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On a vu auparavant que la définition du déterminant d'une
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matrice 2x2
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est : ad moins bc.
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Après ça, on a trouver un
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déterminant pour une matrice 3x3,
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ici, où on a principalement
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dit que le déterminant est égale à chaque de ces termes -- on
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pourrait peut-être les appeler des termes coefficients -- fois
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le déterminant de la sous-matrice obtenu
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en se débarrassant de la colonne et de la rangée
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dans lequel ce trouve ce terme coefficient.
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Alors, quand on ce débarrasse de cette colonne et cette rangée, on se trouve avec
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cette matrice-ci..
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Alors, on a dit que ce le premier coefficient fois le déterminant de cette sous-matrice,
-
-- il faut changer de signe -- moins le deuxième terme coefficient fois
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le déterminant de la sous matrice obtenu en se débarrassant de sa colonne et de sa rangée
-
Alors, il reste ces termes-ci de qui
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se compose ce déterminant.
-
Finalement, on change de signe,
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Alors on a: plus le troisième terme coefficient fois le déterminant
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qu'on obtient si on élimine sa rangée et sa colonne.
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Alors cette sous-matrice-ci.
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Alors on va maintenant voir si on peut trouver
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la définition d'un déterminant pour un matrice générale de nxn.
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Premièrement, je vais écrire ici une matrice nxn.
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Je va l'écrire en bleu.
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Alors disons qu'on a une matrice A qui est une
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matrice nxn -- je l'écris ici --
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Ceci va être a11, ceci a12, jusqu'à
-
-- puisqu'on a n colonnes, a1n.
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Et juste en bas, on a la deuxième rangée:
-
a21, jusqu'à an1, puisqu'on
-
a aussi n rangée.
-
Et si on va en diagonale jusqu'au bout,
-
ceci va être ann.
-
Alors, ceci est ma matrice nxn.
-
Maintenant, avant que je vous donne la définition de son déterminant
-
laisse moi vous montrer une autre définition.
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Ceci est ma matrice A, laisse-moi définir
-
une sous-matrice Aij égale à -- vous voyez que ceci est
-
nxn, oui? --
-
alors ceci va être une sous-matrice (n moins 1) x (n moins 1)
-
Alors si ceci est 7x7, la sous-matrice va être 6x6
-
une de moins dans chaque direction.
-
Alors, ceci va être la matrice (n moins 1) x (n moins 1)
-
que vous avez si vous ignorer ou vous vous débarrasser de --
-
c'est peut-être mieux de dire débarrasser
-
Disons ignorer, j'aime le mot ignorer --
-
Si vous ignorer le i-ième rangée, ceci est la rangée,
-
le i-ième rangée et le j-ième colonne de A.
-
Alors, par example, retournons à notre matrice 3x3
-
On peut définir son déterminant par la définition que je vous ai montrer
-
On aurait pu appeler ceci a11
-
ce terme-ci.
-
On aurait put appeler la sous-matrice obtenu en se débarrassant de la première
-
colonne et la première rangée
-
on va appeler
-
ceci 'grande matrice A11'
-
Alors, ceci est 'grand matrice A11'
-
Et ceci est 'grande matrice A21' -- non, on avait appeler cette matrice C
-
alors ceci va être C11.
-
Ceci va être C12.
-
Pourquoi?
-
Parce que, si on se débarrasse de la première rangée -- laisse moi
-
m'en débarrasser --
-
Ceci est le premier terme de votre rangée
-
Si on se débarrasse de la première rangée et de la deuxième colonne
-
ceci est la matrice qu'il nous reste: 2, 3, 4, 1
-
Alors ces termes-ci et ces termes-ci.
-
2, 3, 4, 1.
-
Alors ceci est la sous-matrice c parce que ceci est la grande matrice
-
C, mais celle-ci est C12.
-
Je sais que ceci est un peu difficile à lire.
-
Alors voilà ce que c'est la sous-matrice.
-
C'est comme on a fait avec la matrice 3x3.
-
Principalement, vous vous débarrasser -- si vous voulez
-
trouver la sous-matrice de ce terme, on va l'appeler a11, il faut juste
-
barrer la première rangée et la première
-
colonne, et tout qui reste,
-
est la sous-matrice.
-
Maintenant que la sous-matrice est définie, on peut créer une définition --
-
il va peut-être avoir l'air un peu circulaire, puisque
-
c'est un peu circulaire --
-
On va définir le déterminant de A comme être égale
-
à -- ceci est intéressant,
-
c'est une définition récursive.
