Geometric precision practice

Геометрията до голяма степен

се занимава с това да доказва
различни неща за света.

И за да можем наистина да докажем тези неща,

трябва да бъдем много внимателни,
много конкретни,

много точни с нашия език,

за да знаем какво доказваме,

какво предполагаме

и какви изводи правим,

докато доказваме различни неща.

И така, за да натрупаме малко опит
в използване на по-конкретен

и точен език,

ще минем през няколко примера

от Упражненията за Геометрични дефиниции

в Кан Академия.

В първото се казва следното:
"Трима ученици се опитват"

"да напишат определение за това
какво означава прави l и m"

"да са перпендикулярни".

"Можеш ли да свържеш коментарите на учителя
със съответните определения?"

Добре.
Изглежда, че трима различни ученици

се опитват да дефинират какво означава
две прави да са перпендикулярни

и освен това имаме коментари от учител,

които можем да местим.

Така че ще се преструваме, че сме учителят.

Дефиницията на Руби за перпендикулярност:

"l и m", прави l и m, "са перпендикулярни,"

"ако никога няма да се пресекат".

Е, това не е вярно.

Всъщност перпендикулярните прави
със сигурност ще се пресекат.

Те се пресичат под прав ъгъл.

Така че това определение

не е вярно.

Това тук изглежда правилно.

"Успоредни прави ли имаше предвид?"

Изглежда това се е опитвала да дефинира.

Ако две прави са в една и съща равнина
и никога не се пресичат,

то тези прави са успоредни прави.

Ето го и определението на Шрия.

"l и m са перпеникулярни,
ако се пресичат в една точка"

"и един от ъглите при пресечната им точка е прав."

Е, това изглежда съвсем вярно.

Да видим.

Бих казал "Уау! Добра работа!"

"Не бих могъл да го кажа по-добре."

Сега, нека само се уверим, че този коментар

се отнася до тази дефиниция.

Абишек твърди, че:
"l и m са перпендикулярни,"

"ако се пресичат в една точка,"

"така че да образуват буквата 'Т'."

Хм, това е донякъде вярно, на интуитивно ниво.

Когато си представяме перпендикулярни прави,

можем да си ги представим как оформят

кръст и, предполагам,

буквата "Т" е част от този кръст.

Но мисля, че коментарът е съвсем точен.

Учителският коментар гласи:
"Определението ти е донякъде правилно,"

"но му липсва математическа точност."

Какво всъщност има предвид ученикът под "Т"?

Какво означава "образувам Т"?

Определението на Шрия е много по-точно.

Те са перпендикулярни,
"ако се пресичат в една точка"

"и един от ъглите при пресечната им точка"

"е прав", тоест е ъгъл от 90 градуса.

Нека проверим как сме отговорили.

Да опитаме още няколко упражнения.

Много е забавно.

Отново имаме трима ученици,

които се опитват да дефинират

"геометричния обект ъгъл".

"Можеш ли да свържеш коментарите на учителя
с определенията?"

Я, това са същите трима ученици.

Руби казва: "Количеството завъртания
между две прави,"

"които имат общ връх."

Е, има нещо общо с вярното определение.

Когато определяме ъгъл,
обикновено говорим за

два лъча с общ връх.

Тя говори за две прави с общ връх.

И споменава за количеството завъртания.

Така че по-скоро има предвид

мярката на ъгъла.

Да видим кой коментар ще е подходящ.

Ето: "Май по-скоро имаш предвид"

"мярката на един ъгъл,"

"не самото определение за ъгъл."

Това е вярно,

така че ще сложа това тук.

Имахме късмет.

Коментарът вече си беше на правилното място.

Продължаваме с определението на Шрия:
"Две прави, които се събират."

И това не е съвсем точно...

Определението за ъгъл е два лъча с общ връх.

А "две линии, които се събират"

това са просто пресичащи се прави.

При пресичащите прави могат да се оформят ъгли,

но в този случай бих казал:
"Пресичащи се прави

ли имаше предвид?"

А сега да видим какво казва Абишек.

"Фигура, съставена от два лъча с общ край."

"Общият край се нарича връх."

Да, това е едно добро определение за ъгъл.

Този път Абишек се е справил със задачата.

Хайде да опитаме още веднъж.

"Трима ученици се опитват
да напишат определение за това"

"какво означава две прави да са успоредни."

Хайде да напаснем коментарите на учителя
към определенията.

Даниела казва:
"Две прави са успоредни,"

"ако са отделни една от друга
и могат да бъдат преместени"

"една върху друга."

