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Blank
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Así que me han pedido que haga la prueba de la derivada de
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la raíz cuadrada de x, y he pensado en hacer un video rápido
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de como se halla la prueba de la derivada de
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la raíz cuadrada de x.
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Conocemos de la definición de una derivada que la
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la derivada de la función raíz cuadrada de x, es igiual a
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---voy a cambiar los colores, para hacerlo más variado-- es igual al
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límite mientras delta x se acerca a 0.
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algunas personas dicen que h se acerca a 0,
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o que d se acerca a 0.
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Yo solo utilizo delta x.
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Asi que el cambio en x sobre 0.
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Y, entonces decimos que f de x más delta x, y en
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este caso esto es f de x.
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Entonces es la ráiz cuadrada de x más delta x menos f de x,
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que en este caso es la raíz cuadrada de x.
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Todo esto sobre el cambio de x, sobre delta x.
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Silencio
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Ahora mismo, cuando miro esto, no veo demasiada simplificación
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puedo hacer algo para que resulte algo con sentido.
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Silencio
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Voy a multiplicar el numerador y el denominador
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por el conjugado del numerador, eso es lo que quiero decir con esto
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Lo que quiero decir es
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Dejenme reescribirlo
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El limit es delta de x tendiendo a 0 ... solo lo estoy reescribiendo
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que tenemos aqui.
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Entonces, dije que la raiz cuadrada de x más el delta de x menos
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la raiz cuadrada de x.
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Todo sobre delta de x.
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Y voy a multiplicar eso (después de cambiar colores)
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por la raíz cuadrada de x más delta x mas la raiz cuadrada
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de x, sobre la raíz cuadrada de x más delta x más
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la raíz cuadrada de x.
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Esto es solo 1, asi que puedo por supuesto multiplicar eso por -- si
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asumimos que x y delta x son diferentes de cero, esto es
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un numero definido y esto será 1.
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Y podemos hacer eso.
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Esto es 1/1, solo estamos multiplicando eso por esta
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ecuación, y obtenemos el límite cuando delta x se aproxima a 0.
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Esto es a menos b por a más b.
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Dejenme hacerlo a un ladito.
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Digamos que a + b por a - b es igual a
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a al cuadrado - b al cuadrado.
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Entonces esto es a más b por a menos b.
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Entonces va a ser igual a a al cuadrado.
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Entonces que es esto al cuadrado, o esto
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cualquiera, son mis aes.
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Es solo x más delta de x
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Asi que obtenemos x + delta x
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y que es b al cuadrado?
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Asumimos que el opuesto de la raiz cuadrada de x es b en esta analogía
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Asi que la raiz cuadrada de x al cuadrado es simplemente x
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y todo eso sobre delta de x por la raiz de x
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mas delta de x mas la raiz de x
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veamos como simplificarlo
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Tenemos una x y luego un menos x, asi que
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Esos se cancelan, x menos x
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y quedamos solo con el numerador y el denomiador
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tenemos delta de x aca y delta de x aca
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asi que dividamos el numerador y el denominador por delta x
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este se vuelve 1, este se vuelve 1
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entonces es igual al limte, lo voy a escribir más pequeño
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porque ya no tengo espacio-- el limite cuando delta x tiende a 0 de 1 sobre
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Esto solo se puede hacer si asumimos que delta--
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bueno, estamos dividiendo entre delta x para empezar, asi que sabemos
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que no es cero, solo se aproxima a cero.
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Tenemos la raiz de x mas delta x mas
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la raiz de x.
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Ahora podemos tomar directamente el limite
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cuando se aproxima a cero
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Hacemos delta x igual a cero
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que es a lo que se aproxima
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y es igual a 1 sobre la raiz cuadrada de x
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Si, delta x es cero, y podemos ignorarlo.
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Podemos tomar el limite hasta cero.
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Y entonces esto es, por supuesto, una raiz cuadrada de x aqui más
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la raiz cuadrada de x y eso es igual a 1 sobre
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2 veces la raiz de x
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y eso es igual a 1/2x elevado a la negativo 1/2
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Acabamos de probar que la derivada de x a la 1/2 potencia
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es 1/2x elevado a la negativo 1/2, y esto es consistente con
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la propiedad general de que la derivada de --no se--
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la derivada de x a la n es igual a n x a la
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n menos 1, incluso cuando n es 1/2.
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Espero que eso sea satisfactorio.
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No lo probé para todoas las fracciones, pero esto es un inicio.
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Esta es una muy comun, la raiz de x, y
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espero, no muy complicada de probar.
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Bueno, los veré en videos futuros.
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Silencio
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