Proof - Opposite Sides of Parallelogram Congruent

Bu videoda basit paralelkenar bağlantılı ispatlar yapacağız.

-

Bunların ilkinde şöyle diyeceğiz,

"Hey, bu ABCD bir paralelkenar ise, karşılıklı kenarların aynı uzunlukta olduğunu ispatlayalım."

-

Yani, AB'nin DC'ye, ve AD'nin BC'ye eşit olduğunu ispatlayınız.

Buraya bir köşegen çizelim.

Buraya bir köşegen çiziyorum ve bu köşegen iki paralel doğru çiftini kesiyor, yani bunu bir kesen olarak da görebilirsiniz.

-

-

-

Bunu biraz daha düzgün çizebilirim.

-

-

-

Bu DB köşegenini AB ve DC paralel doğrularının keseni olarak düşünebiiriz.

-

Bunu bu şekilde düşünürseniz, ABD açısına eş bir açı bulabilirsiniz.

-

ABD açısı, şuradaki açı, BDC açısına eştir, çünkü bunlar iç ters açılar.

-

Bir kesenimiz var, paralel doğrular var.

ABD açısının BDC açısına eş olduğunu biliyoruz.

-

Bu DB köşegenini de şu diğer iki paralel doğrunun keseni olarak görebiliriz, AD ve BC.

-

-

Ve böyle baktığınızda hemen DBC açısının ADB açısına eş olduğunu görürsünüz. Bunun nedeni deminkiyle aynıdır, bir kesenin iki paralel doğruyla oluşturduğu iç ters açılar.

-

-

-

Bunu şöyle yazabiliriz.

Bir kesenin iki paralel doğruyla oluşturduğu iç ters açılar eştir ve bu iki üçgenin, ADB ve CDB üçgeninin, bir ortak kenarı vardır.

-

-

-

Bu kenar da kendine eşittir.

Şimdi, bunun faydası nedir

Bu iki üçgenin de şu pembe açısı, sonra bu ortak kenarı ve de bu yeşil açısının bulunduğunu farketmiş olabilirsiniz.

-

-

-

Yani, açı-kenar-açıya göre bu üçgenlerin eş olduğunu göstermiş olduk.

-

Şimdi bunu yazayım.

Bu eşliğin nedeni, açı-kenar-açı eşliğidir.

-

-

Açı-kenar-açı eşliği

Peki, bu bize ne sağlar

Eğer iki üçgen eş ise, tüm karşılıklı öğeleri de eştir.

-

Özellikle, DC kenarı BA kenarına karşı gelir --

Bu alt üçgendeki DC kenarı üst üçgendeki BA'ya denk gelir.

-

Yani, bunlar eş olmak zorunda.

-

Buna göre, DC'nin BA'ya eşit olduğunu buluruz, bunun nedeni eş üçgenlerin karşılıklı kenarları olmalarıdır.

-

Bu, buna eşit olacak, aynı mantıkla da AD, CB'nin karşılığıdır.

-

AD eşittir CB ve bunun nedeni aynıdır:

Eş üçgenlerin karşılıklı kenarları.

Ve ispatı bitirdik!

Karşılıklı kenarların birbirine eş olduğunu ispatladık.

Şimdi aksi yönde hareket edelim.

Dörtgenimizin karşılıklı kenarlarının eş olduğunu biliyorsak, bu dörtgenin paralelkenar olduğunu ispatlayabilir miyiz?

-

-

İspat neredeyse aynıdır, ama tam ters yöndedir.

Şimdi, buraya bir köşegen çizelim, çünkü üçgenler hakkında bir sürü bilgimiz var.

-

Şöyle çizeyim.

-

-

-

-

Şimdi, CB'nin kendisine eşit olduğunu biliyoruz.

Böyle çiziyorum.

-

Şimdi burada ilginç bir şey var.

Bu dörtgeni iki üçgene ayırdık: ACB üçgeni ve DBC üçgeni.

-

Dikkat ederseniz, bu iki üçgenin tüm karşılıklı kenarları birbirine eşit.

-

Kenar-kenar-kenara göre bu üçgenlerin eş olduğunu biliyoruz.

Köşeleri A'dan başlayarak yazıyorum, ACB, DBC üçgenine eştir.

-

Nedeni de kenar-kenar-kenar eşliği.

Bunun bize faydası nedir?

Karşılıklı açıların eş olduğunu söyler

-

Örneğin ABC açısı DCB açısına eştir ve yöndeş açıların eş olması nedeniyle, üçgenlerin eşliği sonucuna varabiliriz.

-

-

-

Zamandan kazanmak için kısaltmalar kullanıyorum.

ABC, DCB'ye eş olacak

Bu iki açı eş olacak.

Bu ilginç, çünkü burada AB ve CD'yi kesen uzun bir doğru var. Ve bu açıların iç ters açılar olabileceğini görüyoruz. İç ters açılar eştir.

-

-

-

Ve bu iç ters açıların eşliği nedeniyle, AB'nin CD'ye paralel olması gerektiğini biliyoruz.

-

Yani, bu şuna paralel olmalı.

Buna göre, iç ters açılar nedeniyle AB'nin CD'ye paralel olması gerektiğini biliyoruz.

-

Şimdi, yine aynı mantığı kullanabiliriz.

ACB açısı DBC açısına eştir.

Ve bunu, eş üçgenlerin karşılıklı açıları nedeniyle biliyoruz.

-

Şimdi, bu açının şu açıya eşit olduğunu biliyoruz.

Bunlar yine iç ters açılar olabilir.

Bu, kesen, bu da iki doğru. Bunların paralel olduğundan emin değiliz.

-

Ama iç ters açıları eş olduğu için, doğruların paralel olduğu sonucuna varabiliriz.

-

Yani, bu, şuna paraleldir.

AC'nin BD'ye paralel olduğunu iç ters açılar sayesinde biliyoruz, ve ispatı bitiriyoruz!

-

Burada ilginç ispatlar yaptık.

Eğer bir paralelkenarımız varsa, karşılıklı kenarların uzunluklarının aynı olduğunu gösterdik.

-

Ve eğer karşılıklı kenarların uzunlukları aynıysa, dörtgenimiz paralelkenardır.

-

Bunu iki yönde de ispatlamış olduk.

Böylece bunu ancak ve ancak önermesine dönüştürebiliriz.

-

Şöyle diyebilirsiniz,

"Bir dörtgenin karşılıklı kenarları ancak ve ancak birbirine eşitse, paraleldir."

-

Ancak ve ancağın anlamı şudur:

Paralelse, kenarları eşittir dersiniz.

Ve uzunlukları eşitse, paraleldir sonucuna varırsınız.

Biz iki yönde de ispatladık.