-
สิ่งที่ผมอยากทำในวิดีโอนี้คือ มั่นใจว่า
-
เราหาได้ว่า
-
เวกเตอร์ตั้งฉกกับระนาบคืออะไร
-
หากเราได้สมการของระนาบมา
-
ดังนั้นเพื่อให้เข้าใจ, ลองเริ่มด้วยระนาบสักอันตรงนี้
-
ลองเริ่มกัน
-
นี่ก็คือระนาบ และผมวาดแค่ส่วนนึง
-
แน่นอนว่ามันขยายไปทุกทาง
-
แล้วสมมุติว่านั่นคือระนาบของเรา
-
และสมมุติว่านี่คือเวกเตอร์ตั้งฉากกับระนาบ
-
นั่นก็คือเวกเตอร์ตั้งฉากกับระนาบ
-
มันกำหนดโดย ai บวก bj บวก ck
-
แล้วนั่นก็คือเวกเตอร์ตัั้งฉากกับระนาบของเรา
-
และสมมุติว่าเรามี มันจะ
-
ตั้งฉากกับทุกทิศที่อยู่บนระนาบ
-
สมมุติว่าเรามีจุดอยู่บนระนาบ
-
เรามีจุดนึง
-
มันคือจุด x ห้อย p
-
ผมเรียก p แทนระนาบ (plane) แล้วกัน
-
มันคือจุดบนระนาบ xp, yp, zp
-
หากเราเลือกจุดกำเนิด
-
สมมุติว่าแกนเราอยู่ตรงนี้
-
ขอผมวาด, ขอผมวาดเส้นแกนหน่อย
-
สมมุติว่าเส้นแกนเป็นแบบนั้น
-
นี่คือแกน z นั่นคือแกน y
-
และสมมุติว่านี่คือแกน x
-
สมมุติว่านี่คือแกน x ออกมาแบบนี้
-
นี่คือแกน x เรา
-
คุณระบุนี่ได้ว่าเป็นเวกเตอร์ตำแหน่ง
-
มีเวกเตอร์ตำแหน่งอยู่ ขอผมวาดมันแบบนี้นะ
-
ขอผมวาดมันแบบนี้
-
แล้วมันก็อยู่หลังระนาบตรงนั้น
-
คุณมีเวกเตอร์ตำแหน่ง
-
เวกเตอร์นั่นจะเป็น xpi บวก ypj บวก zpk
-
มันระบุพิกัดนี่ตรงนี้
-
มันอยู่บนระนาบนั่น
-
ขอผมเรียกมันว่าอะไรสักอย่าง
-
ขอผมเรียกมันว่าเวกเตอร์ตำแหน่งแล้วกัน ไม่รู้สิ
-
ขอผมเรียกมันว่า P, เรียกมันว่า p1
-
นี่คือจุดบนระนาบ
-
มันคือ p1
-
มันเท่ากับนี่
-
ทีนี้, เราอาจเลือกจุดอีกจุดบนระนาบ
-
นี่คืออีกจุดนึง
-
เราบอกว่าจุดอีกจุดบนระนาบ x, y, z
-
แต่เราบอกว่า x,y,z นั่งอยู่บนระนาบ
-
สมมุติว่าเราหาจุดนี่ตรงนี้, x, y, z
-
แน่นอนว่าตรรกะเดียวกัน
-
คือระบุได้ด้วยเวกเตอร์ตำแหน่ง
-
เรามีเวกเตอร์ตำแหน่งหน้าตาแบบนี้
-
เป็นเส้นประ
-
มันจะอยู่ใต้ระนาบตรงนี้
-
และเวกเตอร์ตำแหน่งนี่
-
ไม่รู้ ขอผมเรียกมัน
-
เรียกมันว่า p แล้วกัน, แทนที่จะเป็น p1
-
นี่ก็คือ xi บวก yj บวก zk
-
นั่นคือสาเหตุที่ผมตั้ง
-
มันไว้เพราะผมอยากหา, เมื่อกำหนดจุดเฉพาะ
-
ขึ้นมา ผมรู้ว่าระนาบกับ xyz
-
ที่อยู่บนะรานาบนั้น
-
ผมจะหา, ผมสามารถสร้างเวกเตอร์
-
ที่อยู่บนระนาบพอดีได้
-
เราเรียนนี่ไปแล้วก่อนหน้า
-
เราพยายามว่าสมกาของระนาบคืออะไร
-
เวกเตอร์ที่อยู่บนระนาบ
-
คือผลต่างของเวกเตอร์สองตัวนี้
-
งั้น, ผมจะใช้สีฟ้านะ
-
หากคุณเอาเวกเตอร์สีเหลือง, ลบเวกเตอร์สีเขียว
-
เราจะเอาตำแหน่งนี่
-
คุณจะได้เวกเตอร์
-
หากคุณมองมันแบบนั้น
-
มันต่อจุดนี้กับจุดนั้น
-
