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Proof: d/dx(sqrt(x))

  • 0:00 - 0:01
  • 0:01 - 0:03
    이번 시간에는
  • 0:03 - 0:10
    √x 의 도함수를 구하여봅시다
  • 0:10 - 0:15
    미분의 기본 정의에 의해
  • 0:15 - 0:22
    √x의 도함수는
  • 0:22 - 0:27
    다음 식으로 표현할 수 있습니다
  • 0:27 - 0:33
    Δx가 0으로 접근하는 극한에 대해
  • 0:33 - 0:36
    참고로 Δx를 d 또는 h 로 표기하기도 합니다만
  • 0:36 - 0:38
    이 영상에서는 Δx를 사용합니다
  • 0:38 - 0:39
  • 0:39 - 0:42
    f(x) = √x 라 합시다
  • 0:42 - 0:43
    이 때
  • 0:43 - 0:47
    f(x+Δx) - f(x) 는
  • 0:47 - 0:55
    √(x+Δx) - √f(x) 입니다.
  • 0:55 - 0:57
    분모에는 Δx 가 들어갑니다
  • 0:57 - 1:00
  • 1:00 - 1:03
    식이 간단해보이지는 않습니다
  • 1:03 - 1:05
    뭔가 식에 변화를 가해봅시다
  • 1:05 - 1:10
    식의 분모와 분자에
  • 1:10 - 1:13
    분자의 켤레수를 곱해줍시다
  • 1:13 - 1:14
    분자의 켤레수를 곱해줍시다
  • 1:14 - 1:14
    분자의 켤레수를 곱해줍시다
  • 1:14 - 1:15
    다시 써봅시다
  • 1:15 - 1:20
    Δx가 0에 접근하는 극한에 대해
  • 1:20 - 1:21
    Δx가 0에 접근하는 극한에 대해
  • 1:21 - 1:27
    √(x+Δx) -√x 를
  • 1:27 - 1:29
    √(x+Δx) -√x 를
  • 1:29 - 1:31
    Δx 로 나누어줍니다
  • 1:31 - 1:34
    여기에 다음을 곱해줍니다
  • 1:34 - 1:42
    √(x+Δx) + √x 를
  • 1:42 - 1:48
    √(x+Δx) + √x 로 나누어 준 식입니다
  • 1:48 - 1:49
    √(x+Δx) + √x 로 나누어 준 식입니다
  • 1:49 - 1:53
    x 와 Δx 가 0이 아니라 할 때
  • 1:53 - 1:57
    이 식의 값은 1입니다
  • 1:57 - 1:59
    그러므로 이 식을 곱해주어도 문제가 없습니다
  • 1:59 - 2:00
    그러므로 이 식을 곱해주어도 문제가 없습니다
  • 2:00 - 2:02
    그러므로 이 식을 곱해주어도 문제가 없습니다
  • 2:02 - 2:11
    다시 위의 식을 써봅시다
  • 2:11 - 2:14
    (a-b) × (a+b) 의 꼴입니다
  • 2:14 - 2:15
    이를 계산해보면
  • 2:15 - 2:21
    (a-b) × (a+b) = a² - b² 입니다
  • 2:21 - 2:23
    (a-b) × (a+b) = a² - b² 입니다
  • 2:23 - 2:27
    이를 주어진 식에 적용해봅시다
  • 2:27 - 2:29
    이를 주어진 식에 적용해봅시다
  • 2:29 - 2:32
    a 항을 √(x + Δx) 라 할 때
  • 2:32 - 2:33
    a 항을 √(x + Δx) 라 할 때
  • 2:33 - 2:35
    a² 은 x + Δx 입니다
  • 2:35 - 2:39
    a² 은 x + Δx 입니다
  • 2:39 - 2:43
    b 는 √x 입니다
  • 2:43 - 2:46
    그러므로 b² 은 x 입니다
  • 2:46 - 2:51
    그러므로 b² 은 x 입니다
  • 2:51 - 2:57
    이 식을 Δx 로 나누어준 다음
  • 2:57 - 3:04
    √(x + Δx) + √x 를 분모에 곱해줍니다
  • 3:04 - 3:06
    이제 식을 간소화합시다
  • 3:06 - 3:09
    x 와 -x 는 상쇄되어 사라집니다
  • 3:09 - 3:11
    x 와 -x 는 상쇄되어 사라집니다
  • 3:11 - 3:13
    분자와 분모에 각각
  • 3:13 - 3:16
    Δx 가 존재합니다
  • 3:16 - 3:22
    이를 약분해줍니다
  • 3:23 - 3:26
    이 식을 정리해봅시다
  • 3:26 - 3:35
    Δx 가 0에 접근하는 극한에 대해
  • 3:35 - 3:38
    분자는 1입니다
  • 3:38 - 3:40
    Δx는 0이 아닌 0에 접근하는 수입니다
  • 3:40 - 3:42
    Δx로 나누는 것이 가능해야 하기 때문입니다
  • 3:42 - 3:45
    분모는
  • 3:45 - 3:52
    √(x + Δx) + √x 입니다
  • 3:52 - 3:54
    이제 극한을 곧바로 적용시킬 수 있습니다
  • 3:54 - 3:54
    이제 극한을 곧바로 적용시킬 수 있습니다
  • 3:54 - 3:56
    Δx는 0에 접근하고 있으므로
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    Δx에 0을 대입해줍니다
  • 3:58 - 4:04
    이를 적용시키면
  • 4:04 - 4:07
    Δx는 0이므로
  • 4:07 - 4:09
    Δx는 0이므로
  • 4:09 - 4:13
    분모는√x + √x입니다
  • 4:13 - 4:16
    분모는√x + √x입니다
  • 4:16 - 4:19
    그러므로 준 식은 1/2√x 입니다
  • 4:19 - 4:25
    이는 (1/2) × x^(-½) 입니다
  • 4:25 - 4:29
    우리는 방금 x½ 의 도함수는
  • 4:29 - 4:35
    (1/2) × x^(-½) 이라는 것을 증명했습니다
  • 4:35 - 4:42
    이는 xⁿ 의 도함수가
  • 4:42 - 4:51
    n × x^(n-1) 이라는 법칙과도 일치합니다
  • 4:51 - 4:56
    n이 1/2 일 때도 이 법칙이 성립한다는 것입니다
  • 4:56 - 4:59
    모든 분수에 대해 이를 증명해보진 않았지만
  • 4:59 - 5:03
    이러한 방식으로 나머지 또한 증명해볼 수 있을 것입니다
  • 5:04 - 5:06
    감사합니다
  • 5:06 - 5:07
Title:
Proof: d/dx(sqrt(x))
Description:
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Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
05:08
Amara Bot edited Korean subtitles for Proof: d/dx(sqrt(x))

Korean subtitles

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