-
On va parler de ça bientôt. --
-
C'est égal à -- on commence positive
-
C'est égale à a11 fois la sous-matrice obtenu si on se débarrasse de
-
sa rangée et sa colonne.
-
Et ça, par définition, est le déterminant
-
de A11.
-
Ceci est exactement ce qu'on a fait --
-
Laisse-moi écrire ça un peu plus clairement.
-
Alors, fois le déterminant de sa sous-matrice: le
-
déterminant de A11.
-
Vous prenez A11 et vous vous débarassez de sa colonne et de sa rangée
-
et vous trouvez
-
le déterminant du reste.
-
En fait, laisse-moi écrire ça -- laisse-moi écrire ça de
-
cette façon-ci.
-
a11 fois le déterminant de la sous-matrice A11
-
Et maintenant on change de signe
-
On va allé le long de cette rangée
-
et puis on fait moins a12 fois le déterminant de sa sous-matrice
-
qu'on va appeler A12.
-
On va se débarrasser de cette rangée et cette colonne et
-
tout qui reste est la matrice A12.
-
On veut trouver son déterminant..
-
Après, on va prendre le prochain terme a13
-
et on change de signe de nouveau.
-
Alors, plus a13 fois le
-
déterminant de sa sous-matrice.
-
Alors si ceci est nxn, chaque sous-matrices va être n moins 1
-
par n moins 1.
-
Alors, le déterminant de A13.
-
Et il faut toujours changer de signes,
-
ça va être un plus puis un moins et vous
-
continuze comme ça et à la fin -- et puis je sais pas
-
Ça dépend de si an, si le an
-
est impair ou pair.
-
Si c'est un nombre pair, ceci va être
-
un moins.
-
Si c'est un nombre impair,
-
ceci va être un nombre pair.
-
Pour le reste, c'est un moins
-
si c'est impair
-
et un plus si c'est pair
-
jusqu'à la n-ième colonne fois sa sous-matrice, A1n.
-
Avec la sous-matrice A1n, vous vous débarrasser de la première rangée et de
-
la n-ième colonne dans la matrice A, et tout qui vous reste
-
est la sous-matrice A1n
-
Maintenant, vous me disiez peut-être:
-
C'est une drôle de définition, ça.
-
Vous avez défini le déterminant d'une matrice arbitraire de nxn
-
en terme de la définition d'un déterminant.
-
Comment ça fonctionne?
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La raison que ça fonctionne est que les déterminants
-
que vous utilisez dans la définition sont les déterminants
-
d'une plus petite matrice.
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C'est le déterminant d'une matrice n moins 1 par n moins 1
-
Alors vous me dites: Sal, ceci n'a encore pas de sens
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puisque on ne sais pas comment trouver le déterminant d'une matrice
-
n moins 1 par n moins 1.
-
Pour trouver le déterminant la plus petite matrice, vous utilise zcette définition de nouveau
-
et vous allez avoir une matrice de n moins 2
-
par n moins 2.
-
N'est-ce pas bon?
-
Alors, vous continuez à faire ça et vous allez vous trouvez avec
-
une matrice 2 par 2.
-
-
-
Et celle-là, on a bien défini.
-
On a défini le déterminant d'une matrice 2 par 2 non pas en terme
-
d'un déterminent.
-
On l'a défini --
-
laisse-moi l'écrire ici --
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C'était a fois d moins b fois c.
-
Et vous pouvez voir --
-
À vrai dire, on aurait pu aussi aller jusqu'à une matrice 3x3, mais la matrice 2x2
-
est vraiment la définition la plus fondamentale.
-
Et vous pouvez voir que la définition du déterminant d'une matrice 3x3
-
est juste un cas spécial du cas générale
-
des déterminant de la matrice nxn.
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On prend le premier terme a11 et on le multiplie par le
-
déterminant de sa sous-matrice.
-
Et on prend le deuxième terme et on change de signe
-
On a un moins.
-
Et on le multiplie par le déterminant de sa sous-matrice,
-
celle-ci.
-
Et puis on a un plus
-
On change de signe et on multiplie ce terme-ci par
-
le déterminant de sa sous-matrice, celle-là.
-
Alors, ceci est un cas générale de ce que je viens de définir
-
Mais on sais que c'est pas satisfaisant de penser
-
en abstrait ou en généralité..
-
On veut faire un cas spéfique.
-
Et avant que je fais ça, laisse-mois vous introduire
-
à un nouveau terme.
-
Ceci s'appelle une formule récursive.
-
Et si vous faites une majeure en science informatiques,
-
vous allez beaucoup en voir.
-
Une fonction récursive ou une formule récursive est défini
-
en termes de soi-même.
