Proof: d/dx(sqrt(x))

.

x'in karekökünün türevinin kanıtlanmasını göstermem istendiği için bu videoyu hazırladım.

.

.

.

Türevin tanımından f(x) fonksiyonunun türevinin delta x 0'a yaklaşırken ki limiti olduğunu biliyoruz.

.

.

.

Bildiğiniz gibi bazıları h 0'a yaklaşırken veya d 0'a yaklaşırken diyor.

.

Ben delta x demeyi tercih ediyorum.

Böylelikle (Δx)/0 oluyor.

f(x)+Δx yani bu durumda f(x) diyoruz.

.

Yani (√ (x+Δx) - √ (x)) / Δ x oluyor. Bu işleme x artı delta x'in karekökünden f(x) fonksiyonunu çıkararak ulaşıyoruz. f(x) bu durumda x'in karekökü.

.

.

.

Bu işleme bakıldığında yapılması mümkün bir sadeleştirme görülmüyor.

.

.

Payı ve paydayı payın eşleniğiyle çarpacağım.

.

.

Yeniden yazarsam herşey daha açık olacak.

Limit Δx'in 0'a yaklaşmasıdır. Burda sadece daha kolay anlaşılması için tekrarlıyorum.

.

(√ (x+Δx) - √ (x)) / Δ x

.

.

Elde ettiğimi (√ (x+Δx)+√ (x)) / (√ (x+Δx) + √ (x)) 'le çarpıyorum.

.

.

.

Maviyle yazılmış kısımlar 1 edecek, x ve Δx'in 0 ettiğini düşünürsek. Bu tanımlanmış bir sayı ve 1 olacak.

.

.

.

Bu 1/1 olacak bu ifadeyi bu denklemle çarparak limiti Δ x sıfıra yaklaşıyor olarak alıyoruz.

.

Bu ifadeyi (a - b) * (a+b) olarak düşünebiliriz.

Kenarda açıklayayım.

(a+b)(a-b) = a^2-b^2.

.

Aynı şekilde √ (x+Δx) ifadesi de a^2 olacak.

.

.

.

x+Δx olacak.

.

Peki b^2 kısmı ne olacak?

Bu benzetmede -√ (x) b'ye tekabül ediyor.

√ (x)'in karesi x eder.

Yukarıda saydıklarımı Δx(√(x+Δx) + √(x) ifadesine bölüyorum.

.

Şimdi nasıl bir sadeleştirme yapabileceğimize bakalım.

Bir x'imiz bir de - x'imiz var. Bu ikisi birbirini götürür.

.

Elde kalanlarla bir sadeleştirme yapabildiğimiz için paydadaki Δx'le paydaki Δx'i sadeleştirceğiz.

.

.

.

Yaptığımız işlemler sonucunda Δx 0'a yaklaşırken ki limit 1/ (√(x+Δx) + √ (x)).

.

.

.

.

.

.

Şimdi doğrudan limiti 0'ya yaklaşırken alabiliriz.

.

Δx'i 0 olarak alabiliriz.

Çünkü yaklaştığı değer 0'dır.

Bu durumda 1/(√ (x) + √(x))'e döner elimizdeki ifade.

Δx, 0 olduğu için görmezden gelebiliriz.

Limiti 0'a kadar alabiliriz.

Tabi ki sadeleştirme öncesindeki √(x)'i de paydaya eklemeyi unutmuyoruz.

.

Bu da 1/2√(x)'e denk gelir.

Daha da devam edersek düzenlemeye; (1/2) x^(-1/2).

Özetlemek gerekirse x^(1/2) 'in türevi (1/2)x^(-1/2) olmuştur.

Elde edilen sonuç türevin genel kuralı olan: x^n 'in türevi n(x)^n-1'le tutarlıdır.

.

.

.

Umarım bu video yeterince açıklayıcı olmuştur.

Bütün kesirler için kanıtlamadım ama bu bir başlangıç.

√(x)'in türevi oldukça yaygındır ve umarım kanıt süreci çok karmaşık olmamıştır.

.

Diğer videolarda görüşmek üzere.

.