Return to Video

Power series representation using integration

  • 0:00 - 0:02
    เรามีอนุกรมอนันต์ตรงนี้
  • 0:02 - 0:04
    และสิ่งแรกที่ผมอยากให้คุณลอง
  • 0:04 - 0:07
    คือหยุดวิดีโอนี้แล้วดูว่าคุณจะเขียนนิพจน์นี้
  • 0:07 - 0:09
    เป็นอนุกรมเรขาคณิตได้ไหม
  • 0:09 - 0:12
    และถ้าคุณเขียนมันเป็นอนุกรมเรขาคณิตอนันต์ได้
  • 0:12 - 0:16
    ผลบวกจะเป็นเท่าใด เมื่อกำหนดช่วงการลู่เข้ามา
  • 0:16 - 0:19
    หาว่า ช่วงของ x ใดที่อนุกรม
  • 0:19 - 0:20
    เรขาคณิตอนันต์จะลู่เข้า
  • 0:20 - 0:22
    และผลบวกนั้นเป็นเท่าใด
  • 0:23 - 0:24
    ผมถือว่าคุณได้ลองแล้วนะ
  • 0:24 - 0:27
    ลองทำไปด้วยกันดีกว่า
  • 0:27 - 0:28
    อย่างแรกที่ผมอยากทำคือ
  • 0:28 - 0:30
    ลองแยกตัวประกอบร่วมออกมา
  • 0:30 - 0:33
    มันช่วยให้เขียนได้ง่ายขึ้น
  • 0:33 - 0:33
    ลองดูกัน
  • 0:33 - 0:34
    ถ้าผมแยกมันออกมา มันดูเหมือนว่าทุกตัว
  • 0:34 - 0:37
    จะหารด้วย 3x กำลังสองลงตัว
  • 0:37 - 0:42
    ผมเขียนอันนี้ใหม่ได้เป็น 3x กำลังสองคูณ
  • 0:43 - 0:50
    1 ลบ x กำลังสาม บวก x กำลังหก
  • 0:51 - 0:56
    ลบ x กำลังเก้า
  • 0:56 - 0:59
    และรูปแบบก็เริ่มเกิดขึ้น
  • 1:00 - 1:03
    ขอผมปิดวงเล็บด้วยสีเดียวกัน
  • 1:03 - 1:04
    ด้วยสีชมพูตรงนั้น
  • 1:04 - 1:05
    ลองดู
  • 1:05 - 1:09
    อันนี้ดูเหมือนว่าเรายกกำลัง x กำลังสาม
    ด้วยค่าต่าง ๆ
  • 1:09 - 1:10
    ขอผมเขียนมันแบบนั้นนะ
  • 1:10 - 1:14
    อันนี้เท่ากับ 3x กำลังสองคูณ
  • 1:14 - 1:17
    เราเขียนเทอมแรกนี้ได้
  • 1:17 - 1:18
    หรือจะเรียกว่าเทอมที่ศูนย์ก็ได้
  • 1:18 - 1:22
    นี่คือ x กำลังสามกำลัง 0
  • 1:22 - 1:28
    แล้วลบ นี่คือ x กำลังสามกำลัง 1
  • 1:28 - 1:32
    แล้วนี่คือ x กำลังสามกำลัง 2
  • 1:32 - 1:33
    แล้วคุณคงเห็นว่าจะเป็นยังไงต่อ
  • 1:33 - 1:36
    นี่คือ x กำลังสามกำลัง 3
  • 1:36 - 1:37
    และแน่นอน เราทำต่อได้
  • 1:37 - 1:38
    แต่ตอนนี้ เราต้องคิด
  • 1:38 - 1:41
    เรื่องการสลับเครื่องหมาย
  • 1:41 - 1:43
    อันนี้จะเป็นลบ 1
  • 1:43 - 1:44
    อันนี้เป็นบวก ซึ่งเท่ากับ
  • 1:44 - 1:46
    ลบ 1 ยกกำลัง 0
  • 1:46 - 1:49
