Integração de uma versão em escala da função

RKA4JL - E aí, pessoal!
Tudo bem?

Nesta aula nós vamos ver o que acontece
com a integral de uma função

quando a multiplicamos
por algum escalar.

Para isso, vamos começar olhando
de novo para esse gráfico.

Provavelmente você já deve
estar cansado de saber

que essa aqui é a área entre essa
curva e a parte de cima do eixo x

entre x igual a “a”
e x igual a “b”.

Nós podemos representar essa área
por essa integral aqui, ou seja,

a integral de “a” até “b”
de f(x) dx.

Isso nós já vimos bastante
em aulas passadas, não é?

Mas o que acontece com a área dessa função
se a multiplicarmos por uma constante “c”?

Ou seja, digamos que agora
y seja igual a “c” vezes f(x)

e isso significa que agora
f(x) está escalonada,

ou seja, nós estamos
multiplicando por um escalar.

Por exemplo, vamos dizer
que esse “c” seja 3.

Com isso, a versão escalonada
dessa função vai ser três vezes maior.

Assim, esse pedaço vai
ser três vezes maior,

então um, dois e três aqui.

Em vez dessa distância, nós vamos
ter mais uma e mais outra aqui

e em vez disso, agora
vamos ter algo aqui,

e aqui um, dois e três, bem aqui.

Assim, a curva escalonada vai
ser algo mais ou menos assim.

E claro, eu estou
considerando “c” igual a 3

somente para você ter uma
noção do que acontece.

Então, completando a curva,
vai ser algo mais ou menos assim.

Agora, qual vai ser a área entre
essa nova curva e o eixo x?

Ou seja, essa área aqui?

Nós já sabemos como denotar isso.

Sabemos que a área dessa curva é a integral de
“a” até “b” dessa função, que é c vezes f(x) dx.

E qual é a relação dessa
integral com essa aqui?

Ou seja, qual é a relação
dessa área com essa área?

Uma forma de pensar nisso é que nós
deslocamos a área em "c" unidades na vertical.

Para entender isso, nós podemos
pensar na área de um retângulo.

Vamos dizer que eu tenha aqui um retângulo
com as dimensões α e β [alfa e beta]

(eu não vou colocar “a” e “b”
porque nós já temos ali na integral).

Para descobrir a área desse retângulo,
nós multiplicamos a base pela altura,

ou seja, α vezes β.

Agora, o que acontece se multiplicarmos
essa altura por “c” unidades?

O que vai acontecer com a área?

O nosso retângulo agora
tem uma altura maior,

isso porque nós multiplicamos
α por uma constante “c”,

o que fez com que sua altura aumentasse,
mas a base se mantivesse constante.

Qual vai ser a área
desse novo retângulo?

Simples. Nós pegamos a base e multiplicamos
pela altura: “c” vezes α vezes β,

ou seja, se aumentarmos uma das
dimensões do retângulo em “c” unidades,

então a sua área vai ser ampliada,
vai ser aumentada, em “c” unidades.

É o que está acontecendo aqui.

Nós aumentamos a altura
da curva em “c” unidades

e com isso a área foi
aumentada em “c” unidades.

Lembre-se da soma de Riemann: f(x)
nos dava a altura de todos esses retângulos,

e agora nós estamos
escalonando a função.

Não necessariamente aumentando,
porque “c” pode ser um número negativo

e isso faz com que a área seja
escalonada por uma constante “c”.

Então essa área
pode ser representada

pela integral de “a” até “b”
de “c” vezes f(x) dx,

que é a mesma coisa que “c” vezes
a integral de “a” até “b” de f(x) dx.

Ou seja, essa integral está
escalonada em “c” unidades.

Pode ser que, inicialmente,
você tenha até pensado:

"Espere aí, se aqui eu tenho uma constante
multiplicando uma função f(x),

eu posso jogá-la para a frente da
integral, ficando com isso, não é?”

Sim, mas de novo, aqui eu só
quero dar uma ideia intuitiva

do porquê disso aqui ser verdade.

Ainda não estou fazendo
nenhuma prova rigorosa,

eu só quero que você tenha em mente
que isso acontece por causa disso aqui.

Ou seja, se você aumentar a altura
dessa curva em “c” unidades,

essa área vai ser aumentada
também em “c” unidades.

Como nós representamos
essa área pela integral,

isso é a mesma coisa
que escrever assim,

o que vai lhe ajudar bastante
na hora de calcular integrais.

Eu espero que essa aula tenha
ajudado vocês e até a próxima, pessoal!