-
Геометрията до голяма степен
-
се занимава с това да доказва
различни неща за света.
-
И за да можем наистина да докажем тези неща,
-
трябва да бъдем много внимателни,
много конкретни,
-
много точни с нашия език,
-
за да знаем какво доказваме,
-
какво предполагаме
-
и какви изводи правим,
-
докато доказваме различни неща.
-
И така, за да натрупаме малко опит
в използване на по-конкретен
-
и точен език,
-
ще минем през няколко примера
-
от Упражненията за Геометрични дефиниции
-
в Кан Академия.
-
В първото се казва следното:
"Трима ученици се опитват"
-
"да напишат определение за това
какво означава прави l и m"
-
"да са перпендикулярни".
-
"Можеш ли да свържеш коментарите на учителя
със съответните определения?"
-
Добре.
Изглежда, че трима различни ученици
-
се опитват да дефинират какво означава
две прави да са перпендикулярни
-
и освен това имаме коментари от учител,
-
които можем да местим.
-
Така че ще се преструваме, че сме учителят.
-
Дефиницията на Руби за перпендикулярност:
-
"l и m", прави l и m, "са перпендикулярни,"
-
"ако никога няма да се пресекат".
-
Е, това не е вярно.
-
Всъщност перпендикулярните прави
със сигурност ще се пресекат.
-
Те се пресичат под прав ъгъл.
-
Така че това определение
-
не е вярно.
-
Това тук изглежда правилно.
-
"Успоредни прави ли имаше предвид?"
-
Изглежда това се е опитвала да дефинира.
-
Ако две прави са в една и съща равнина
и никога не се пресичат,
-
то тези прави са успоредни прави.
-
Ето го и определението на Шрия.
-
"l и m са перпеникулярни,
ако се пресичат в една точка"
-
"и един от ъглите при пресечната им точка е прав."
-
Е, това изглежда съвсем вярно.
-
Да видим.
-
Бих казал "Уау! Добра работа!"
-
"Не бих могъл да го кажа по-добре."
-
Сега, нека само се уверим, че този коментар
-
се отнася до тази дефиниция.
-
Абишек твърди, че:
"l и m са перпендикулярни,"
-
"ако се пресичат в една точка,"
-
"така че да образуват буквата 'Т'."
-
Хм, това е донякъде вярно, на интуитивно ниво.
-
Когато си представяме перпендикулярни прави,
-
можем да си ги представим как оформят
-
кръст и, предполагам,
-
буквата "Т" е част от този кръст.
-
Но мисля, че коментарът е съвсем точен.
-
Учителският коментар гласи:
"Определението ти е донякъде правилно,"
-
"но му липсва математическа точност."
-
Какво всъщност има предвид ученикът под "Т"?
-
Какво означава "образувам Т"?
-
Определението на Шрия е много по-точно.
-
Те са перпендикулярни,
"ако се пресичат в една точка"
-
"и един от ъглите при пресечната им точка"
-
"е прав", тоест е ъгъл от 90 градуса.
-
Нека проверим как сме отговорили.
-
Да опитаме още няколко упражнения.
-
Много е забавно.
-
Отново имаме трима ученици,
-
които се опитват да дефинират
-
"геометричния обект ъгъл".
-
"Можеш ли да свържеш коментарите на учителя
с определенията?"
-
Я, това са същите трима ученици.
-
Руби казва: "Количеството завъртания
между две прави,"
-
"които имат общ връх."
-
Е, има нещо общо с вярното определение.
-
Когато определяме ъгъл,
обикновено говорим за
-
два лъча с общ връх.
-
Тя говори за две прави с общ връх.
-
И споменава за количеството завъртания.
-
Така че по-скоро има предвид
-
мярката на ъгъла.
-
Да видим кой коментар ще е подходящ.
-
Ето: "Май по-скоро имаш предвид"
-
"мярката на един ъгъл,"
-
"не самото определение за ъгъл."
-
Това е вярно,
-
така че ще сложа това тук.
-
Имахме късмет.
-
Коментарът вече си беше на правилното място.
-
Продължаваме с определението на Шрия:
"Две прави, които се събират."
-
И това не е съвсем точно...
-
Определението за ъгъл е два лъча с общ връх.
-
А "две линии, които се събират"
-
това са просто пресичащи се прави.
-
При пресичащите прави могат да се оформят ъгли,
-
но в този случай бих казал:
"Пресичащи се прави
-
ли имаше предвид?"
-
А сега да видим какво казва Абишек.
-
"Фигура, съставена от два лъча с общ край."
-
"Общият край се нарича връх."
-
Да, това е едно добро определение за ъгъл.
-
Този път Абишек се е справил със задачата.
-
Хайде да опитаме още веднъж.
-
"Трима ученици се опитват
да напишат определение за това"
-
"какво означава две прави да са успоредни."
-
Хайде да напаснем коментарите на учителя
към определенията.
-
Даниела казва:
"Две прави са успоредни,"
-
"ако са отделни една от друга
и могат да бъдат преместени"
-
"една върху друга."
-
Добре.