    นี่คือลบ ซึ่งก็คือลบ 1 ยกกำลัง 1
  • 1:49 - 1:50
    ลองเขียนมันแบบนี้นะ
  • 1:50 - 1:55
    เราเขียนมันได้เป็น 3x กำลังสองคูณ
  • 1:56 - 1:59
    เทอมแรกนี้ เราเขียนได้เป็นลบ 1
  • 1:59 - 2:02
    หรือเราเขียนได้เป็นลบ x กำลังสาม
  • 2:02 - 2:04
    ยกกำลัง 0
  • 2:04 - 2:06
    แล้วคุณก็บอกว่าบวก
  • 2:06 - 2:09
    บวก เราบอกได้ว่าลบ x กำลังสาม
  • 2:09 - 2:11
    ยกกำลัง 1
  • 2:11 - 2:13
    ลบ 1 ยกกำลัง 1 เป็นลบ 1
  • 2:13 - 2:16
    x กำลังสามกำลัง 1 คือ x กำลังสาม
  • 2:16 - 2:20
    บวกลบ x กำลังสาม ยกกำลัง 2
  • 2:20 - 2:25
    บวกลบ x กำลังสาม ยกกำลัง 3
  • 2:25 - 2:27
    นั่นคือพจน์ตรงนี้
  • 2:27 - 2:28
    ลบ 1 ยกกำลัง 3 คือลบ 1
  • 2:28 - 2:31
    และแน่นอน x กำลังสาม กำลัง 3 คือ x กำลัง 9
  • 2:31 - 2:33
    และมันต่อไปเรื่อย ๆ
  • 2:33 - 2:37
    อันนี้ทำให้เห็นชัดว่าอัตราส่วนร่วมเป็นเท่าใด
  • 2:37 - 2:42
    อัตราส่วนร่วมของเราตรงนี้คือลบ x กำลังสาม
  • 2:42 - 2:45
    อนุกรมนี้จะลู่เข้าในช่วงใด?
  • 2:45 - 2:48
    มันจะลู่เข้าถ้าอัตราส่วนร่วม
  • 2:48 - 2:50
    ถ้าค่าสัมบูรณ์ของอัตราส่วนร่วม
  • 2:50 - 2:53
    น้อยกว่า 1
  • 2:53 - 2:55
    เราจะลู่เข้า
  • 2:57 - 3:02
    ถ้าค่าสัมบูรณ์ของอัตราส่วนร่วม
  • 3:02 - 3:04
    ค่าสัมบูรณ์ของอัตราส่วนร่วมของเรา
  • 3:04 - 3:09
    คือลบ x กำลังสาม น้อยกว่า 1
  • 3:09 - 3:11
    หรือวิธีบอกอีกอย่างคือว่า มันเท่ากับ
  • 3:11 - 3:14
    ค่าสัมบูรณ์ของลบจะเป็น
  • 3:14 - 3:16
    ค่าสัมบูรณ์ของค่าบวก
  • 3:16 - 3:18
    มันก็เหมือนกับบอกว่าค่าสัมบูรณ์
  • 3:18 - 3:21
    ของ x กำลังสองน้อยกว่า 1
  • 3:21 - 3:23
    หรือบอกว่า x กำลัง 3 น้อยกว่า 1
  • 3:23 - 3:27
    และมากกว่าลบ 1
  • 3:27 - 3:28
    วิธีที่จะเป็นได้
  • 3:28 - 3:32
    ถ้าคุณหารากที่สามทั้งสองข้างของอสมการ
  • 3:33 - 3:34
    ทุกตัวของอสมการ
  • 3:34 - 3:37
    คุณจะได้ x อยู่ระหว่าง
  • 3:37 - 3:38
    ลบ 1 กับ 1
  • 3:38 - 3:42
    ค่านี่ตรงนี้คือช่วงการลู่เข้า
  • 3:42 - 3:46
    ช่วงของการลู่เข้า
  • 3:46 - 3:49
    ถ้าเราจำกัด x ไว้เท่านั้น
  • 3:49 - 3:51
    ค่านี้จะรวมได้อะไร?