-
Mais la définition utilise une version de soi-même
-
un peu plus simple, et alors que vous continuer à l'utiliser
-
ça devient de plus en plus simple, jusqu'à
-
que vous obtenez le cas de base.
-
Dans ce cas-ci, le cas de base et le cas de la matrice 2x2.
-
Vous utilisez la définition, et vous obtenez éventuellement
-
un déterminant d'une matrice 2x2, et on connait comment
-
trouver ce déterminant..
-
Alors, ceci est une définition récursive.
-
-
-
Nous allons maintenant appliquer cette définition parce que je pense
-
que c'est plus concret comme ça.
-
Prenons -- ceci va nécessiter beacoup de calcul,
-
mais je pense que si on se concentre, on peut y arriver
-
Alors, j'ai une matrice 4x4: 1, 2, 3, 4.
-
1 -- je vais écrire des zéro pour faciliter le calcul
-
0, 1, 2, 3 et 2, 3, 0, 0
-
Alors, essayons de trouver le déterminant.
-
Comme c'est écrit, c'est le déterminant de la matrice.
-
Si j'avais mis des crochets, ça aurait été
-
la matrice,
-
Découvrons le déterminant de cette matrice.
-
Ceci va être égale à -- par définition, c'est égale à
-
1 fois le déterminant de cette matrice-ci
-
si on se débarrasse de cette rangée et cette colonne.
-
Alors ça va être 1 fois le déterminant de 0, 2, 0
-
1, 2, 3 et 3, 0, 0
-
Ceci est cette matrice.
-
Après j'ai un 2, mais je change de signe
-
Alors c'est moins 2 fois le déterminant que j'obtiens quand je me débarrasse de
-
cette rangée et cette colonne. Alors c'est: 1, 2, 0
-
J'ignore le zero parce que c'est dans la même colonne que le 2
-
1, 2, 0 puis 0, 2, 3 et 2, 0, 0
-
-
-
Et je change de nouveau de signe.
-
C'était un moins, alors maintenant c'est un plus
-
Alors c'est plus 3 fois le
-
déterminant de sa sous-matrice.
-
Débarrassez-vous de cette rangée et cette colonne
-
J'obtiens un 1, 0, 0.
-
-
-
Un 0, 1, 3.
-
-
-
Je saute cette colonne-ci chaque fois.
-
Puis j'obtiens un 2, 3, 0
-
Presque fini.
-
Une autre colonne.
-
Laisse-moi changer de couleur.
-
J'ai pas encore utiliser le bleu.
-
Alors maintenant j'ai un moins 4.
-
N'oublie pas, c'est plus, moins, plus, moins 4 fois le
-
déterminant de sa sous-matrice..
-
Ceci.
-
Alors c'est 1, 0, 2 puis 0, 1, 2 et 2, 3, 0.
-
Et maintenant on a le cas d'une matrice 3x3
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On pourrait utiliser la définition d'un déterminant d'une matrice 3x3, ou on pourrait
-
simplement continuer d'utiliser cette définition récursive.
-
-
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Alors ceci va être égal à -- laisse-moi l'écrire ici
-
C'est 1 fois -- c'est quoi ce déterminant?
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Ce déterminant-ci va être 0 fois le déterminant de
-
cette sous-matrice: 2, 3, 0, 0.
-
-
-
Celle-ci.
-
Et après on a moins 2 -- rappellez-vous
-
qu'on change de signe -- plus, moins, plus, alors moins 2 fois
-
sa sous-matrice: 1, 3, 0, 0.
-
-
-
Et puis finalement 0 fois sa sous-matrice,
-
ceci: 1, 2, 3, 0.
-
Après on a le prochain,
-
comme vous pouvez voir, ceci peut devenir ennuyeux, mais on
-
va garder le moral.
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Alors moins 2 fois 1 fois sa sous-matrice
-
ceci -- fois le déterminant de sa sous-matrice
-
2, 3, 0, 0.
-
Puis moins 2 fois -- débarrassez vous de cette rangée
-
et cette colonne -- 0, 3, 2, 0.
-
-
-
Et puis plus 0 fois 0, 2, 2, 0.
-
-
-
Celle-ci.
-
À demi arriver,
-
On prend maintenant le prochain, alors on a plus 3.
-
On sort les parenthèses.
-
Et on a 1 fois sa sous -- je suppose qu'on
-
peut l'appeler sa sous-déterminant.
-
Alors 1 fois le déterminant 1, 3, 3, 0.
-
On se débarrasse de cette rangée et cette colonne, et on obtient
-
ceci.
