เรามีอนุกรมอนันต์ตรงนี้

และสิ่งแรกที่ผมอยากให้คุณลอง

คือหยุดวิดีโอนี้แล้วดูว่าคุณจะเขียนนิพจน์นี้

เป็นอนุกรมเรขาคณิตได้ไหม

และถ้าคุณเขียนมันเป็นอนุกรมเรขาคณิตอนันต์ได้

ผลบวกจะเป็นเท่าใด เมื่อกำหนดช่วงการลู่เข้ามา

หาว่า ช่วงของ x ใดที่อนุกรม

เรขาคณิตอนันต์จะลู่เข้า

และผลบวกนั้นเป็นเท่าใด

ผมถือว่าคุณได้ลองแล้วนะ

ลองทำไปด้วยกันดีกว่า

อย่างแรกที่ผมอยากทำคือ

ลองแยกตัวประกอบร่วมออกมา

มันช่วยให้เขียนได้ง่ายขึ้น

ลองดูกัน

ถ้าผมแยกมันออกมา มันดูเหมือนว่าทุกตัว

จะหารด้วย 3x กำลังสองลงตัว

ผมเขียนอันนี้ใหม่ได้เป็น 3x กำลังสองคูณ

1 ลบ x กำลังสาม บวก x กำลังหก

ลบ x กำลังเก้า

และรูปแบบก็เริ่มเกิดขึ้น

ขอผมปิดวงเล็บด้วยสีเดียวกัน

ด้วยสีชมพูตรงนั้น

ลองดู

อันนี้ดูเหมือนว่าเรายกกำลัง x กำลังสาม
ด้วยค่าต่าง ๆ

ขอผมเขียนมันแบบนั้นนะ

อันนี้เท่ากับ 3x กำลังสองคูณ

เราเขียนเทอมแรกนี้ได้

หรือจะเรียกว่าเทอมที่ศูนย์ก็ได้

นี่คือ x กำลังสามกำลัง 0

แล้วลบ นี่คือ x กำลังสามกำลัง 1

แล้วนี่คือ x กำลังสามกำลัง 2

แล้วคุณคงเห็นว่าจะเป็นยังไงต่อ

นี่คือ x กำลังสามกำลัง 3

และแน่นอน เราทำต่อได้

แต่ตอนนี้ เราต้องคิด

เรื่องการสลับเครื่องหมาย

อันนี้จะเป็นลบ 1

อันนี้เป็นบวก ซึ่งเท่ากับ

ลบ 1 ยกกำลัง 0

นี่คือลบ ซึ่งก็คือลบ 1 ยกกำลัง 1

ลองเขียนมันแบบนี้นะ

เราเขียนมันได้เป็น 3x กำลังสองคูณ

เทอมแรกนี้ เราเขียนได้เป็นลบ 1

หรือเราเขียนได้เป็นลบ x กำลังสาม

ยกกำลัง 0

แล้วคุณก็บอกว่าบวก

บวก เราบอกได้ว่าลบ x กำลังสาม

ยกกำลัง 1

ลบ 1 ยกกำลัง 1 เป็นลบ 1

x กำลังสามกำลัง 1 คือ x กำลังสาม

บวกลบ x กำลังสาม ยกกำลัง 2

บวกลบ x กำลังสาม ยกกำลัง 3

นั่นคือพจน์ตรงนี้

ลบ 1 ยกกำลัง 3 คือลบ 1

และแน่นอน x กำลังสาม กำลัง 3 คือ x กำลัง 9

และมันต่อไปเรื่อย ๆ

อันนี้ทำให้เห็นชัดว่าอัตราส่วนร่วมเป็นเท่าใด

อัตราส่วนร่วมของเราตรงนี้คือลบ x กำลังสาม

อนุกรมนี้จะลู่เข้าในช่วงใด?

