Odwracanie macierzy (część 3)

Wykorzystanie metody eliminacji Gaussa do odwracania macierzy 3 na 3

Pokażę wam moją ulubioną metodę

odwracania macierzy 3 na 3.

I myślę, że jest dużo fajniejsza.

I macie mniej możliwości do robienia błędów rachunkowych.

Ale jeżeli dobrze pamiętam, to na Algebrze 2

nie uczyli tego.

I dlatego właśnie uczyłem was tego najpierw innej metody.

No to jedźmy z tym.

A w następnym filmie nauczę was dlaczego to działa.

Ponieważ to jest zawsze ważne.

Ale w algebrze liniowej, to jest jedna z niewielu dziedzin, gdzie

myślę, że bardzo istotne jest żeby nauczyć się jak wykonywać operacje

najpierw. A potem, nauczymy się dlaczego.

Ponieważ "jak" jest bardzo mechaniczne.

I tak naprawdę opiera się w większości

na prostej arytmetyce.

Ale "dlaczego" wydaje się być całkiem głębokie.

Zostawiam to więc do pokazania w późniejszych filmach.

Możecie często myśleć o głębi, jeżeli

macie pewność, że przynajmniej rozumiecie "jak".

W każdym razie wróćmy do naszej pierwotnej macierzy.

Jaka była ta oryginalna macierz, którą

odwracałem w poprzednim filmie?

To było1, 0, 1, 0, 2, 1, 1, 1, 1.

I chieliśmy znaleźć odwrotność tej macierzy.

A więc tym się teraz zajmiemy.

Nazywa się to metoda eliminacji Gaussa-Jordana,

ten sposób znajdowania odwrotności.

A sposób w jaki to robimy -- i to może wydawać się trochę magiczne,

może wyglądać trochę jak voodoo, ale myślę, że

zobaczycie w następnych filmach, że jest w tym dużo sensu.

To co robimy, to rozszerzamy tę macierz.

Na czym polega to rozszerzanie?

Oznacza to, że coś do niej dopisujemy.

A więc rysuję linię oddzielającą.

Niektórzy tego nie robią.

A więc stawiam tutaj linię oddzielającą.

A co stawiam po drugiej stronie linii?

Wstawiam macierz jednostkową tego samego wymiaru.

To jest macierz 3 na 3, więc wstawiam macierz jednostkową 3 na 3.

Czyli 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1.

W porządku, a więc co mamy teraz zrobić?

Zamierzam przeprowadzić serię operacji elementarnych

na wierszach.

I zamierzam wam wytłumaczyć co to są dozwolone

operacje na wierszach tej macierzy.

Ale cokolwiek zrobię z tymi wierszami tutaj, muszę

zrobić to samo z odpowiednimi wierszami tutaj.

I moim celem jest zasadniczo przeprowadzenie kilku operacji

na tej lewej stronie.

I oczywiście te same operacje będą zastosowane do

prawej strony, tak żebyśmy dostali

macierz jednostkową po lewej stronie.

A kiedy będę miał macierz jednostkową po lewej,

to co zostanie po prawej stronie, będzie

odwrotnością pierwotnej macierzy.

A kiedy to stanie się macierzą jednostkową,

to w zasadzie nazywa się macierzą schodkową zredukowaną.

Powiem trochę więcej o tym.

Jest wiele nazw i oznaczeń w algebrze liniowej.

Ale to są na prawdę raczej proste pojęcia.

W każdym razie, zaczynajmy i wszystko

powinno się wyjaśnić.

Przynajmniej procedura stanie ję jaśniejsza.

Może nie to dlaczego działa.

Przede wszystkim powiedziałem, że przeprowadzę kilka

operacji tutaj.

Jakie są dozwolone operacje?

Nazywają się operacje elementarne na wierszach.

Jest kilka rzeczy, które mogę zrobić.

Moge zamienić dowolny wiersz, tym samym wierszem

pomnożonym przez jakąś liczbę.