แม้ว่าคุณจะเลื่อนเวกเตอร์ได้
-
แต่คุณจะได้เวกเตอร์
-
ที่อยู่บนระนาบพอดี
-
แม้ว่าคุณ
-
แม้ว่าคุณจะเริ่มด้วยจุดใดจุดหนึ่งก็ตาม
-
มันจะได้นอนบนระนาบพอดี
-
เวกเตอร์จะเป็นแบบนี้
-
มันจะวางตัวบนระนาบเรา
-
เวกเตอร์นี้อยู่บนระนาบ
-
เวกเตอร์นั่นคือ p ลบ p1
-
นี่คือเวกเตอร์ p ลบ p1
-
มันคือเวกเตอร์ตำแหน่ง ลบ
-
เวกเตอร์ตำแหน่งนั่น ให้อันนี้เรามา
-
วิธีอีกอย่างในการมองนี่คือว่า เวกเตอร์ตำแหน่งสีเขียว
-
บวกเวกเตอร์ตำแหน่งสีฟ้า
-
ที่อยู่บนระนาบ
-
จะเท่ากับเวกเตอร์สีเหลืองนี่
-
ใช่! หัวต่อหาง, เท่ากันเป๊ะ
-
และสาเหตุที่ผมต้องทำแบบนี้
-
คือว่าเราสามารถหาดอทโปรดัค
-
ระหว่างสีฟ้านี่กับ สีบานเย็นนั่นได้
-
เราทำมาก่อนแล้ว
-
และมันต้องเท่ากับศูนย์
-
เพราะนี่อยู่บนระนาบพอดี
-
นี่จะตั้งฉากกับทุกอย่างที่อยู่บนระนาบ
-
มันจะเท่ากับศูนย์
-
แล้วเราจะได้สมการของระนาบ
-
แต่ก่อนหน้านั้น,
-
ขอผมทำให้แน่ใจว่า เรารู้
-
ว่าองค์ประกอบของเวกเตอร์สีฟ้าคืออะไร
-
งั้น p ลบ p1, นั่นก็คือเวกเตอร์สีฟ้า
-
คุณก็แค่ลบองค์ประกอบแต่ละตัว
-
มันจะเป็น
-
x ลบ xpi, บวก y ลบ ypj, บวก z ลบ zpk
-
และเราบอกว่า, นี่คือระนาบ
-
และนี่ตรงนี้, เวกเตอร์ตั้งฉากนี่,
-
ตั้งฉากกับระนาบ
-
คุณก็หาดอทโปรดัค
-
ได้เท่ากับศูนย์
-
งั้น n ดอท, เวกเตอร์นี้,
-
จะเท่ากับศูนย์
-
แต่มันยังเท่ากับ a นี่คูณเทอมนี้ด้วย
-
ผมจะทำตรงนี้นะ
-
งัั้นนี่, ผมจะหาสีดี ๆ หน่อย
-
งั้น a คูณนั่น
-
ซึ่งก็คือ ax ลบ axp, บวก b คูณนั่น
-
นั่นคือ บวก by, ลบ byp
-
แล้วก็, ผมต้องแน่ใจว่าผมมีสีพอ
-
แล้วก็ เท่ากับ บวกนั่นคูณนั่น
-
ได้ บวก cz ลบ czp
-
แล้วทั้งหมดนี่เท่ากับศูนย์
-
ทีนี้, สิ่งที่ผมจะทำคือ: ผมจะเขียนนี่ใหม่
-
เราได้เทอมทั้งหมดนี้
-
ผมขอหาสีดี ๆ หน่อย
-
เราได้ x เทอม ax
-
จำไว้, นี่คือ x ใด ๆ ที่อยู่บนระนาบ
-
ที่เป็นไปตามนี้
-
งั้น ax, by และ cz
-
ขอผมปล่อยเจ้านี่ไว้ทางขวามือ
-
แล้วเราได้ ax บวก by บวก cz เท่ากับ
-
และที่ผมอยากทำคือ
-
ผมจะลบแต่ละตัวทั้งสองข้าง
-
อีกวิธีคือ
-
ผมจะย้ายพวกมันไปทางนั้น, ขอผมทำนะ
-
ไม่ได้เยอะแยะอะไร
-
ผมแค่ย้ายมันไป
-
ทางซ้ายมือ
-
ผมจะบวก บวก axp ทั้งสองข้าง
-
ก็เหมือนกับลบ axp
-
นี่ก็จะเป็นบวก axp, แล้วก็,
-
เราจะได้ บวก byp, บวก,
-
เราจะใช้สีเขียวเดิมนี่
-
บวก byp แล้วก็สุดท้ายบวก czp
-
บวก czp จะเท่ากับนั่น
-
ทีนี้, สาเหตุที่ผมทำแบบนี้
-
ผมทำไปในวิดีโอก่อนแล้ว
-
ตอนที่เราพยายามหาสูตร
-
หรือเราพยายามหาสมการของระนาบ
-
แล้วคุณก็บอกว่า เฮ้!