มันจะลู่เข้าถ้าอัตราส่วนร่วม

ถ้าค่าสัมบูรณ์ของอัตราส่วนร่วม

น้อยกว่า 1

เราจะลู่เข้า

ถ้าค่าสัมบูรณ์ของอัตราส่วนร่วม

ค่าสัมบูรณ์ของอัตราส่วนร่วมของเรา

คือลบ x กำลังสาม น้อยกว่า 1

หรือวิธีบอกอีกอย่างคือว่า มันเท่ากับ

ค่าสัมบูรณ์ของลบจะเป็น

ค่าสัมบูรณ์ของค่าบวก

มันก็เหมือนกับบอกว่าค่าสัมบูรณ์

ของ x กำลังสองน้อยกว่า 1

หรือบอกว่า x กำลัง 3 น้อยกว่า 1

และมากกว่าลบ 1

วิธีที่จะเป็นได้

ถ้าคุณหารากที่สามทั้งสองข้างของอสมการ

ทุกตัวของอสมการ

คุณจะได้ x อยู่ระหว่าง

ลบ 1 กับ 1

ค่านี่ตรงนี้คือช่วงการลู่เข้า

ช่วงของการลู่เข้า

ถ้าเราจำกัด x ไว้เท่านั้น

ค่านี้จะรวมได้อะไร?

อนุกรมเรขาคณิตอนันต์นี้ อัตราส่วนร่วมนี้

ค่าสัมบูรณ์ของมันน้อยกว่า 1

และค่านี้จะรวมกันได้

ค่านี้จะเท่ากับพจน์แรกของเรา

เราจะบอกว่า

สิ่งที่คูณกับมันทั้งหมดนี้

ถ้าคุณคูณมันออกมา

อันนี้จะเป็นพจน์แรกของเรา

มันจะเท่ากับ 3x กำลังสอง

ทั้งหมดนั้นส่วน 1 ลบอัตราส่วนร่วม

1 ลบลบ x กำลังสาม

มันจะเท่ากับ 1 บวก x กำลังสาม

ทุกอย่างที่เราทำมา

เราได้แสดงว่าตัวนี้

ขอผมเขียนมันแบบนี้นะ

อันนี้เท่ากับนิพจน์นี้

ในช่วงการลู่เข้านี้

ขอผมเขียน ลอกและวางมัน อย่างนั้น

ตลอดช่วงการลู่เข้านี้

ถ้า x อยู่ระหว่างลบ 1 กับ 1

ทั้งหมดนี้จะเท่ากัน

ทีนี้ เราเริ่มใส่แคลคูลัสลงไปได้

เพราะมันดูน่าสนใจ

อันนี้ คุณอาจนึกออก

มันดูเหมือนอนุพันธ์ของอะไรสักอย่างที่เราคุ้นเคย

1 บวก x กำลังสาม อนุพันธ์ของมันคืออะไร?

มันคือ 3x กำลังสอง

มันดูเหมือนว่า นิพจน์ตรงนี้คืออนุพันธ์ของ

ล็อกธรรมชาติของ 1 บวก x กำลังสาม

หรือค่าสัมบูรณ์ของ 1 บวก x กำลังสาม

ถ้าคุณไม่เชื่อผม

ลองหาปฏิยานุพันธ์ของตัวนี้

ตรงนี้กัน

ที่จริง เพื่อความสนุก

ลองหาปฏิยานุพันธ์ของทั้งสองข้างดู

ถ้าคุณทำอย่างนั้น เราจะได้

รูปอนุกรมเรขาคณิต

สำหรับปฏิยานุพันธ์ของฟังก์ชันนี้

ผมแนะนำให้คุณหยุดวิดีโออีกครั้ง

แล้วลองหาปฏิยานุพันธ์

ทั้งสองข้างของสมการนี้ดู

เราจะหาปฏิยานุพันธ์

ของทางซ้ายมือ

และเราจะหาปฏิยานุพันธ์

ปฏิยานุพันธ์ของทางขวามือ

ทีนี้ ทางซ้ายมือ

ผมบอกไปว่า ดูเหมือนว่าเรามี

พจน์กับอนุพันธ์ของมัน

มันทำให้เรานึกถึงการแทนที่ u

ถ้าเราบอกว่า u เท่ากับ 1 บวก x กำลังสาม

ขอผมเขียนมันลงไปนะ

u เท่ากับ 1 บวก x กำลังสาม

แล้ว du จะเท่ากับอะไร?