Mogę to zrobić.

Mogę zamienić dwa dowolne wiersze.

No i oczywiście jeżeli zamieniam, powiedzmy, pierwszy i drugi wiersz,

muszę zrobić to samo tutaj.

Mogę dodać albo odjąć jeden wiersz od drugiego.

Czyli kiedy to robię -- czyli na przykład, mogę wziąć ten wiersz

i zastąpić go tym wierszem dodanym do tego wiersza.

I za chwilę zobaczycie co mam na myśli.

No i wiecie, łącząc te operacje, możecie powiedzieć,

cóż, pomnożę ten wiersz przez minus 1, a potem

dodam go do tego wiersza i zastąpię go tym.

Jeżeli zaczynacie mieć poczucie, że to ma coś wspólnego

z tym czego uczyliście się przy rozwiązywaniu układów równań liniowych,

to nie jest zbieg okolicznosci.

Ponieważ macierze są właśnie bardzo dobrym sposobem reprezentowania

tego i pokażę wam to niedługo.

W każdym razie, zróbmy kilka operacji elementarnych na wierszach

żeby sprowadzić tę lewą część do postaci schodkowej zredukowanej.

Co jest tak naprawdę wymyślnym sposobem powiedzenia, przekształćmy ją

w macierz jednostkową.

Zobaczmy co chcemy zrobić.

Chcemy mieć jedynku tutaj na przekątnej.

Tu chcemy mieć zera.

Zobaczmy jak możemy to zrobić efektywnie.

Pozwólcie, że narysuję macierz jeszcze raz.

Zróbmy, żeby tu było zero.

Tak będzie wygodnie.

A więc nie zmieniam dwóch górnych wierszy.

1, 0, 1.

Mam moja linię podziału.

1, 0, 0.

Nic tu nie zmieniłem.

Nic nie zmieniam w drugim wierszu.

0, 2, 1.

0, 1, 0.

A teraz zastąpię ten wiersz --

żebyście wiedzieli jaka jest moja motywacja, moim celem

jest otrzymanie 0 tutaj.

Będę wtedy trochę bliżej otrzymania

tutaj macierzy jednostkowej.

A więc co zrobić, żeby dostać 0 tutaj?

To co moge zrobić to mogę zastąpić ten wiersz różnicą tego wiersza

i tego wiersza.

Czyli mogę zastąpić trzeci wiersz wynikiem odejmowania

trzeci wiersz minus pierwszy wiersz.

A więc co dostaniemy odejmując od trzeciego wiersza pierwszy wiersz?

1 odjąć 1 daje 0.

1 odjąć 0 daje 1.

1 odjąć 1 daje 0.

Zrobiłem to po lewej stronie, teraz to samo muszę zrobić

po prawej stronie.

Muszę zamienić to różnicą tego i tego.

Czyli 0 odjąć 1 daje minus 1.

0 odjąć 0 daje 0.

A 1 odjąć 0 daje 1.

W porządku.

Co teraz mogę zrobić?

Ten wiersz tutaj, ten ostatni ma 0 i 0 --

to wygląda zupełnie jak to co chcę mieć w drugim wierszu

macierzy jednostkowej.

Dlaczego więc nie zamienic po prostu tych dwóch wierszy?

Dlaczego nie zamienić drugiego i trzeciego wiersza?

Zróbmy to.

Zamienię drugi i trzeci wiersz.

Czyli pierwszy zostaje bez zmian.

1, 0, 1.

Po drugiej stronie też zostaje bez zmian.

I zamieniam drugi i trzeci wiersz.

A więc mój nowy drugi wiersz to 0, 1, 0.

I muszę zamienić je też po prawej stronie.

Czyli mam minus 1, 0, 1.

Po prostu zamieniam te dwa.

Czyli mój trzeci wiersz staje się tym

czym drugi był tutaj.

0, 2, 1.

Oraz 0, 1, 0.

W porządku.

