Разбираемся в иррациональных числах — Ганеш Пай

Смотреть урок полностью: http://ed.ted.com/lessons/making-sense-of-irrational-numbers-ganesh-pai

Как и многих героев греческих мифов, философа Гиппаса, по слухам, наказали боги. В чём же было его преступление? Он убивал гостей? Или нарушил священный ритуал? Нет. Он был виновен в математическом доказательстве прежде недоказуемого. Ганеш Пай описывает историю и математику иррациональных чисел.

Урок Ганеша Пая, анимация Антона Трофимова.

Как и многих героев греческих мифов,

философа Гиппаса по слухам наказали боги.

В чём же было его преступление?

Он убивал гостей?

Или нарушил священный ритуал?

Нет. Он был виновен
в математическом доказательстве —

открытии иррациональных чисел.

Гиппас принадлежал группе
«Пифагорейских математиков»,

которая относилась к числам
с религиозным благоговением.

Их изречение «Всё есть число» означало,

что из чисел состоит Вселенная,

а также что всё, начиная
от космологии и метафизики

и заканчивая музыкой и моралью,
следует нерушимым правилам,

которые можно описать
соотношениями чисел.

Любое число можно записать
в виде отношения.

5 как 5/1,

0,5 как 1/2

и так далее.

Даже эту бесконечно длинную
десятичную дробь

можно выразить как 34/45.

Такие числа мы называем рациональными.

Однако Гиппас нашёл число,
которое нарушало это стройное правило.

Этого числа не должно было существовать.

Проблема началась
с простой фигуры — квадрата,

стóроны которого были равны единице.

Согласно теореме Пифагора,

его диагональ будет равняться
квадратному корню из двух.

Но как бы Гиппас ни пытался,

он не смог выразить это число
отношением двух целых чисел.

Но он не сдался,

а решил доказать,
что этого сделать нельзя.

Гиппас начал с предположения,
что взгляды пифагорейцев были верны,

и корень из 2 может быть выражен
как отношение двух целых чисел.

Эти гипотетически целые числа
он обозначил как p и q.

Допустим, что это несократимая дробь,

тогда p и q не будут иметь
общего делителя.

Иррациональность корня из двух
Гиппас должен был доказать тем,

что p/q не может существовать.

Поэтому он умножил
обе части уравнения на q,

а затем возвёл их в квадрат.

И получил такое уравнение.

Умножение любого числа на 2
даёт чётное число,

поэтому p^2 должно быть чётным.

Это несправедливо для нечётного p,

потому что умножение
нечётного числа на само себя

даёт нечётное число,

поэтому p было чётным.

Таким образом, p можно выразить как 2a,

где a — целое число.

Подставив его в уравнение и упростив,

мы получаем q^2 = 2a^2

Повторим ещё раз: любое число,
умноженное на 2, будет чётным.

А значит, q^2 должно быть чётным,

как и само q.

Получается, что оба числа p и q
являются чётными.

Но тогда они должны иметь
общий делитель 2,

что противоречит
начальному утверждению.

Именно так Гиппас сделал вывод о том,
что такого отношения не существует.

Это называется
доказательством «от противного»,

и, согласно легенде,

богам не понравилось такое противоречие.

Несмотря на то, что иррациональные числа
невозможно выразить отношением целых,

их можно изобразить на числовой прямой.

Возьмём корень из двух.

Нам нужно нарисовать
прямоугольный треугольник,

катеты которого равны единице.

Его гипотенуза будет равна корню из двух,

и её можно отложить на числовой прямой.

Затем нарисуем ещё один
прямоугольный треугольник,

больший катет которого равен
гипотенузе первого, а меньший — единице.

Его гипотенуза будет равна корню из трёх,

который можно также отложить на прямой.

Суть в том, что выражать числа можно
только десятичными дробями и отношением.

А корень из двух — это гипотенуза
прямоугольного треугольника

с катетами, равными единице.

Так и знаменитое иррациональное число «Пи»

всегда равно тому, что оно представляет, —

соотношению длины окружности
к её диаметру.

Приблизительные значения вроде 22/7

или 355/113

никогда не будут точно равны числу «Пи».

Мы никогда не узна́ем,
что произошло с Гиппасом,

но мы точно знаем, что его открытие
произвело революцию в математике.

Поэтому, что бы ни рассказывали мифы,
не бойтесь исследовать невозможное.