du จะเท่ากับ 3x กำลังสอง dx

สังเกตว่า เรามี u แล้วก็ du

du คือค่านี่ตรงนี้

พจน์นี้ตรงนี้จึงเขียนใหม่ได้เป็น

ขอผมไปตรงนี้นะ

อันนี้เขียนใหม่ได้เป็นอินทิกรัลของ du ส่วน u

หรือผมบอกได้ว่า

ขอผมเขียนแบบนี้นะ

1 ส่วน u du

ซึ่งแน่นอน เท่ากับ

จะเท่ากับล็อกธรรมชาติ

ของค่าสัมบูรณ์ของ u

ล็อกธรรมชาติของค่าสัมบูรณ์ของ u

บวกค่าคงที่

แน่นอน เรารู้ว่า u คือ 1 บวก x กำลังสาม

ค่านี้จึงเท่ากับล็อกธรรมชาติ

ของค่าสัมบูรณ์ของ 1 บวก x กำลังสาม

1 บวก x กำลังสามบวก c

บวก c

ทีนี้ เราจำกัดโดเมนสำหรับ x

ระหว่างลบ 1 กับ 1

สำหรับโดเมนนั้น ค่านี้จะ

ทั้งหมดนี้จะเป็นบวกเสมอ

สิ่งที่เราทำได้

เราไม่ต้องเขียนเครื่องหมายค่าสัมบูรณ์

อันนี้จะเท่ากับล็อกธรรมชาติ

ขอผมเขียนนะ

ล็อกธรรมชาติของ 1 บวก x กำลังสาม

1 บวก x กำลังสามบวก c

บวก c

นั่นคือทางซ้ายมือ

และทางขวามือนั้น

ค่อนข้างตรงไปตรงมา

นี่คือพหุนามที่ตรงไปตรงมา

ทีนี้ คุณคงนึกออก เราจะได้

ค่าคงที่มา

ขอผมแยกมันจากกันหน่อย

ขอผมเรียกตัวนี้ว่า c1

แล้วทางขวามือ เราจะได้อะไร?