-
หากคุณมีเวกเตอร์ตั้งฉาก,
-
แล้วคุณให้จุดจุดนึงบนระนาบมา
-
เราบอกว่า xp yp zp
-
เราก็มีวิธีหาสมการอยู่แล้ว
-
แต่ผมอยากทำกลับกัน
-
ผมอยากให้คุณสามารถ
-
หากผมบอกคุณ
-
หากผมบอกคุณ
-
หากผมบอกสมการของระนาบให้คุณ
-
โดยผมบอกว่า ax บวก by บวก cz, เท่ากับ D
-
นี่ก็คือสมการทั่วไปของระนาบ
-
หากผมให้นี่กับคุณ
-
ผมอยากให้คุณหาเวกเตอร์
-
ตั้งฉากได้เร็ว ๆ
-
คุณจะต้องทำยังไง?
-
ทีนี้, ax บวก by บวก cz นี่
-
เหมือนกับส่วนนี่บนนี้เป๊ะ
-
ขอผมเขียนนี่ใหม่ตรงนี้นะ
-
ส่วนนี้ก็ชัดเจนดี
-
ส่่วนนี้คือ ax บวก by บวก cz เท่ากับ
-
ทั้งหมดนั้นทางขวามือ
-
โทษที, ทางซ้ายมือ
-
ขอผมลอกแล้ววางลงไปนะ
-
ลอกแล้ววางลงไป
-
ผมก็แค่สลับพจน์
-
แต่คุณเห็ฯแล้ว, นี่ ทั้งหมดนี่
-
a นี่ต้องเท่ากับ A นี่, b นี่ต้องเท่ากับ B นี่
-
และ c นี่ต้องเท่ากับสิ่งนี้
-
และ D ต้องเท่ากับทั้งหมดนี่
-
และนี่คือตัวเลขตัวหนึ่ง
-
นี่จะเป็นตัวเลข
-
สมมุติว่าคุณรู้
-
ว่าเวกเตอร์ตั้งฉากคืออะไร
-
คุณรู้ a,b และ c
-
คุณรู้ค่าของมัน
-
นี่ก็คือสิ่ง, นี่คือค่า D นั่นเอง
-
นี่คือวิธีที่คุณได้สมการของระนาบมา
-
ทีนี้, หากผมให้สมการระนาบกับคุณ
-
เวกเตอร์ตั้งฉากคืออะไร?
-
เราเพิ่งเห็นไป
-
ว่าเวกเตอร์ตั้งฉาก, มันก็คือ a นี่ตรงกับ A นั้น
-
b นี่ตรงกับ B นั่น
-
c นี่ตรงกับ C นั่น
-
เวกเตอร์ตั้งฉากกับระนาบนี้ที่เราเริ่มไว้
-
ต้องมีองค์ประกอบเป็น a, b, และ c
-
งั้น, หากคุณได้สมการของระนาบตรงนี้มา
-
เวกเตอร์ตั้งฉาก
-
เวกเตอร์ตั้งฉากกับระนาบนี่ตรงนี้
-
จะเป็น Ai บวก Bj บวก Ck
-
มันง่ายมากที่จะ
-
หาหากผมให้สมการของระนาบแก่คุณ
-
ขอผมยกตัวอย่างสักหน่อย
-
หากผมบอกคุณ
-
ว่าผมมีระนาบในสามมิติ
-
สมมุติว่ามันคือ ลบ 3
-
แม้ว่าเราจะทำในหลายมิติกว่านี้
-
สมมุติว่า ผมมี ลบ 3x,
-
บวกสแควร์รูทของ 2, y, ลบ,
-
มันบ้ามาก, ผมหมายถึงมันไม่ได้บ้า
-
มันควรเป็นระนาบในสามมิติ
-
แล้วเวกเตอร์ตั้งฉากกับระนาบนี้คืออะไร?
-
คุณก็
-
แค่อ่านจากสัมประสิทธิ์พวกนี้
-
คุณบอกว่าเวกเตอร์ตั้งฉากกับระนาบนี้
-
คือ ลบ 3i บวก สแควร์รูทของ 2 j บวก 7k,
-
และคุณก็ลืม D ไปได้
-
สาเหตุที่คุณลืมมันไปได้
-
เพราะมันแค่เลื่อนระนาบไป
-
แต่มันจะไม่บิดระนาบไป
-
ดังนั้น, เวกเตอร์ตั้งฉากนี่จะยังคงตั้งฉาก
-
หากนี่คือ e, หากนี่คือหนึ่งร้อย
-
มันก็ยังตั้งฉากกับระนาบพวกนั้น
-
เพราะระนาบพวกนั้นถูกเลื่อน
-
แต่มันยังเอียงเหมือนเดิม
-
มันก็ยังชี้ออกไปในทิศเดียวกัน
-
มันก็ยังเป็นเวกเตอร์ตั้งฉากที่ยังชี้
-
ไปในทิศเดียวกัน
-
หวังว่าคุณคงเห็นค่ามันนะ
-
แล้วจากนี้,
-
เราจะนิยามระยะทางระหว่างจุดใด ๆ
-
ในสามมิติกับระนาบ
-
ว่าคือระยะทางที่สั้นที่สุด ที่เราจะไปยังหาระนาบได้กัน
Khan Academy