Добре.

Доста интересно.

Не би ми хрумнало да дефинирам

по този начин успоредни прави.

Аз бих казал
"Ако две прави са в една и съща равнина"

"и не се пресичат, то те са успоредни"

Но това е добро определение,

защото когато преместваме нещо,

няма да го завъртим,

няма да му сменим посоката,

например.

И така,

имаме

две отделни прави,

но можем да ги разместим, без да им променим посоката,

а именно това означава транслация
или преместване,

една върху друга, то това изглежда вярно.

Така че ще сложа този коментар тук.

И така, Ори казва:
"Две прави са успоредни,"

"ако са близо една до друга,
но не се пресичат."

Но когато се опитваме да дефинираме
успоредни прави,

няма да има значение

дали са близко една до друга или не.

Те просто трябва да бъдат

в една и съща равнина без да се пресичат.

Могат да са много далеч една от друга
и пак да са успоредни.

Така че това твърдение не е грешно.

Две прави, разположени близко една до друга,

които не се пресичат в същата равнина,

са успоредни прави.

Но определението не е добро,

тъй като съществуват и успоредни прави,

отдалечени една от друга.

Така че бих избрал този коментар:

"Част от определението ти е вярна,"

"но другата не е."

"Не е задължително за успоредните прави
да са близо една до друга"

Така че това не е добро определение
за успоредни прави.

Да продължим с Каори:
"Две прави са успоредни,"

"винаги когато не са перпендикулярни"

Това не е вярно,

защото можем да имаме

две прави, които се пресичат

в ъгли, които не са прави,
и тези прави няма да са успоредни,

но няма и да са перпендикулярни.

Така че тук ще сложим:
"За съжаление определението ти е грешно."

Много е забавно

да се преструвам на учител.

Хайде да направим още едно.

Добре.

И така, "Трима ученици се опитват да определят"

"какво е отсечка."

И имаме изображение на отсечка точно тук.

Има точки P и Q и отсечката

представлява всички точки между P И Q.

Хайде да свържем коментарите на учителя

със съответните определения.

Определението на Айви: "Всички точки,"

"част от права с точки P и Q,
продължаващи безкрайно"

"и в двете посоки."

Това би могло да бъде определението за права.

Правата P, Q.

Ако я продължим до безкрай

и в двете посоки.

Така че тук бих сложил
"Дали не мислиш за права,"

"вместо за отсечка?"

Дефиницията на Итън:
"Точното разстояние от P до Q."

Но това е само...

дължината на отсечката.

Отсечката не е точно това.

Я да видим и определението на Ибука.

"Точките P и Q, които се наричат крайни точки,"

"и всичките точки в права линия"

"между точки P и Q."

Да, това е едно хубаво определение

за отсечка.

Хайде да проверим

нашия отговор.

Справяме се отлично.

Да решим още една такава задача.

Просто много ми харесва да се правя на учител.

Добре. "Трима ученици се опитват да дефинират"

"какво е окръжност."

Да определим какво е окръжност.

"Можеш ли да свържеш коментарите на учителя
със съответните определения?"

Дуру: "Множеството от всички точки в равнина,"

"които са на равно разстояние
от дадена определна точка,"

"която ние наричаме център."

Това изглежда като една добра дефиниция
на окръжност.

Така че тук бих сложил:
"Изумително! Браво."

Дефиницията на Оливър.

"Множество от всички точки
в триизмерно пространство,"

"които са на едно и също разстояние
от централната точка."

Ако говорим за триизмерно пространство

и множество от всички точки
на едно и също разстояние

от тази точка в триизмерното пространство,

значи имаме предвид сфера, а не окръжност.

Така че: "Изглежда си объркал"

"окръжност със сфера."

И така, последното определение:
"Идеално кръгла форма."

Е, донякъде е вярно.

Но в триизмерно пространство

това определение би било валидно и за сфера.

А ако отидем отвъд триизмерното пространство,

може да се отнася и за хиперсфера и т.н.

Така че в двуизмерно пространство
повечето хора биха нарекли

идеално кръгла форма окръжност.

Но това определение не е особено конкретно.

Не ни дава много информация

от математическа гледна точка.

Така че ето какво казва учителят:

"Твоята дефиниция трябва да бъде
много по-конкретна."

Дефиницията на Дуру е много по-конкретна.

Множество от всички точки в равнина,

които са на равни разстояния

от определена точка, която наричаме център.

Така че, да, Карлос би могъл
да бъде малко по-конкретен.

И сме готови.