Καταλαβαίνοντας τους άρρητους αριθμούς - Γκανές Πάι

Όπως και πολλοί ήρωες ελληνικών μύθων, ο φιλόσοφος Ίππασος φημολογείται ότι τιμωρήθηκε σε θάνατο από τους θεούς. Αλλά ποιο ήταν το έγκλημά του; Μήπως δολοφόνησε επισκέπτες ή διατάραξε κάποια ιερή τελετουργία; Όχι, το αδίκημα του Ίππασου ήταν η μαθηματική απόδειξη του μέχρι τότε αναπόδεικτου. Ο Γκανές Πάι περιγράφει την ιστορία και τα μαθηματικά πίσω από τους άρρητους αριθμούς.

Μάθημα από τον Γκανές Πάι, ψηφιακή απεικόνιση από τον Άντον Τροφίμοβ.

Όπως πολλοί ήρωες Ελληνικών μύθων

ο φιλόσοφος Ίππασος φημολογείται
ότι τιμωρήθηκε με θάνατο από τους θεούς.

Ποιο όμως ήταν το έγκλημά του;

Μήπως δολοφόνησε επισκέπτες,

ή διατάραξε κάποια ιερή τελετουργία;

Όχι, το αδίκημα του Ίππασου
ήταν μια μαθηματική απόδειξη,

η ανακάλυψη των άρρητων αριθμών.

Ο Ίππασος ανήκε στην ονομαζόμενη
ομάδα των Πυθαγορείων,

οι οποίοι είχαν θρησκευτική ευλάβεια
για τους αριθμούς.

Το ρητό τους, «Όλα είναι αριθμός»,

υποδήλωνε ότι οι αριθμοί
είναι τα δομικά στοιχεία του Σύμπαντος

και μέρος αυτής της πεποίθησης ήταν ότι
όλα, από την κοσμολογία και τη μεταφυσική

μέχρι τη μουσική και την ηθική,
ακολουθούσαν αιώνιους κανόνες

που μπορούσαν να περιγραφούν
ως λόγοι αριθμών.

Άρα, κάθε αριθμός θα μπορούσε
να γραφεί σαν ένας τέτοιος λόγος.

Το 5 ως 5/1,

το 0,5 ως 1/2

και ούτω καθεξής.

Ακόμη κι ένας δεκαδικός
με άπειρα δεκαδικά ψηφία όπως αυτός

θα μπορούσε να εκφραστεί ακριβώς ως 34/45.

Πρόκειται για όλα εκείνα
που ονομάζουμε ρητούς αριθμούς.

Όμως ο Ίππασος βρήκε έναν αριθμό
που παραβίαζε αυτό τον αρμονικό κανόνα,

κάποιον που δεν έπρεπε να υπάρχει.

Το πρόβλημα άρχισε με ένα απλό σχήμα,

ένα τετράγωνο με πλευρά
μήκους μίας μονάδας.

Σύμφωνα με το Πυθαγόρειο Θεώρημα,

το μήκος της διαγωνίου
θα ήταν η τετραγωνική ρίζα του δύο,

αλλά παρά την προσπάθειά του,
ο Ίππασος δεν μπορούσε

να το εκφράσει ως λόγο δύο ακεραίων.

Αντί να τα παρατήσει,
αποφάσισε να αποδείξει

ότι αυτό δεν μπορούσε να γίνει.

Ο Ίππασος ξεκίνησε θεωρώντας
ότι η άποψη των Πυθαγορείων

για τον κόσμο ήταν αληθινή,

ότι η ρίζα 2 μπορούσε να εκφραστεί
ως λόγος δύο ακεραίων.

Ονόμασε αυτούς τους
υποτιθέμενους ακεραίους p και q.

Θεωρώντας ότι ο λόγος είχε αναχθεί
στην απλούστερη μορφή του,

τα p και q δεν θα μπορούσαν
να έχουν κανένα κοινό παράγοντα.

