, dobit ćemo 15.

Dodavanjem 25, dobijamo 40.

Dodavanjem 64, dobijamo 104.

Sada pogledajte ove brojeve.

Ovo nisu Fibonačijevi brojevi,

ali ako ih bolje pogledate,

vidjet ćete Fibonačijeve brojeve

unutar ovih brojeva.

Vidite li? Pokazat ću vam.

Šest je dva pomnoženo sa tri, 15 je tri pomnoženo sa pet,

40 je pet pomnoženo sa osam,

dva, tri, pet, osam, pogodi ko sam?

(Smijeh)

Fibonači, naravno!

Koliko god da je zabavno otkriti ove šablone,

još je bolje shvatiti

zašto oni postoje.

Pogledajmo posljednju jednačinu.

Zašto bi zbir kvadrata od jedan, jedan, dva, tri, pet i osam

bio jednak rezultatu proizvoda brojeva osam i 13?

Pokazat ću vam pomoću jednostavne slike.

Počet ćemo sa kvadratom "jedan sa jedan"

i pored njega ćemo staviti isti takav kvadrat.

Zajedno, oni formiraju "jedan sa dva" pravougaonik.

Ispod njega, stavit ću "dva sa dva",

pored njega "tri sa tri" kvadrat,

ispod kvadrat "pet sa pet" ,

a zatim "osam sa osam",

kreirajući jedan veliki pravougaonik, zar ne?

Sada dopustite da vam postavim jednostavno pitanje:

šta predstavlja površinu ovog pravougaonika?

Pa, s jedne strane,

to je zbir površina

sadržanih kvadrata, je li tako?

Baš kao što smo ih i kreirali.

To je jedan na kvadrat plus jedan na kvadrat,

sabrano sa kvadratom od dva i tri

te kvadratom od pet i osam. Jesam li u pravu?

To je tražena površina.

S druge strane, s obzirom na to da se radi o pravougaoniku,

površina je jednaka proizvodu dužine i širine,

širina je očito jednaka osam,

dok je dužina jednaka zbiru pet i osam,

koji predstavlja sljedeći Fibonačijev broj, 13. Je li tako?

Dakle, površina je jednaka i proizvodu 8 i 13.

Pošto smo tačno izračunali površinu

na dva različita načina,

ona mora biti jednaka,

i zato je zbir kvadrata od jedan, jedan, dva, tri, pet i osam

jednak proizvodu 8 i 13.

Ukoliko nastavimo sa ovim postupkom,

kreira ćemo pravougaonike dimenzija 13 sa 21,

21 sa 34, itd.

Pogledajte sada ovo.

Ako podijelimo 13 sa osam,

dobijemo 1,625.

Međutim, što veći broj dijelimo sa manjim brojem

ovaj se odnos sve više približava

do otprilike 1,618,

poznatog mnogima kao "zlatni rez",

broja koji fascinira matematičare,

naučnike i umjetnike već stoljećima.

Pokazao sam vam sve ovo,

jer pored sve te matematike

postoji i lijepa strana

kojoj se ne pridaje mnogo pažnje

u našim školama.

Provodimo mnogo vremena baveći se računanjima,

ali ne treba zaboraviti njihovu primjenu,

uključujući najvažniju od svih,

a to je da nas uče kako da razmišljamo.

Ako bih trebao sumirati sve navedeno u jednoj rečenici,

to bi bila ova:

Matematika nije samo rješavanje nepoznate x,

nego i shvatanje njene svrhe.

Hvala vam.

(Aplauz)