  • 3:51 - 3:54
    อนุกรมเรขาคณิตอนันต์นี้ อัตราส่วนร่วมนี้
  • 3:54 - 3:56
    ค่าสัมบูรณ์ของมันน้อยกว่า 1
  • 3:56 - 3:58
    และค่านี้จะรวมกันได้
  • 3:58 - 4:02
    ค่านี้จะเท่ากับพจน์แรกของเรา
  • 4:02 - 4:03
    เราจะบอกว่า
  • 4:03 - 4:05
    สิ่งที่คูณกับมันทั้งหมดนี้
  • 4:05 - 4:06
    ถ้าคุณคูณมันออกมา
  • 4:06 - 4:07
    อันนี้จะเป็นพจน์แรกของเรา
  • 4:07 - 4:10
    มันจะเท่ากับ 3x กำลังสอง
  • 4:10 - 4:14
    ทั้งหมดนั้นส่วน 1 ลบอัตราส่วนร่วม
  • 4:14 - 4:16
    1 ลบลบ x กำลังสาม
  • 4:16 - 4:20
    มันจะเท่ากับ 1 บวก x กำลังสาม
  • 4:20 - 4:22
    ทุกอย่างที่เราทำมา
  • 4:22 - 4:25
    เราได้แสดงว่าตัวนี้
  • 4:25 - 4:26
    ขอผมเขียนมันแบบนี้นะ
  • 4:26 - 4:29
    อันนี้เท่ากับนิพจน์นี้
  • 4:29 - 4:32
    ในช่วงการลู่เข้านี้
  • 4:32 - 4:37
    ขอผมเขียน ลอกและวางมัน อย่างนั้น
  • 4:37 - 4:39
    ตลอดช่วงการลู่เข้านี้
  • 4:39 - 4:41
    ถ้า x อยู่ระหว่างลบ 1 กับ 1
  • 4:41 - 4:43
    ทั้งหมดนี้จะเท่ากัน
  • 4:44 - 4:47
    ทีนี้ เราเริ่มใส่แคลคูลัสลงไปได้
  • 4:47 - 4:48
    เพราะมันดูน่าสนใจ
  • 4:48 - 4:50
    อันนี้ คุณอาจนึกออก
  • 4:50 - 4:53
    มันดูเหมือนอนุพันธ์ของอะไรสักอย่างที่เราคุ้นเคย
  • 4:53 - 4:55
    1 บวก x กำลังสาม อนุพันธ์ของมันคืออะไร?
  • 4:55 - 4:57
    มันคือ 3x กำลังสอง
  • 4:57 - 5:02
    มันดูเหมือนว่า นิพจน์ตรงนี้คืออนุพันธ์ของ
  • 5:02 - 5:05
    ล็อกธรรมชาติของ 1 บวก x กำลังสาม
  • 5:05 - 5:08
    หรือค่าสัมบูรณ์ของ 1 บวก x กำลังสาม
  • 5:08 - 5:10
    ถ้าคุณไม่เชื่อผม
  • 5:10 - 5:13
    ลองหาปฏิยานุพันธ์ของตัวนี้
  • 5:13 - 5:14
    ตรงนี้กัน
  • 5:14 - 5:15
    ที่จริง เพื่อความสนุก
  • 5:15 - 5:18
    ลองหาปฏิยานุพันธ์ของทั้งสองข้างดู
  • 5:18 - 5:21
    ถ้าคุณทำอย่างนั้น เราจะได้
  • 5:21 - 5:26
    รูปอนุกรมเรขาคณิต
  • 5:26 - 5:28
    สำหรับปฏิยานุพันธ์ของฟังก์ชันนี้
  • 5:28 - 5:30
    ผมแนะนำให้คุณหยุดวิดีโออีกครั้ง
  • 5:30 - 5:32
    แล้วลองหาปฏิยานุพันธ์
  • 5:32 - 5:34
    ทั้งสองข้างของสมการนี้ดู
  • 5:37 - 5:38
    เราจะหาปฏิยานุพันธ์
  • 5:38 - 5:39
    ของทางซ้ายมือ
  • 5:39 - 5:42
    และเราจะหาปฏิยานุพันธ์
  • 5:42 - 5:45
    ปฏิยานุพันธ์ของทางขวามือ
