-
Każą nam odjąć całą tę gmatwaninę.
-
Wygląda groźnie,
ale jeśli się skupimy,
-
bez trudu wszystko
odejmiemy i uprościmy.
-
Tutaj mam 4 razy
pierwiastek 4 stopnia z 81x⁵…
-
a od tego chcę odjąć 2 razy
pierwiastek 4 stopnia z 81x⁵.
-
Można powiedzieć, że mam
4 razy coś… zakreślę to na żółto…
-
Powiedzmy, że mam 4 cytryny…
-
i chcę odjąć dwie.
Dokładnie takie same!
-
Pierwiastek 4 stopnia z 81x⁵.
-
Jeśli mam 4 cytryny
i chcę odjąć od nich dwie,
-
to zostaną mi dwie.
-
Mam 4 razy coś, odejmuję 2 razy to coś,
więc zostaje 2 razy to coś.
-
Te wyrażenia upraszczają się do:
-
2 razy pierwiastek 4 stopnia…
-
z 81 razy x⁵.
-
Dwójkę uzyskałem odejmując
dwie takie same rzeczy
-
od czterech takich samych rzeczy.
-
A od tego wszystkiego
musimy jeszcze odjąć
-
pierwiastek kwadratowy z x³.
-
Z „x” do sześcianu.
-
Teraz spróbuję uprościć to,
co jest pod znakami pierwiastka.
-
Tutaj wyciągniemy
pierwiastek 4 stopnia,
-
a tu arytmetyczny pierwiastek
kwadratowy.
-
Najpierw zobaczmy, czy 81
jest czymś do potęgi 4,
-
lub chociaż wśród dzielników
ma coś do potęgi 4.
-
Rozkładam 81 na czynniki pierwsze.
81 = 3 · 27…
-
27 = 3 · 9,
a 9 = 3 · 3.
-
Zatem 81 to dokładnie
3 razy 3 razy 3 razy 3.
-
81 to 3 podniesione
do potęgi 4.
-
Wygodnie, bo musimy wyciągnąć
pierwiastek 4 stopnia.
-
Zaś x⁵ możemy przedstawić
jako iloczyn…
-
Zapiszę to tu,
aby nie było bałaganu.
-
Wyrażenie pod pierwiastkiem
zapiszę jako 3⁴…
-
razy „x” do potęgi 4…
-
pomnożone przez „x”.
-
Bo x⁴ · x = x⁵.
-
Z tego wyciągam
pierwiastek 4 stopnia.
-
A pierwiastek 4 stopnia
z tego to jest to samo,
-
co pierwiastek 4 stopnia z tego.
-
pierwiastek 4 stopnia z tego.
-
Nie lubię niczego pomijać.
-
Wyciągam pierwiastek 4 stopnia
z tego wszystkiego tutaj…
-
Oczywiście z przodu dwójka.
-
A teraz: x³ można zapisać
jako x² · x.
-
Minus arytmetyczny pierwiastek
kwadratowy z x² · x.
-
Rozbiłem to tak dlatego,
że tu mamy kwadrat.
-
Jak to teraz uprościć?
-
Tak samo jak wcześniej.
-
To jest to samo,
co pierwiastek 4 stopnia z 3⁴
-
razy pierwiastek 4 stopnia z x⁴
razy pierwiastek 4 stopnia z x.
-
Przejdźmy od razu do tego.
-
Ile to jest: pierwiastek 4 stopnia…
-
Moment, napiszę to,
żebyście nie musieli się domyślać.
-
To jest to samo, co…
-
to samo, co pierwiastek 4 stopnia…
z 3 do potęgi 4…
-
razy pierwiastek 4 stopnia z x⁴…
-
razy pierwiastek 4 stopnia z x…
-
…razy pierwiastek 4 stopnia z x…
i to wszystko mnożymy przez 2.
-
I odejmujemy to:
-
pierwiastek kwadratowy z x²
razy pierwiastek kwadratowy z x.
-
Spróbujmy uprościć.
Pierwiastek 4 stopnia z 3⁴…
-
to po prostu 3.
-
Mamy tu więc trójkę.
-
Pierwiastek 4 stopnia
z x⁴ wynosi x.
-
To będzie po prostu…
To będzie…
-
Słusznie się zawahałem.
Uwaga: to nie jest po prostu „x”.
-
Bo jeśli x jest ujemne,
-
to wtedy x⁴ będzie liczbą dodatnią.
-
Wyciągając arytmetyczny
pierwiastek 4 stopnia,
-
musimy wziąć „x” dodatni.
-
A właściwie wartość
bezwzględną „x”.
-
Tutaj więc trzeba napisać…
-
wartość bezwzględna „x”.
-
A teraz…
-
Chociaż można by argumentować,
-
że „x” musi być dodatni,
aby wyrażenie było określone
-
w zbiorze liczb rzeczywistych.
-
Ale na razie niech będzie tak.
-
Mamy jeszcze pierwiastek
4 stopnia z „x”.
-
A tutaj, pierwiastek arytmetyczny
z x², analogicznie,
-
wyniesie |x|. I zostaje
pierwiastek arytmetyczny z „x”.
-
Pomnóżmy wszystko.
-
Mamy 2 razy 3 razy |x|.
-
2 · 3 to 6… pomnożone przez |x|…
-
razy arytmetyczny pierwiastek
4 stopnia z „x”…
-
minus…
-
minus… wartość bezwzględna „x”,
-
razy pierwiastek
arytmetyczny z „x”.
-
Więcej odjąć się nie da,
-
bo to jest pierwiastek 4 stopnia,
a to pierwiastek kwadratowy.
-
Oba arytmetyczne.
-
Gdyby były tego samego stopnia,
uprościlibyśmy to bardziej.
-
Skończyliśmy.
Uprościliśmy, co się dało.
-
Przy założeniu, że to jest określone
w zbiorze liczb rzeczywistych,
-
czyli że dziedziną każdego pierwiastka
-
są liczby dodatnie – w każdym
z tych przypadków…
-
Inaczej mielibyśmy do czynienia
z liczbami urojonymi.
-
Zatem warunkiem jest x ≥ 0.
-
W takim razie
można założyć, że |x| = x.
-
Ograniczając dziedzinę
do liczb rzeczywistych,
-
można pominąć wartość bezwzględną.