ปฏิยานุพันธ์ของตัวนี้จะเท่ากับ

ลองดู

ปฏิยานุพันธ์ของ x กำลังสอง คือ x กำลังสาม

หารด้วย 3

เทอมแรกนี้ ปฏิยานุพันธ์

จะเท่ากับ x ยกกำลังสาม

อนุพันธ์ของ x กำลังสาม คือ 3x กำลังสอง

ทีนี้ พจน์ตรงนี้

ลบ 3x กำลังห้า

ปฏิยานุพันธ์ของ x กำลังห้า

คือ x กำลังหกส่วน 6

x กำลังหกส่วน 6

แต่เรามี 3 ตรงนี้

3 ส่วน 6 คือ 2

มันคือลบ x กำลังหกส่วน 2

ที่จริง ขอผมใช้อีกสีดีกว่า

เราจะได้ติดตามได้

อันนี้ตรงนี้เป็นลบ

ปฏิยานุพันธ์คือลบ x กำลังหกส่วน 2

แล้ว ลองดู

ผมไม่มีสีแล้ว

ปฏิยานุพันธ์ของ x กำลัง 8

คือ x กำลัง 9 ส่วน 9

มันจเป็นบวก x กำลัง 9

แล้วเรามี 3 นี่

3 ส่วน 9 ได้ 3

และผมว่าคุณคงเห็นรูปแบบเกิดขึ้นแล้ว

ลองทำอีกพจน์เพื่อความสนุก

x กำลัง 12 ส่วน 12 แต่เรามี 3 นี่

ได้ลบ x กำลัง 12 ส่วน 4

แล้วเราก็ทำต่อไป

แล้วเราจะได้

เราจะได้ค่าคงที่ตัวหนึ่ง

ที่จริง ขอผมใส่ค่าคงที่ไว้ข้างหน้าดีกว่า

ขอผมลอกและวางมัน

หรือตัดและวางมัน ผมจะได้มีที่หน่อย

ขอผมเขียนตรงนี้

ผมจะใส่ค่าคงที่อีกตัวคือ c2

มันไม่จำเป็นต้องมีค่าเดียวกัน

บวกทั้งหมดนี้

ทีนี้ เวลาจัดรูป

ผมก็ลบ c1 ทั้งสองข้างได้

หรือลบออกจาก c2

แล้วผมจะได้ล็อกธรรมชาติของ

1 บวก x กำลังสาม

1 บวก x กำลังสาม

อันนี้เจ๋งดี ที่เราทำไป

ด้วยการอินทิเกรต

เท่ากับ c2 ลบ c1

นี่คือค่าคงที่ลบค่าคงที่อีกตัว

มันจะเป็นค่าคงที่ตามใจ

บวกทั้งหมดนี้

เราหาได้ว่าค่าคงที่จะเป็นเท่าใด

โดยลองแทนค่า x

ที่อยู่ในโดเมนจำกัดของเรา

x เท่ากับ 0 อยู่ระหว่างลบ 1 กับ 1

ลองดูว่าเกิดอะไรขึ้นเมื่อ x เท่ากับ 0

เพื่อแก้หา c กัน

ถ้า x เท่ากับ 0

เราจะได้ล็อกธรรมชาติของ 1 เท่ากับ c บวก

เทอมทั้งหมดนี้จะเท่ากับ 0

0 กำลังสาม ลบ 0 กำลังหก

ไปเรื่อย ๆ

บวก 0 บวก 0

แล้วอีกอย่าง

ล็อกธรรมชาติของ 1 แน่นอน

e ยกกำลังอะไรได้ 1

มันคือ 0

c จึงต้องเป็น 0

c เท่ากับ 0

ค่าตรงนี้เท่ากับ 0

สิ่งที่เราเพิ่งทำไป โดยใช้การอินทิเกรต

เริ่มด้วย --

มาซาบซึ้งกันหน่อยว่าเกิดอะไรขึ้น

เริ่มจากอนุกรมอนันต์ใด ๆ ตัวหนึ่ง

เราแสดงว่ามันเขียนเป็นอนุกรมอนันต์ได้

เรากำหนดการลู่เข้า

ว่ามันลู่เข้าได้ในช่วงใด

โดยค่าสัมบูรณ์ของอัตราส่วนร่วม

น้อยกว่า 1

แล้วจากนั้น

เราเขียนผลบวก

แล้วหาปฏิยานุพันธ์ทั้งสองข้าง

เพื่อหาการกระจายสำหรับล็อกธรรมชาติ

ของ 1 บวก x กำลังสามได้

อย่างน้อยในความเห็นผม ผมว่ามันเจ๋งดี

ล็อกธรรมชาติของ 1 บวก x กำลังสาม

คือ x กำลังสามบวก ลบ x กำลังหกส่วน 2

บวก x กำลังเก้าส่วน 3

ไปเรื่อย ๆ

ที่จริง เพื่อปิดท้ายเรื่อง

ลองเขียนเป็นสัญลักษณ์ซิกม่าดู

เราเขียนล็อกธรรมชาติของ 1 บวก x กำลังสาม

บนโดเมนจำกัดของเรา

โดยค่าสัมบูรณ์ของ x น้อยกว่า 1

เท่ากับผลบวกจาก สมมุติว่า

n เท่ากับ 1 ถึงอนันต์

ของ x กำลังสามกำลัง n

ยกกำลัง 1, กำลัง 2, กำลัง 3,

ส่วน n

นี่คือ x กำลังสามส่วน 1

x กำลังสามกำลัง 2 ส่วน 2

โอ้ แน่นอน ผมต้องใส่ ลองดู

เทอมแรกนี้คือ

เราจะต้องระวังเครื่องหมายด้วย

ขอผมใส่ลบ 1 เข้าไป

ลองดู

ลบ 1 กำลัง 1 ควรเป็นลบ

แต่ตรงนี้ มันเป็นบวก

ผมจึงบอกว่าลบ 1 กำลัง n บวก 1

ลบ 1 ยกกำลัง n บวก 1

มันใช้ได้ไหม?

ผมว่าใช้ได้นะ

เมื่อ n เท่ากับ 1

ค่านี้จะกลายเป็น 1

นี่คือ x กำลังสามส่วน 1

เมื่อ n เท่ากับ 2

ตัวนี้กลายเป็นลบ ซึ่งต้องเป็นอย่างนั้น

แล้วอันนี้กลายเป็น x กำลัง 6 และเรามีส่วน 2

เราจึงได้คำตอบแล้ว

เราเสร็จแล้ว

ผมว่ามันน่าพอใจมาก