Co teraz chcę zrobić dalej?

Byłoby miło, gdybym miał 0 tutaj.

To by mnie przybliżyło do otrzymania macierzy jednostkowej.

Jak mogę otrzymać 0 tutaj?

A gdybym odjął 2 razy drugi wiersz od pierwszego?

Bo to by było 1 razy 2 czyli 2.

I gdybym odjął to od tego, dostałbym zero tutaj.

A więc zróbmy to.

A więc pierszy wiersz był bardzo szczęśliwy.

Nie musiał nic robić.

Po prosu siedzi tam.

1, 0, 1, 1, 0, 0.

Drugi wiersz się nie zmienia teraz.

Minus 1, 0, 1.

Co mówiłem, że zrobię?

Odejmę 2 razy wiersz drugi od wiersza trzeciego.

Czyli to jest 0 odjąć 2 razy 0 daje 0.

2 odjąć 2 razy 1, daje 0.

1 odjąć 2 razy 0 daje 1.

0 odjąć 2 razy minus 1 daje -- pamiętajmy 0

odjąć 2 razy minus 1.

Czyli 0 odjąć minus 2, czyli plus 2.

1 odjąć 2 razy 0.

To nadal jest 1.

0 odjąć 2 razy 1.

To jest minus 2.

Dobrze to zrobiłem?

Chcę się upewnić.

0 odjąć 2 razy -- w porządku, 2 razy minus 1 daje minus 2.

A ja to odejmuję, czyli to jest z plusem.

OK, jestem blisko.

To wygląda prawie jak macierz jednostkowa, albo

macierz schodkowa zredukowana.

Z wyjątkiem tej jedynki tutaj.

Czyli ostatecznie muszę ruszyć górny wiersz.

Co mogę zrobić?

Co powiecie na zamianę górnego wiersza różnicą

górnego i dolnego?

Bo jak odejmę to od tego,

to dostane 0 tutaj.

A więc zróbmy to.

Zastępuję górny wiersz, różnicą

górnego i trzeciego wiersza.

Czyli 1 odjąć 0 daje 1.

0 odjąć 0 daje 0.

1 odjąć 1 daje 0.

To był nasz cel.

A potem 1 odjąć 2 daje minus 1.

0 odjąć 1 daje minus 1.

0 odjąć minus 2, to jest plus 2.

A pozostałe wiersze zostają bez zmian.

0, 1, 0, minus 1, 0, 1.

A potem 0, 0, 1, 2, 1, minus 2.

No i gotowe.

Przeprowadziliśmy serię operaji

na lewej stronie.

I przeprowadziliśmy te same operacje

na prawej stronie.

Tutaj otrzymaliśmy macierz jednostkową,

albo macierz schodkową zredukowaną.

Zrobiliśmy to metodą eliminacji Gaussa-Jordana.

A co to jest?

To jest odwrotność oryginalnej macierzy.

Tym razem to będzie równe macierzy jednostkowej.

Czyli jeżeli to jest A, to wtedy to jest odwrotność A.

I to jest wszystko co musicie zrobić.

I jak widzicie, to zajęło mi połowę czasu,

jaki potrzebowałem i wymagało mniej zagmatwanej matematyki,

niż wtedy, kiedy używałem macierzy dołączonej, dopełnień algebraicznych

i wyznacznika.

I kiedy myślicie o tym, dam wam małą wskazówkę

dlaczego to działało.

Każda z tych operacji, którą robiłem na lewej stronie,

można o nich myśleć jako o mnozeniu - no wiecie,

żeby dojść stąd do tąd, mnożyłem.

Możecie sobie wyobrazić, że istnieje macierz,

przez którą mnożąc, wykonałbym

tę operację.

I wtedy musiałbym pomnożyć przez inną macierz,

żeby wykonac tę operację.

A więc w zasadzie, to co zrobililśmy, to pomnożylismy przez serię

macierzy, żeby dojść tutaj.

