WEBVTT 00:00:00.536 --> 00:00:04.034 Każą nam odjąć całą tę gmatwaninę. 00:00:04.134 --> 00:00:07.226 Wygląda groźnie, ale jeśli się skupimy, 00:00:07.326 --> 00:00:11.087 bez trudu wszystko odejmiemy i uprościmy. 00:00:11.484 --> 00:00:16.656 Tutaj mam 4 razy pierwiastek 4 stopnia z 81x⁵… 00:00:16.950 --> 00:00:22.642 a od tego chcę odjąć 2 razy pierwiastek 4 stopnia z 81x⁵. 00:00:22.742 --> 00:00:28.241 Można powiedzieć, że mam 4 razy coś… zakreślę to na żółto… 00:00:28.513 --> 00:00:31.911 Powiedzmy, że mam 4 cytryny… 00:00:32.011 --> 00:00:35.318 i chcę odjąć dwie. Dokładnie takie same! 00:00:35.700 --> 00:00:39.628 Pierwiastek 4 stopnia z 81x⁵. 00:00:39.728 --> 00:00:43.691 Jeśli mam 4 cytryny i chcę odjąć od nich dwie, 00:00:43.872 --> 00:00:45.795 to zostaną mi dwie. 00:00:46.045 --> 00:00:52.191 Mam 4 razy coś, odejmuję 2 razy to coś, więc zostaje 2 razy to coś. 00:00:52.335 --> 00:00:54.508 Te wyrażenia upraszczają się do: 00:00:54.608 --> 00:00:58.106 2 razy pierwiastek 4 stopnia… 00:00:58.206 --> 00:01:00.263 z 81 razy x⁵. 00:01:00.364 --> 00:01:04.145 Dwójkę uzyskałem odejmując dwie takie same rzeczy 00:01:04.245 --> 00:01:06.829 od czterech takich samych rzeczy. 00:01:07.193 --> 00:01:11.301 A od tego wszystkiego musimy jeszcze odjąć 00:01:11.401 --> 00:01:14.123 pierwiastek kwadratowy z x³. 00:01:14.223 --> 00:01:15.932 Z „x” do sześcianu. 00:01:16.032 --> 00:01:21.104 Teraz spróbuję uprościć to, co jest pod znakami pierwiastka. 00:01:21.204 --> 00:01:24.121 Tutaj wyciągniemy pierwiastek 4 stopnia, 00:01:24.221 --> 00:01:28.859 a tu arytmetyczny pierwiastek kwadratowy. 00:01:29.135 --> 00:01:33.839 Najpierw zobaczmy, czy 81 jest czymś do potęgi 4, 00:01:33.939 --> 00:01:37.592 lub chociaż wśród dzielników ma coś do potęgi 4. 00:01:37.770 --> 00:01:41.154 Rozkładam 81 na czynniki pierwsze. 81 = 3 · 27… 00:01:41.548 --> 00:01:45.793 27 = 3 · 9, a 9 = 3 · 3. 00:01:45.893 --> 00:01:49.205 Zatem 81 to dokładnie 3 razy 3 razy 3 razy 3. 00:01:49.570 --> 00:01:52.494 81 to 3 podniesione do potęgi 4. 00:01:52.594 --> 00:01:55.826 Wygodnie, bo musimy wyciągnąć pierwiastek 4 stopnia. 00:01:56.205 --> 00:01:59.074 Zaś x⁵ możemy przedstawić jako iloczyn… 00:01:59.174 --> 00:02:01.456 Zapiszę to tu, aby nie było bałaganu. 00:02:01.556 --> 00:02:05.206 Wyrażenie pod pierwiastkiem zapiszę jako 3⁴… 00:02:05.343 --> 00:02:09.077 razy „x” do potęgi 4… 00:02:09.529 --> 00:02:10.896 pomnożone przez „x”. 00:02:11.141 --> 00:02:13.666 Bo x⁴ · x = x⁵. 00:02:13.766 --> 00:02:16.061 Z tego wyciągam pierwiastek 4 stopnia. 00:02:16.161 --> 00:02:18.969 A pierwiastek 4 stopnia z tego to jest to samo, 00:02:19.069 --> 00:02:21.097 co pierwiastek 4 stopnia z tego. 00:02:21.635 --> 00:02:23.457 pierwiastek 4 stopnia z tego. 00:02:23.557 --> 00:02:25.527 Nie lubię niczego pomijać. 00:02:25.681 --> 00:02:30.498 Wyciągam pierwiastek 4 stopnia z tego wszystkiego tutaj… 00:02:30.656 --> 00:02:32.481 Oczywiście z przodu dwójka. 00:02:32.743 --> 00:02:36.412 A teraz: x³ można zapisać jako x² · x. 00:02:36.512 --> 00:02:41.382 Minus arytmetyczny pierwiastek kwadratowy z x² · x. 00:02:41.482 --> 00:02:45.187 Rozbiłem to tak dlatego, że tu mamy kwadrat. 00:02:45.647 --> 00:02:48.655 Jak to teraz uprościć? 00:02:48.755 --> 00:02:50.469 Tak samo jak wcześniej. 