Normal vector from plane equation

Neste vídeo, quero ter certeza que

sabemos como descobrir

o vetor normal de um plano,

a partir da equação do plano.

Então para entender, começaremos
com um plano.

Vamos lá.

Estou desenhando apenas parte do plano,

pois ele é infinito em
todas as direções.

Digamos que temos este plano.

E que este é o vetor normal ao plano.

Então este é o vetor normal ao plano.

Ele é dado como ai mais bj mais ck.

Este é o vetor normal ao plano.

Ele também é perpendicular

a todos os outros vetores
que compõe o plano.

Digamos que temos um ponto no plano.

Algum ponto.

O ponto xp--

estou usando p de plano
então é o ponto no plano--

xp, yp, zp.

Se escolhermos a origem--

digamos que nossos eixos estão aqui.

Vou desenhar os eixos.

Digamos que nossos eixos sejam assim.

Este é o nosso eixo z, este é o eixo y.

E este é o nosso eixo x.

Digamos que nosso eixo
esteja projetado assim.

Este é o nosso eixo x.

Podemos chamar isto
de um vetor de posição.

Existe um vetor de posição--

Vou desenhá-lo assim.

Ele estaria atrás do plano assim.

Temos nosso vetor de posição.

Este vetor seria xpi mais ypj mais zpk.

Ele especifica esta coordenada aqui

que faz parte do plano.

Darei um nome a ela.

Talvez vetor de posição, não sei.

Vou chamar isto de p1.

Então este é o ponto no plano.

Este é p1,

e é igual a isto.

Agora, podemos pegar um outro
ponto no plano.

Este é um ponto particular no plano.

Mas suponha que selecionamos

qualquer outro ponto no plano.

Suponha que o ponto x,y,z esteja no plano.

Este é o ponto x,y,z no plano.

E pela mesma lógica este
ponto tem o seu próprio

vetor de posição.

Podemos ter um vetor de posição
que se pareça assim,

com essa linha pontilhada.

Está passando por de baixo do plano.

E este vetor de posição.

Vou chamá-lo de p,

em vez do p1 que já usamos.

Isto seria apenas xi mais yj mais zk.

A razão pela qual eu montei isto tudo

é porque quero encontrar,
dado que conhecemos

um determinado ponto no
plano e qualquer outro xyz

que esteja no plano.

Posso construir um vetor que esteja

com certeza dentro do plano

E já aprendemos isto antes.

Tentamos descobrir as
equações deste plano.

E o vetor que compõe o plano,

será a diferença destes dois vetores.

E farei isso na cor azul.

Então se pegarmos o vetor amarelo

menos o vetor verde

Teremos esta posição.

E teremos o vetor que, se você observar,

conecta este ponto a este ponto.

Apesar de que podemos movê-lo.

Mas teremos um vetor

que com certeza está no plano

mesmo se você começar com estes pontos.

O vetor com certeza estará no plano.

Então, o vetor vai se parecer com isso.

E ele existe no plano.

Então este vetor existe
dentro do nosso plano.

Ele é este vetor p menos p1.

Este é o vetor p menos p1.

Este vetor de posição menos
aquele vetor de posição resulta neste.

Outra forma de ver isso
é pensar que a subtração

do vetor azul mais o verde

que também está no plano,

é igual a este vetor amarelo.

Claramente iguala-os.

E fiz isso pois agora podemos
pegar o produto escalar

entre a parte azul e a parte magenta--

já fizemos isso antes--

Eles precisam ser igual a zero

porque isto está contido no plano.

É perpendicular à tudo que está no plano.

E é igual a zero.

Vamos obter a equação para o plano.

Mas antes de eu fazer isso

deixe-me ter certeza que sabemos quais
são os componentes do vetor azul aqui.

Assim p menos p1 é o vetor azul.

Você está apenas subtraindo
cada um dos componentes.

Então isto vai ser

x menos xpi

mais y menos ypj

mais z menos zpk.

E dizemos há pouco, isto está no plano.

E este aqui, o vetor normal,

é normal ao plano.

O produto escalar deles
vai ser igual a zero.

Assim n escalar, esse vetor,

vai ser igual a zero.

Mas isto também é igual a este
a vezes esta expressão.

Vou fazer isto aqui.

Vou encontrar umas cores legais.

Assim, a vezes isto,

o qual é ax menos axp mais b vezes isto.

