Proof: d/dx(sqrt(x))

Byl jsem požádán, abych udělal důkaz
derivace druhé odmocniny z x.

Tak jsem si řekl, že vytvořím rychlé video
dokazující derivaci druhé odmocniny z x.

Z definice
derivace víme,

že derivace funkce druhá
odmocnina z x je rovna...

jen změním barvy
pro přehlednost

je rovna limitě,
kde se delta x blíží k 0.

Někteří lidé říkají, že h se blíží
k 0 nebo d se blíží k 0.

Já používám delta x.

Tedy změna
x se blíží k 0.

A následně říkáme
f(x) plus delta x.

Toto je naše f(x),

Tedy druhá odmocnina z
x plus delta x minus f(x),

což je v tomto případě
druhá odmocnina z x.

Toto celé lomeno změna x,
tedy delta x.

Když se na to teď podívám,
tak tu toho není moc,

co bych mohl zjednodušit,
abych dostal něco smysluplného.

Já vynásobím tento zlomek,
čitatele i jmenovatele,

výrazem s odmocninou
jako v čitateli.

Myslím toto.

Limita, kde delta x
se blíží k 0,

jen přepíši to,
co už mám zde.

Tedy druhá odmocnina z (x plus delta x)
minus druhá odmocnina z x.

Toto celé
lomeno delta x.

A toto vynásobím...

jen co si změním barvu

...krát druhá odmocnina z (x plus
delta x) plus druhá odmocnina z x.

Lomeno druhá odmocnina z (x plus
delta x) plus druhá odmocnina z x.

Toto je 1, mohu
tímto výrazem tedy násobit.

Předpokládáme, že
hodnoty x a delta x

nejsou obě
zároveň 0.

Tedy, že toto je definovaná
hodnota a toto bude 1.

A můžeme to udělat.

Toto bude 1 lomeno 1,
tím pouze násobíme tento výraz.

Dostáváme limitu,
kde delta x se blíží k 0.

Toto je (a minus b)
krát (a plus b).

Napíši to sem,
trochu bokem.

Víme, že (a plus b)
krát (a minus b) je rovno

druhá mocnina a
minus druhá mocnina b.

Takže toto je
(a plus b) krát (a minus b).

Toto tedy bude
druhá mocnina a.

Takže čemu se rovná mocnina
tohoto nebo tohoto,

oba výrazy
jsou moje a.

To bude prostě
jen x plus delta x.

Co je potom
druhá mocnina b?

Tedy minus, odmocnina z x
je b, v tomto případě,

tedy, druhá mocnina
odmocniny z x je jen x.

A toto celé lomeno
delta x krát

(druhá odmocnina (x plus delta x)
plus druhá odmocnina z x).

Pojďme se podívat,
jak si výraz můžeme zjednodušit.

Zde máme x a minus x,
toto můžeme tedy vyrušit.

Potom tu máme delta x
v čitateli i ve jmenovateli.

Můžeme tedy vydělit
čitatele a jmenovatele delta x.

Tedy dostáváme
zde 1 a zde 1.

Toto je tedy rovno
limitě, kde se delta x blíží k 0

funkce 1 lomeno druhá odmocnina (x plus
delta x) plus druhá odmocnina z x.

Nyní můžeme přímo použít
limitu, která se blíží k 0.

Můžeme říct, že
delta x je rovna 0.

To je to,
k čemu se blíží.

Takže toto je rovno 1
lomeno druhá odmocnina x.

Delta x je 0, toto
tedy můžeme ignorovat.

Můžeme použít
limitu až do 0.

A toto je samozřejmě jen
druhá odmocnina z x.

A to se rovná 1 lomeno
2 krát odmocnina z x.

A to je rovno jedna polovina
x na minus jednu polovinu.

Právě jsme tedy dokázali,
že x na jednu polovinu,

derivace tohoto je jedna polovina
x na minus jednu polovinu.

Je to tedy konzistentní
s obecnou vlastností,

že derivace x na n
je rovna n krát x na (n-1).

I když v tomto případě
bylo n jedna polovina.

Věřím, že takto je
důkaz dostatečný.

Nedokazoval jsem to pro
všechny zlomky, ale toto je začátek.

Toto je častá funkce a věřím, že
relativně snadná na dokázání.

Uvidíme se
u dalších videí.