00:02:50.569 --> 00:02:53.366 To jest to samo, co pierwiastek 4 stopnia z 3⁴ 00:02:53.466 --> 00:02:58.142 razy pierwiastek 4 stopnia z x⁴ razy pierwiastek 4 stopnia z x. 00:02:58.242 --> 00:02:59.861 Przejdźmy od razu do tego. 00:02:59.961 --> 00:03:02.613 Ile to jest: pierwiastek 4 stopnia… 00:03:02.713 --> 00:03:06.077 Moment, napiszę to, żebyście nie musieli się domyślać. 00:03:06.177 --> 00:03:07.888 To jest to samo, co… 00:03:08.328 --> 00:03:12.313 to samo, co pierwiastek 4 stopnia… z 3 do potęgi 4… 00:03:12.632 --> 00:03:15.837 razy pierwiastek 4 stopnia z x⁴… 00:03:16.080 --> 00:03:19.367 razy pierwiastek 4 stopnia z x… 00:03:19.541 --> 00:03:24.257 …razy pierwiastek 4 stopnia z x… i to wszystko mnożymy przez 2. 00:03:24.420 --> 00:03:26.406 I odejmujemy to: 00:03:26.506 --> 00:03:31.744 pierwiastek kwadratowy z x² razy pierwiastek kwadratowy z x. 00:03:32.144 --> 00:03:36.036 Spróbujmy uprościć. Pierwiastek 4 stopnia z 3⁴… 00:03:36.482 --> 00:03:37.971 to po prostu 3. 00:03:38.131 --> 00:03:39.830 Mamy tu więc trójkę. 00:03:39.995 --> 00:03:44.406 Pierwiastek 4 stopnia z x⁴ wynosi x. 00:03:44.780 --> 00:03:47.853 To będzie po prostu… To będzie… 00:03:48.583 --> 00:03:52.370 Słusznie się zawahałem. Uwaga: to nie jest po prostu „x”. 00:03:52.470 --> 00:03:54.202 Bo jeśli x jest ujemne, 00:03:54.302 --> 00:03:57.830 to wtedy x⁴ będzie liczbą dodatnią. 00:03:57.930 --> 00:04:00.726 Wyciągając arytmetyczny pierwiastek 4 stopnia, 00:04:00.826 --> 00:04:03.057 musimy wziąć „x” dodatni. 00:04:03.157 --> 00:04:05.972 A właściwie wartość bezwzględną „x”. 00:04:06.226 --> 00:04:07.872 Tutaj więc trzeba napisać… 00:04:07.972 --> 00:04:12.104 wartość bezwzględna „x”. 00:04:12.204 --> 00:04:13.288 A teraz… 00:04:13.427 --> 00:04:15.933 Chociaż można by argumentować, 00:04:16.033 --> 00:04:20.229 że „x” musi być dodatni, aby wyrażenie było określone 00:04:20.329 --> 00:04:23.156 w zbiorze liczb rzeczywistych. 00:04:23.256 --> 00:04:25.224 Ale na razie niech będzie tak. 00:04:25.608 --> 00:04:28.633 Mamy jeszcze pierwiastek 4 stopnia z „x”. 00:04:28.733 --> 00:04:32.933 A tutaj, pierwiastek arytmetyczny z x², analogicznie, 00:04:33.215 --> 00:04:38.344 wyniesie |x|. I zostaje pierwiastek arytmetyczny z „x”. 00:04:38.444 --> 00:04:39.929 Pomnóżmy wszystko. 00:04:40.029 --> 00:04:44.186 Mamy 2 razy 3 razy |x|. 00:04:44.475 --> 00:04:48.553 2 · 3 to 6… pomnożone przez |x|… 00:04:48.954 --> 00:04:54.526 razy arytmetyczny pierwiastek 4 stopnia z „x”… 00:04:54.896 --> 00:04:56.244 minus… 00:04:56.344 --> 00:04:59.165 minus… wartość bezwzględna „x”, 00:04:59.463 --> 00:05:02.178 razy pierwiastek arytmetyczny z „x”. 00:05:02.423 --> 00:05:04.491 Więcej odjąć się nie da, 00:05:04.591 --> 00:05:08.989 bo to jest pierwiastek 4 stopnia, a to pierwiastek kwadratowy. 00:05:09.089 --> 00:05:10.422 Oba arytmetyczne. 00:05:10.679 --> 00:05:14.449 Gdyby były tego samego stopnia, uprościlibyśmy to bardziej. 00:05:14.882 --> 00:05:17.772 Skończyliśmy. Uprościliśmy, co się dało. 00:05:18.090 --> 00:05:22.130 Przy założeniu, że to jest określone w zbiorze liczb rzeczywistych, 00:05:22.230 --> 00:05:25.542 czyli że dziedziną każdego pierwiastka 00:05:25.642 --> 00:05:28.751 są liczby dodatnie – w każdym z tych przypadków… 00:05:28.851 --> 00:05:31.982 Inaczej mielibyśmy do czynienia z liczbami urojonymi. 00:05:32.082 --> 00:05:36.376 Zatem warunkiem jest x ≥ 0. 00:05:36.476 --> 00:05:38.945 W takim razie można założyć, że |x| = x. 00:05:39.045 --> 00:05:42.030 Ograniczając dziedzinę do liczb rzeczywistych, 00:05:42.130 --> 00:05:44.191 można pominąć wartość bezwzględną.