  • 5:45 - 5:46
    ทีนี้ ทางซ้ายมือ
  • 5:46 - 5:48
    ผมบอกไปว่า ดูเหมือนว่าเรามี
  • 5:49 - 5:50
    พจน์กับอนุพันธ์ของมัน
  • 5:50 - 5:53
    มันทำให้เรานึกถึงการแทนที่ u
  • 5:53 - 5:57
    ถ้าเราบอกว่า u เท่ากับ 1 บวก x กำลังสาม
  • 5:58 - 5:59
    ขอผมเขียนมันลงไปนะ
  • 5:59 - 6:03
    u เท่ากับ 1 บวก x กำลังสาม
  • 6:03 - 6:05
    แล้ว du จะเท่ากับอะไร?
  • 6:05 - 6:12
    du จะเท่ากับ 3x กำลังสอง dx
  • 6:12 - 6:15
    สังเกตว่า เรามี u แล้วก็ du
  • 6:16 - 6:19
    du คือค่านี่ตรงนี้
  • 6:20 - 6:24
    พจน์นี้ตรงนี้จึงเขียนใหม่ได้เป็น
  • 6:24 - 6:25
    ขอผมไปตรงนี้นะ
  • 6:25 - 6:35
    อันนี้เขียนใหม่ได้เป็นอินทิกรัลของ du ส่วน u
  • 6:36 - 6:37
    หรือผมบอกได้ว่า
  • 6:37 - 6:38
    ขอผมเขียนแบบนี้นะ
  • 6:38 - 6:43
    1 ส่วน u du
  • 6:43 - 6:46
    ซึ่งแน่นอน เท่ากับ
  • 6:46 - 6:49
    จะเท่ากับล็อกธรรมชาติ
  • 6:49 - 6:52
    ของค่าสัมบูรณ์ของ u
  • 6:52 - 6:55
    ล็อกธรรมชาติของค่าสัมบูรณ์ของ u
  • 6:55 - 6:58
    บวกค่าคงที่
  • 7:00 - 7:03
    แน่นอน เรารู้ว่า u คือ 1 บวก x กำลังสาม
  • 7:03 - 7:06
    ค่านี้จึงเท่ากับล็อกธรรมชาติ
  • 7:06 - 7:09
    ของค่าสัมบูรณ์ของ 1 บวก x กำลังสาม
  • 7:09 - 7:13
    1 บวก x กำลังสามบวก c
  • 7:13 - 7:14
    บวก c
  • 7:14 - 7:18
    ทีนี้ เราจำกัดโดเมนสำหรับ x
  • 7:18 - 7:19
    ระหว่างลบ 1 กับ 1
  • 7:19 - 7:24
    สำหรับโดเมนนั้น ค่านี้จะ
  • 7:25 - 7:29
    ทั้งหมดนี้จะเป็นบวกเสมอ
  • 7:30 - 7:32
    สิ่งที่เราทำได้
  • 7:34 - 7:36
    เราไม่ต้องเขียนเครื่องหมายค่าสัมบูรณ์
  • 7:36 - 7:38
    อันนี้จะเท่ากับล็อกธรรมชาติ
  • 7:38 - 7:40
    ขอผมเขียนนะ
  • 7:40 - 7:44
    ล็อกธรรมชาติของ 1 บวก x กำลังสาม
  • 7:44 - 7:47
    1 บวก x กำลังสามบวก c
  • 7:47 - 7:48
    บวก c
  • 7:48 - 7:50
    นั่นคือทางซ้ายมือ
  • 7:50 - 7:52
    และทางขวามือนั้น
  • 7:52 - 7:53
    ค่อนข้างตรงไปตรงมา
  • 7:53 - 7:55
    นี่คือพหุนามที่ตรงไปตรงมา
  • 7:55 - 7:57
    ทีนี้ คุณคงนึกออก เราจะได้
  • 7:57 - 7:58
    ค่าคงที่มา
  • 7:58 - 7:59
    ขอผมแยกมันจากกันหน่อย
  • 7:59 - 8:02
    ขอผมเรียกตัวนี้ว่า c1
  • 8:02 - 8:05
    แล้วทางขวามือ เราจะได้อะไร?