-
Et puis moins 0 -- on se débarrasse de cette rangée et cette colonne --
-
fois 0, 3, 2, 0.
-
-
-
Puis on a 0 fois sa sous-déterminant 0, 1, 2, 3.
-
-
-
Trois-quarts arrivé.
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Un dernier terme.
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Espérons que je n'ai pas fais d'erreur d'inattention.
-
Moins 4 fois 1 fois 1, 2, 3, 0.
-
-
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Moins 0 fois -- débarrassez-vous de ça -- 0, 2, 2, 0.
-
-
-
Et puis plus 2 fois 0, 1, 2, 3.
-
Plus 2 -- débarrassez-vous de ça -- 0, 1, 2, 3.
-
-
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Alors, on a défini ou on a calculé ou on a défini
-
le déterminant de cette matrice en terme de
-
matrices 2x2
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Alors j'espère que vous avez vu que la récursion
-
a fonctionnée.
-
Découvrons ce que ce nombre égal
-
Un déterminant est toujours qu'un nombre
-
Laisse-moi utiliser une couleur vive
-
Ceci est 0 fois -- alors c'est 0
-
0 fois n'importe quoi est 0
-
0 fois n'importe quoi est 0
-
0 fois n'importe quoi est 0
-
0 fois n'importe quoi est 0
-
Je le simplifier
-
Ceci est 0 parce que c'est fois 0
-
0 fois ceci est égal à 0
-
Qu'est-ce qu'il nous reste?
-
-
-
Ceci va être égal à 1 fois -- tout qu'il nous reste est un
-
moins 2 fois -- c'est quoi le déterminant --
-
C'est 1 fois 0, ce qui est 0
-
C'est 0 -- laisse-mois l'écrire
-
Ceci va être 1 fois 0 est 0, moins 3 fois 3.
-
C'est 0 - 9, alors c'est -9.
-
Ceci est -9.
-
Alors -2 fois -9.
-
Ceci est le premier terme, je le simplifiera dans une seconde,
-
Faisons ce terme-ci
-
C'est -2 fois -- c'est quoi le déterminant?
-
2 fois 0 moins 0 fois 3.
-
Ceci est 0 fois 0.
-
Alors, ceci est 0.
-
Cela est devenu 0, alors on peut l'ignorer.
-
Ce terme-ci est 0 moins 0, ce qui est 0,
-
moins 2 fois 3.
-
Alors c'est -6.
-
Alors c'est -2 et ceci est -6
-
On a un -2 fois fois un -6, alors c'est un 12.
-
Alors je vais écrire un 12 ici.
-
Ce -2 est cel-là
-
Et puis on a plus 3
-
Et puis le premier terme est 1 fois 0, ce qui est 0, moins --
-
laisse-moi faire des parenthèses -- 1 fois 0, ce qui est 0
-
moins 3 fois 3, ce qui est -9 fois 1.
-
Alors c'est -9.
-
Tout le reste est 0.
-
Presque fini.
-
On a un -4.
-
Ceci est 1 fois 0, ce qui est 0, moins 3 fois 2,
-
alors -6.
-
Alors ceci est -6.
-
-6, ceci est 0, et puis on a ce déterminant-ci
-
Alors on a 0 fois 3, ce qui est 0, moins 2 fois 1.
-
Alors ceci est -2, et puis on a -2 fois
-
2 est -4.
-
Alors il faut seulement qu'on s'assure de bien
-
bien faire le reste du calcul.
-
Ceci est 1 fois 18, alors c'est 18
-
Moins 2 fois -9.
-
Alors ceci est moins 24.
-
Ceci est moins 27.
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Et puis ceci, est -10.
-
Ceci,
-
Ceci, est -10.
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Moins 4 fois -10 est plus 40.
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Voyons si on peut le simplifier.
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Si on le simplifie -- je veux pas faire
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une erreur d'inattention à la fin.
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Alors 18 moins 24, 24 moins 18 est 6, alors ceci va être
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égal a -6, vrai?
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18 moins 24 est moins 6.
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Et puis -- laisse-moi le faire en vert -- c'est quoi la
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différence?
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Si on a 27 moins 40, c'est 13.
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C'est un plus 13.
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Alors moins 6 plus 13 est égal à 7.
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Et on a fini!
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Après tout ce calcul, j'espère que je n'ai pas fait
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d'erreur d'inattention.
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Le déterminant de cette matrice
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est égale à 7.
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Le déterminant de cette matrice est égale à 7.
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Alors, on a appris que cette matrice
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est inversible parce que son déterminant n'est pas 0.
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J'espère que vous avez trouvez ce vidéo utile.
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