I jeżeli pomnożyliście te wszystkie, tak zwane

macierze eliminacji razem, to właśnie

pomnożyliście to przez odwrotność.

Co więc próbuję powiedzieć?

Czyli jeżeli mamy A, to żeby przejść stąd do tąd, musimy

pomnożyć A przez macierz eliminacji.

Ale to może być dla was zupełnie niezrozumiałe, a więc ignorujcie to

jeżeli tak jest, ale może być oświecające.

A więc co wyeliminowaliśmy tutaj?

Wyeliminowaliśmy 3, 1.

Pomnożyliśmy przez macierz eliminacji

3, 1, żeby dojść tutaj.

A potem, żeby przejść stąd tutaj,

pomnożyliśmy przez pewną macierz

Powiem więcej.

Pokażę wam jak można skonstruować

te macierze eliminacji.

Mnożymy przez macierz eliminacji.

A właściwie mieliśmy zamianę wierszy tutaj.

Nie wiem jak chcecie to nazwać.

Możecie to nazwać macierzą zamiany.

Zamieniliśmy wiersz drugi z trzecim.

A potem, tuaj pomnożyliśmy przez macierz eliminacji

-- co zrobiliśmy?

Wyeliminowaliśmy to, czyli ten wiersz trzeci,

kolulmna druga, 3, 2.

I wreszcie na koniec, żeby dostać się tutaj musieliśmy pomnożyć

przez macierz eliminacji.

Musieliśmy wyeliminować to tutaj.

Czyli wyeliminowalismy wiersz nr 1, kolumna 3.

I chcę żebyście wiedzieli teraz, że to nie jest ważne

jakie są te macierze.

Pokażę wam jak możemy skonstruować te macierze.

Ale chcę żebyście uwierzyli, że

każda z tych operacji, mogła być wykonana

za pomocą mnożenia przez pewną macierz.

Ale to co wiemy, to że mnożenie przez wszystkie

te macierze daje w wyniku macierz jednostkową.

Spowrotem tutaj.

Czyli złożenie wszystkich tym macierzy, kiedy

mnożycie je przez siebie, to musi

być macierz jednostkowa.

Gdybym pomnożył wszystkie te macierze eliminacji i zamiany wierszy,

to dostałbym macierz odwrotną do A.

Ponieważ kiedy pomnożycie je wszystkie

przez A, dostaniecie macierz jednostkową.

Czyli co się stało?

Jeżeli te wszyskie macierze razem stanowią

macierz odwrotną, jeżeli pomnożę je, jeżeli pomnnożę macierz jednostkową

przez nie -- macierze eliminacji. Ta razy ta

daje to.

Ta razy ta równa się temu.

To razy to równa się temu.

I tak dalej.

Zasadniczo mnożę -- kiedy złożycie

je wszystkie -- odwrotność razy macierz jednostkowa.

A więc jeżeli myślicie o tym w szerszym kontekście --

i nie chcę wam namieszać.

Wystarczy, jeżeli w tym momencie

rozumiecie po prostu co zrobiłem.

Ale to co robię w tych wszystkich krokach, to zasadniczo

mnożę obie strony tej rozszerzonej macierzy,

morzecie tak powiedzieć, przez odwrotność.

Czyli pomnożyłem to przez odwrotność, żeby dostać

macierz jednostkową.

Ale oczywiście, jeżeli pomnożyłem macierz odwrotną przez

macierz jednostkową, dostałem macierz odwrotną.

W każdym razie, nie chcę wam namieszać.

Mam nadzieję, że przekazałem wam trochę intuicji.

Zrobię to później na bardziej konkretnych przykładach.

Ale mam nadzieję, że widzicie, że to jest dużo mniej zagmatwane,

niż metoda, w której używaliśmy macierzy dołączonej, dopełnień algebraicznych,

macierzy minorów, wyznacznika i tak dalej.

W każdym razie, do zobaczenia w następnym filmie.