  • 8:05 - 8:08
    ปฏิยานุพันธ์ของตัวนี้จะเท่ากับ
  • 8:08 - 8:09
    ลองดู
  • 8:09 - 8:12
    ปฏิยานุพันธ์ของ x กำลังสอง คือ x กำลังสาม
  • 8:12 - 8:14
    หารด้วย 3
  • 8:14 - 8:17
    เทอมแรกนี้ ปฏิยานุพันธ์
  • 8:17 - 8:20
    จะเท่ากับ x ยกกำลังสาม
  • 8:20 - 8:23
    อนุพันธ์ของ x กำลังสาม คือ 3x กำลังสอง
  • 8:23 - 8:25
    ทีนี้ พจน์ตรงนี้
  • 8:25 - 8:28
    ลบ 3x กำลังห้า
  • 8:28 - 8:30
    ปฏิยานุพันธ์ของ x กำลังห้า
  • 8:30 - 8:35
    คือ x กำลังหกส่วน 6
  • 8:35 - 8:37
    x กำลังหกส่วน 6
  • 8:37 - 8:38
    แต่เรามี 3 ตรงนี้
  • 8:38 - 8:40
    3 ส่วน 6 คือ 2
  • 8:40 - 8:45
    มันคือลบ x กำลังหกส่วน 2
  • 8:45 - 8:46
    ที่จริง ขอผมใช้อีกสีดีกว่า
  • 8:46 - 8:48
    เราจะได้ติดตามได้
  • 8:49 - 8:51
    อันนี้ตรงนี้เป็นลบ
  • 8:51 - 8:54
    ปฏิยานุพันธ์คือลบ x กำลังหกส่วน 2
  • 8:55 - 8:56
    แล้ว ลองดู
  • 8:56 - 8:57
    ผมไม่มีสีแล้ว
  • 8:57 - 8:59
    ปฏิยานุพันธ์ของ x กำลัง 8
  • 8:59 - 9:01
    คือ x กำลัง 9 ส่วน 9
  • 9:01 - 9:04
    มันจเป็นบวก x กำลัง 9
  • 9:04 - 9:05
    แล้วเรามี 3 นี่
  • 9:05 - 9:07
    3 ส่วน 9 ได้ 3
  • 9:08 - 9:10
    และผมว่าคุณคงเห็นรูปแบบเกิดขึ้นแล้ว
  • 9:10 - 9:13
    ลองทำอีกพจน์เพื่อความสนุก
  • 9:13 - 9:16
    x กำลัง 12 ส่วน 12 แต่เรามี 3 นี่
  • 9:16 - 9:20
    ได้ลบ x กำลัง 12 ส่วน 4
  • 9:20 - 9:22
    แล้วเราก็ทำต่อไป
  • 9:22 - 9:24
    แล้วเราจะได้
  • 9:24 - 9:26
    เราจะได้ค่าคงที่ตัวหนึ่ง
  • 9:26 - 9:28
    ที่จริง ขอผมใส่ค่าคงที่ไว้ข้างหน้าดีกว่า
  • 9:29 - 9:31
    ขอผมลอกและวางมัน
  • 9:31 - 9:34
    หรือตัดและวางมัน ผมจะได้มีที่หน่อย
  • 9:34 - 9:40
    ขอผมเขียนตรงนี้
  • 9:40 - 9:41
    ผมจะใส่ค่าคงที่อีกตัวคือ c2
  • 9:41 - 9:43
    มันไม่จำเป็นต้องมีค่าเดียวกัน
  • 9:43 - 9:44
    บวกทั้งหมดนี้
  • 9:44 - 9:46
    ทีนี้ เวลาจัดรูป
  • 9:46 - 9:48
    ผมก็ลบ c1 ทั้งสองข้างได้
  • 9:48 - 9:49
    หรือลบออกจาก c2
  • 9:49 - 9:55
    แล้วผมจะได้ล็อกธรรมชาติของ
