Każą nam odjąć całą tę gmatwaninę.
Wygląda groźnie, ale jeśli się skupimy,
bez trudu wszystko odejmiemy i uprościmy.
Tutaj mam 4 razy pierwiastek 4 stopnia z 81x⁵…
a od tego chcę odjąć 2 razy pierwiastek 4 stopnia z 81x⁵.
Można powiedzieć, że mam 4 razy coś… zakreślę to na żółto…
Powiedzmy, że mam 4 cytryny…
i chcę odjąć dwie. Dokładnie takie same!
Pierwiastek 4 stopnia z 81x⁵.
Jeśli mam 4 cytryny i chcę odjąć od nich dwie,
to zostaną mi dwie.
Mam 4 razy coś, odejmuję 2 razy to coś, więc zostaje 2 razy to coś.
Te wyrażenia upraszczają się do:
2 razy pierwiastek 4 stopnia…
z 81 razy x⁵.
Dwójkę uzyskałem odejmując dwie takie same rzeczy
od czterech takich samych rzeczy.
A od tego wszystkiego musimy jeszcze odjąć
pierwiastek kwadratowy z x³.
Z „x” do sześcianu.
Teraz spróbuję uprościć to, co jest pod znakami pierwiastka.
Tutaj wyciągniemy pierwiastek 4 stopnia,
a tu arytmetyczny pierwiastek kwadratowy.
Najpierw zobaczmy, czy 81 jest czymś do potęgi 4,
lub chociaż wśród dzielników ma coś do potęgi 4.
Rozkładam 81 na czynniki pierwsze. 81 = 3 · 27…
27 = 3 · 9, a 9 = 3 · 3.
Zatem 81 to dokładnie 3 razy 3 razy 3 razy 3.
81 to 3 podniesione do potęgi 4.
Wygodnie, bo musimy wyciągnąć pierwiastek 4 stopnia.
Zaś x⁵ możemy przedstawić jako iloczyn…
Zapiszę to tu, aby nie było bałaganu.
Wyrażenie pod pierwiastkiem zapiszę jako 3⁴…
razy „x” do potęgi 4…
pomnożone przez „x”.
Bo x⁴ · x = x⁵.
Z tego wyciągam pierwiastek 4 stopnia.
A pierwiastek 4 stopnia z tego to jest to samo,
co pierwiastek 4 stopnia z tego.
pierwiastek 4 stopnia z tego.
Nie lubię niczego pomijać.
Wyciągam pierwiastek 4 stopnia z tego wszystkiego tutaj…
Oczywiście z przodu dwójka.
A teraz: x³ można zapisać jako x² · x.
Minus arytmetyczny pierwiastek kwadratowy z x² · x.
Rozbiłem to tak dlatego, że tu mamy kwadrat.
Jak to teraz uprościć?
Tak samo jak wcześniej.
To jest to samo, co pierwiastek 4 stopnia z 3⁴
razy pierwiastek 4 stopnia z x⁴ razy pierwiastek 4 stopnia z x.
Przejdźmy od razu do tego.
Ile to jest: pierwiastek 4 stopnia…
Moment, napiszę to, żebyście nie musieli się domyślać.
To jest to samo, co…
to samo, co pierwiastek 4 stopnia… z 3 do potęgi 4…
razy pierwiastek 4 stopnia z x⁴…
razy pierwiastek 4 stopnia z x…
…razy pierwiastek 4 stopnia z x… i to wszystko mnożymy przez 2.
I odejmujemy to:
pierwiastek kwadratowy z x² razy pierwiastek kwadratowy z x.
Spróbujmy uprościć. Pierwiastek 4 stopnia z 3⁴…
to po prostu 3.
Mamy tu więc trójkę.
Pierwiastek 4 stopnia z x⁴ wynosi x.
To będzie po prostu… To będzie…
Słusznie się zawahałem. Uwaga: to nie jest po prostu „x”.
Bo jeśli x jest ujemne,
to wtedy x⁴ będzie liczbą dodatnią.
Wyciągając arytmetyczny pierwiastek 4 stopnia,
musimy wziąć „x” dodatni.
A właściwie wartość bezwzględną „x”.
Tutaj więc trzeba napisać…
wartość bezwzględna „x”.
A teraz…
Chociaż można by argumentować,
że „x” musi być dodatni, aby wyrażenie było określone
w zbiorze liczb rzeczywistych.
Ale na razie niech będzie tak.
Mamy jeszcze pierwiastek 4 stopnia z „x”.
A tutaj, pierwiastek arytmetyczny z x², analogicznie,
wyniesie |x|. I zostaje pierwiastek arytmetyczny z „x”.
Pomnóżmy wszystko.
Mamy 2 razy 3 razy |x|.
2 · 3 to 6… pomnożone przez |x|…
razy arytmetyczny pierwiastek 4 stopnia z „x”…
minus…
minus… wartość bezwzględna „x”,
razy pierwiastek arytmetyczny z „x”.
Więcej odjąć się nie da,
bo to jest pierwiastek 4 stopnia, a to pierwiastek kwadratowy.
Oba arytmetyczne.
Gdyby były tego samego stopnia, uprościlibyśmy to bardziej.
Skończyliśmy. Uprościliśmy, co się dało.
Przy założeniu, że to jest określone w zbiorze liczb rzeczywistych,
czyli że dziedziną każdego pierwiastka
są liczby dodatnie – w każdym z tych przypadków…
Inaczej mielibyśmy do czynienia z liczbami urojonymi.
Zatem warunkiem jest x ≥ 0.
W takim razie można założyć, że |x| = x.
Ograniczając dziedzinę do liczb rzeczywistych,
można pominąć wartość bezwzględną.