Assim, isto é mais by menos byp.

Eu preciso ter certeza que
terei cores suficientes.

Então isto vai ser aquele
mais aquele outro.

Assim, mais cz menos czp.

Tudo isto igual a zero.

Agora, vou fazer o seguinte:
vou reescrever isto

então teremos todos estes termos

-- estou procurando a cor certa --

temos todos os termos x ax.

Lembre-se, isto é qualquer
x contido no plano

que satisfará isto.

Logo ax, by e cz.

Permita-me deixar aquele à direita.

Então nós temos ax mais
by mais cz igual a isto

E o que quero fazer é

subtrair cada um destes em ambos lados.

Outro modo seria

move todos eles para--
deixe-me fazer isto.

Não quero fazer muitas coisas.

Vou movê-los para o lado esquerdo.

Então vou adicionar mais axp
em ambos lados

como se estivesse subtraindo menos axp.

Então será mais axp e assim

teremos mais byp, mais--

vamos fazer isto com o mesmo verde--

mais byp e, finalmente, mais czp.

Mais czp será igual a aquilo.

A única razão pela qual eu faço isto!

Eu fiz isso no vídeo anterior

quando tentávamos encontrar a fórmula

ou as equações do plano.

E, bem se você tem um vetor normal

e lhe é dado um ponto sobre o plano,

digamos xp yp zp

nós agora temos que rapidamente
descobrir a equação.

Mas quero ir pelo outro caminho.
Quero ser capaz de--

se fosse eu lhe dando

uma equação para o plano

onde eu poderia dizer ax
mais by mais cz é igual a D

Assim, isto é uma equação
geral para o plano.

Se eu lhe desse isto

queria ser capaz de encontrar
o vetor normal rapidamente.

Como fazemos isso?

Bem, este ax mais by mais
cz é completamente

análogo à esta parte aqui em cima.

Deixe-me reescrever isto aqui

para ficar mais claro.

Esta parte ax mais by mais cz é igual à

tudo isto no lado direito.

Digo, no lado esquerdo.

Assim, deixe-me copiar e colar isto.

Eu simplesmente virei esta expressão.

mas agora você vê o todo disto.

Este a tem que ser este A,
este b tem que ser este B

e este c, tudo isto aqui.

E o D será tudo isto.

E isso será apenas um número

assumindo que você sabia
o que um vetor normal é.

O que os seu A, B e C são.
Você conhece os valores particulares.

Assim, é isto que D é.

Isto é o que se obtém da equação do plano.

Se eu tivesse lhe dado a equação do plano,
qual seria o vetor normal?

Como dizermos, o vetor normal,
este a que corresponde àquele A.

Este b que corresponde àquele B e
este c corresponde àquele C.

O vetor normal para este
plano com o qual iniciamos

tem os componentes de a, b e c.

Então, se lhe é dada uma
equação para o plano aqui.

O vetor normal

para este plano aqui

será Ai mais Bj mais Ck.

É algo bem fácil de fazer

se você tem a equação do plano--

deixe eu lhe dar um exemplo particular--

Se eu lhe dissesse

que tenho um vetor plano,
em três dimensões,

digamos, menos 3,

ainda que possamos trabalhar
com mais dimensões.

Digamos que eu tenha menos 3x,

mais raiz de dois y

mais sete z

é igual a pi.

Isto é loucura! Digo, não é loucura.

Deveria ser o plano em três dimensões.

E qual é o vetor normal ao plano?

Você literalmente

pode pegar estes coeficientes,

digamos que um vetor normal à este plano

é menos 3i mais raiz de dois j mais 7k

e você pode ignorar a parte D ali.

E você pode apenas ignorar isto

pois pode deslocar o plano,

mais não mudaria fundamentalmente
como o plano é inclinado.

Então, este vetor normal
também será normal

se isto fosse e, se isto fosse cem.

Será normal à todos estes planos

pois todos os planos são deslocados

mas possuem todos a mesma inclinação.

Todos apontariam para a mesma direção.

Poderia ter vetores normais apontando

para a mesma direção.

Espero que tenha achado isso útil.

Agora construa sobre isto,

defina a distância entre pontos quaisquer
em três dimensões e algum plano,

a menor distância possível
para aquele plano.

[Legendado por rodrigo.sbender e Guilherme]
[Revisado por Sérgio Fleury]