  • 9:55 - 9:57
    1 บวก x กำลังสาม
  • 9:57 - 9:59
    1 บวก x กำลังสาม
  • 9:59 - 10:00
    อันนี้เจ๋งดี ที่เราทำไป
  • 10:00 - 10:02
    ด้วยการอินทิเกรต
  • 10:02 - 10:05
    เท่ากับ c2 ลบ c1
  • 10:05 - 10:08
    นี่คือค่าคงที่ลบค่าคงที่อีกตัว
  • 10:08 - 10:12
    มันจะเป็นค่าคงที่ตามใจ
  • 10:13 - 10:14
    บวกทั้งหมดนี้
  • 10:17 - 10:20
    เราหาได้ว่าค่าคงที่จะเป็นเท่าใด
  • 10:20 - 10:22
    โดยลองแทนค่า x
  • 10:22 - 10:26
    ที่อยู่ในโดเมนจำกัดของเรา
  • 10:26 - 10:29
    x เท่ากับ 0 อยู่ระหว่างลบ 1 กับ 1
  • 10:29 - 10:32
    ลองดูว่าเกิดอะไรขึ้นเมื่อ x เท่ากับ 0
  • 10:32 - 10:33
    เพื่อแก้หา c กัน
  • 10:33 - 10:35
    ถ้า x เท่ากับ 0
  • 10:37 - 10:48
    เราจะได้ล็อกธรรมชาติของ 1 เท่ากับ c บวก
  • 10:48 - 10:50
    เทอมทั้งหมดนี้จะเท่ากับ 0
  • 10:50 - 10:52
    0 กำลังสาม ลบ 0 กำลังหก
  • 10:52 - 10:53
    ไปเรื่อย ๆ
  • 10:53 - 10:55
    บวก 0 บวก 0
  • 10:55 - 10:56
    แล้วอีกอย่าง
  • 10:56 - 10:57
    ล็อกธรรมชาติของ 1 แน่นอน
  • 10:57 - 10:58
    e ยกกำลังอะไรได้ 1
  • 10:58 - 11:00
    มันคือ 0
  • 11:00 - 11:01
    c จึงต้องเป็น 0
  • 11:01 - 11:03
    c เท่ากับ 0
  • 11:03 - 11:05
    ค่าตรงนี้เท่ากับ 0
  • 11:05 - 11:09
    สิ่งที่เราเพิ่งทำไป โดยใช้การอินทิเกรต
  • 11:09 - 11:10
    เริ่มด้วย --
  • 11:10 - 11:12
    มาซาบซึ้งกันหน่อยว่าเกิดอะไรขึ้น
  • 11:12 - 11:15
    เริ่มจากอนุกรมอนันต์ใด ๆ ตัวหนึ่ง
  • 11:15 - 11:18
    เราแสดงว่ามันเขียนเป็นอนุกรมอนันต์ได้
  • 11:18 - 11:20
    เรากำหนดการลู่เข้า
  • 11:20 - 11:22
    ว่ามันลู่เข้าได้ในช่วงใด
  • 11:22 - 11:23
    โดยค่าสัมบูรณ์ของอัตราส่วนร่วม
  • 11:23 - 11:25
    น้อยกว่า 1
  • 11:25 - 11:26
    แล้วจากนั้น
  • 11:26 - 11:28
    เราเขียนผลบวก
  • 11:28 - 11:30
    แล้วหาปฏิยานุพันธ์ทั้งสองข้าง
  • 11:30 - 11:36
    เพื่อหาการกระจายสำหรับล็อกธรรมชาติ
  • 11:36 - 11:41
    ของ 1 บวก x กำลังสามได้
  • 11:41 - 11:45
    อย่างน้อยในความเห็นผม ผมว่ามันเจ๋งดี