Για να αποδείξει ότι η ρίζα 2
δεν ήταν ρητός,

ο Ίππασος απλώς έπρεπε να αποδείξει
ότι ο p/q δεν μπορούσε να υπάρχει.

Έτσι πολλαπλασίασε και τους δύο όρους
της εξίσωσης με το q

και ύψωσε και τους δύο στο τετράγωνο.

ώστε να προκύψει αυτή η εξίσωση.

Πολλαπλασιάζοντας ένα αριθμό με το 2
το αποτέλεσμα είναι άρτιος αριθμός,

επομένως το p^2 έπρεπε να είναι άρτιος.

Αυτό δεν θα συνέβαινε
αν το p ήταν περιττός

διότι ένας περιττός επί τον εαυτό του
είναι πάντα περιττός,

επομένως το p ήταν επίσης άρτιος.

Άρα, το p θα μπορούσε να εκφραστεί ως 2a,
όπου a είναι ένας ακέραιος.

Αντικαθιστώντας αυτό στην εξίσωση
και απλοποιώντας

προκύπτει q^2 = 2a^2

Και πάλι, δύο επί οποιονδήποτε αριθμό
παράγει έναν άρτιο αριθμό,

έτσι το q^2 θα έπρεπε να είναι άρτιος,

και το q θα έπρεπε να είναι επίσης άρτιος,

κάνοντας και το p και το q άρτιους.

Αν, όμως, συνέβαινε αυτό,
τότε αυτοί θα είχαν κοινό παράγοντα το 2,

το οποίο ήταν αντίθετο
με την αρχική υπόθεση,

και έτσι ο Ίππασος συμπέρανε ότι
δεν υπάρχει κανένας τέτοιος λόγος.

Αυτό λέγεται απόδειξη
με απαγωγή σε άτοπο,

και σύμφωνα με τον μύθο,

στους θεούς δεν άρεσαν απόψεις
αντίθετες με τις δικές τους.

Είναι ενδιαφέρον ότι,
ακόμη κι αν δεν μπορούμε να εκφράσουμε

τους άρρητους αριθμούς ως λόγους ακεραίων,

είναι πιθανό να σχεδιάσουμε κάποιους
από αυτούς με ακρίβεια στην αριθμογραμμή.

Έστω η ρίζα 2.

Αυτό που πρέπει να κάνουμε είναι
να σχηματίσουμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο

με δύο κάθετες πλευρές
μήκους μίας μονάδας.

Το μήκος της υποτείνουσας είναι ρίζα 2,
που μπορεί να εκταθεί στη γραμμή.

Έπειτα, μπορούμε να σχηματίσουμε
ένα άλλο ορθογώνιο τρίγωνο

με βάση αυτό το μήκος και ύψος μία μονάδα,

και η υποτείνουσά του
θα ήταν ίση με ρίζα 3,

που μπορεί επίσης να εκταθεί στη γραμμή.

Το κλειδί εδώ είναι ότι οι δεκαδικοί
και οι λόγοι είναι μόνο

τρόποι έκφρασης αριθμών.

Η ρίζα 2 είναι απλά η υποτείνουσα
ενός ορθογωνίου τριγώνου

με πλευρές μήκους ένα.

Παρόμοια ο φημισμένος άρρητος αριθμός π

είναι πάντα ακριβώς ίσος
με αυτό που παριστάνει,

το λόγο δηλαδή του μήκους ενός κύκλου
προς τη διάμετρό του.

Προσεγγίσεις όπως 22/7,

ή 355/113 δεν θα είναι ποτέ
ακριβώς ίσες με το π.

Δε θα μάθουμε ποτέ
τι πραγματικά συνέβη στον Ίππασο,

αυτό όμως που ξέρουμε είναι
ότι η ανακάλυψή του

ήταν επανάσταση στα μαθηματικά.

Έτσι, ανεξάρτητα από ό,τι λένε οι μύθοι,
να μη φοβάσαι να διερευνάς το αδύνατο.