-
Доста интересно.
-
Не би ми хрумнало да дефинирам
-
по този начин успоредни прави.
-
Аз бих казал
"Ако две прави са в една и съща равнина"
-
"и не се пресичат, то те са успоредни"
-
Но това е добро определение,
-
защото когато преместваме нещо,
-
няма да го завъртим,
-
няма да му сменим посоката,
-
например.
-
И така,
-
имаме
-
две отделни прави,
-
но можем да ги разместим, без да им променим посоката,
-
а именно това означава транслация
или преместване,
-
една върху друга, то това изглежда вярно.
-
Така че ще сложа този коментар тук.
-
И така, Ори казва:
"Две прави са успоредни,"
-
"ако са близо една до друга,
но не се пресичат."
-
Но когато се опитваме да дефинираме
успоредни прави,
-
няма да има значение
-
дали са близко една до друга или не.
-
Те просто трябва да бъдат
-
в една и съща равнина без да се пресичат.
-
Могат да са много далеч една от друга
и пак да са успоредни.
-
Така че това твърдение не е грешно.
-
Две прави, разположени близко една до друга,
-
които не се пресичат в същата равнина,
-
са успоредни прави.
-
Но определението не е добро,
-
тъй като съществуват и успоредни прави,
-
отдалечени една от друга.
-
Така че бих избрал този коментар:
-
"Част от определението ти е вярна,"
-
"но другата не е."
-
"Не е задължително за успоредните прави
да са близо една до друга"
-
Така че това не е добро определение
за успоредни прави.
-
Да продължим с Каори:
"Две прави са успоредни,"
-
"винаги когато не са перпендикулярни"
-
Това не е вярно,
-
защото можем да имаме
-
две прави, които се пресичат
-
в ъгли, които не са прави,
и тези прави няма да са успоредни,
-
но няма и да са перпендикулярни.
-
Така че тук ще сложим:
"За съжаление определението ти е грешно."
-
Много е забавно
-
да се преструвам на учител.
-
Хайде да направим още едно.
-
Добре.
-
И така, "Трима ученици се опитват да определят"
-
"какво е отсечка."
-
И имаме изображение на отсечка точно тук.
-
Има точки P и Q и отсечката
-
представлява всички точки между P И Q.
-
Хайде да свържем коментарите на учителя
-
със съответните определения.
-
Определението на Айви: "Всички точки,"
-
"част от права с точки P и Q,
продължаващи безкрайно"
-
"и в двете посоки."
-
Това би могло да бъде определението за права.
-
Правата P, Q.
-
Ако я продължим до безкрай
-
и в двете посоки.
-
Така че тук бих сложил
"Дали не мислиш за права,"
-
"вместо за отсечка?"
-
Дефиницията на Итън:
"Точното разстояние от P до Q."
-
Но това е само...
-
дължината на отсечката.
-
Отсечката не е точно това.
-
Я да видим и определението на Ибука.
-
"Точките P и Q, които се наричат крайни точки,"
-
"и всичките точки в права линия"
-
"между точки P и Q."
-
Да, това е едно хубаво определение
-
за отсечка.
-
Хайде да проверим
-
нашия отговор.
-
Справяме се отлично.
-
Да решим още една такава задача.
-
Просто много ми харесва да се правя на учител.
-
Добре. "Трима ученици се опитват да дефинират"
-
"какво е окръжност."
-
Да определим какво е окръжност.
-
"Можеш ли да свържеш коментарите на учителя
със съответните определения?"
-
Дуру: "Множеството от всички точки в равнина,"
-
"които са на равно разстояние
от дадена определна точка,"
-
"която ние наричаме център."
-
Това изглежда като една добра дефиниция
на окръжност.
-
Така че тук бих сложил:
"Изумително! Браво."
-
Дефиницията на Оливър.
-
"Множество от всички точки
в триизмерно пространство,"
-
"които са на едно и също разстояние
от централната точка."
-
Ако говорим за триизмерно пространство
-
и множество от всички точки
на едно и също разстояние
-
от тази точка в триизмерното пространство,
-
значи имаме предвид сфера, а не окръжност.
-
Така че: "Изглежда си объркал"
-
"окръжност със сфера."
-
И така, последното определение:
"Идеално кръгла форма."
-
Е, донякъде е вярно.
-
Но в триизмерно пространство
-
това определение би било валидно и за сфера.
-
А ако отидем отвъд триизмерното пространство,
-
може да се отнася и за хиперсфера и т.н.
-
Така че в двуизмерно пространство
повечето хора биха нарекли
-
идеално кръгла форма окръжност.
-
Но това определение не е особено конкретно.
-
Не ни дава много информация
-
от математическа гледна точка.
-
Така че ето какво казва учителят:
-
"Твоята дефиниция трябва да бъде
много по-конкретна."
-
Дефиницията на Дуру е много по-конкретна.
-
Множество от всички точки в равнина,
-
които са на равни разстояния
-
от определена точка, която наричаме център.
-
Така че, да, Карлос би могъл
да бъде малко по-конкретен.
-
И сме готови.