  • 11:46 - 11:49
    ล็อกธรรมชาติของ 1 บวก x กำลังสาม
  • 11:49 - 11:53
    คือ x กำลังสามบวก ลบ x กำลังหกส่วน 2
  • 11:53 - 11:55
    บวก x กำลังเก้าส่วน 3
  • 11:55 - 11:56
    ไปเรื่อย ๆ
  • 11:56 - 12:00
    ที่จริง เพื่อปิดท้ายเรื่อง
  • 12:00 - 12:02
    ลองเขียนเป็นสัญลักษณ์ซิกม่าดู
  • 12:02 - 12:06
    เราเขียนล็อกธรรมชาติของ 1 บวก x กำลังสาม
  • 12:07 - 12:09
    บนโดเมนจำกัดของเรา
  • 12:09 - 12:12
    โดยค่าสัมบูรณ์ของ x น้อยกว่า 1
  • 12:12 - 12:19
    เท่ากับผลบวกจาก สมมุติว่า
  • 12:20 - 12:24
    n เท่ากับ 1 ถึงอนันต์
  • 12:24 - 12:31
    ของ x กำลังสามกำลัง n
  • 12:31 - 12:34
    ยกกำลัง 1, กำลัง 2, กำลัง 3,
  • 12:34 - 12:35
    ส่วน n
  • 12:35 - 12:36
    นี่คือ x กำลังสามส่วน 1
  • 12:36 - 12:39
    x กำลังสามกำลัง 2 ส่วน 2
  • 12:39 - 12:42
    โอ้ แน่นอน ผมต้องใส่ ลองดู
  • 12:42 - 12:44
    เทอมแรกนี้คือ
  • 12:44 - 12:46
    เราจะต้องระวังเครื่องหมายด้วย
  • 12:46 - 12:48
    ขอผมใส่ลบ 1 เข้าไป
  • 12:48 - 12:49
    ลองดู
  • 12:49 - 12:52
    ลบ 1 กำลัง 1 ควรเป็นลบ
  • 12:52 - 12:53
    แต่ตรงนี้ มันเป็นบวก
  • 12:53 - 12:57
    ผมจึงบอกว่าลบ 1 กำลัง n บวก 1
  • 12:57 - 12:59
    ลบ 1 ยกกำลัง n บวก 1
  • 12:59 - 13:00
    มันใช้ได้ไหม?
  • 13:00 - 13:00
    ผมว่าใช้ได้นะ
  • 13:00 - 13:02
    เมื่อ n เท่ากับ 1
  • 13:02 - 13:05
    ค่านี้จะกลายเป็น 1
  • 13:05 - 13:06
    นี่คือ x กำลังสามส่วน 1
  • 13:06 - 13:08
    เมื่อ n เท่ากับ 2
  • 13:08 - 13:11
    ตัวนี้กลายเป็นลบ ซึ่งต้องเป็นอย่างนั้น
  • 13:11 - 13:14
    แล้วอันนี้กลายเป็น x กำลัง 6 และเรามีส่วน 2
  • 13:14 - 13:15
    เราจึงได้คำตอบแล้ว
  • 13:15 - 13:16
    เราเสร็จแล้ว
  • 13:16 - 13:18
    ผมว่ามันน่าพอใจมาก
Title:
Power series representation using integration
Description:
more » « less
Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
13:20

Thai subtitles

Revisions

Our website uses cookies for analysis purposes.