Normal vector from plane equation

W tym filmie chcę się upewnić,

że potrafimy wyznaczyć

wektor normalny do płaszczyzny

jeśli jest podane równanie płaszczyzny.

Żeby zrozumieć zacznijmy od narysowania płaszczyzny.

Zaczynamy!

To jest płaszczyzna i narysowałem tylko jej część,

oczywiście ona biegnie w każdym kierunku.

Powiedzmy że to jest nasza płaszczyzna.

A to jest wektor normalny do tej płaszczyzny

Ten wektor jest normalny do płaszczyzny.

Ten wektor to ai plus bj plus ck.
[standardowe polskie oznaczenia: i=e1, j=e2, k=e3]

To jest wektor normalny do płaszczyzny.

Powiedzmy, że go mamy. On jest prostopadły

do każdego wektora płaszczyzny.

Powiedzmy, że mamy jakiś punkt na płaszczyźnie.

Mamy jakiś punkt.

To jest punkt xp, ...

p od płaszczyzny.

To jest punkt na płaszczyźnie xp, yp, zp.

Dorysujmy osie współrzędnych.

Osie są tutaj.

Narysuję linie osi.

Linie osi wyglądają w ten sposób.

To jest oś z. To jest oś y.

A to jest oś x.

Powiedzmy, że oś x przechodzi w ten sposób.

To jest os x.

Możesz wskazać wektor wodzący.
[dla danego punktu jest to wektor zaczepiony w początku układu współrzędnych i o końcu w danym punkcie, w fizyce jest nazywany wektorem położenia]

Tak go narysuję.

On powinien być za płaszczyzną.

Mamy wektor wodzący.

Ten wektor wodzący powinien wynosić xpi plus ypj plus zpk.

To określa współrzędne wybranego

punktu na płaszczyźnie.

Nazwijmy to.

Nazwijmy wektor wodzący.

Nazwiemy go p1.

To jest punkt płaszczyzny.

To jest p1.

To jest równe temu.

Teraz możemy wziąć inny punkt płaszczyzny.

Po prostu kolejny punkt płaszczyzny x, y, z.

Weźmy punkt x, y, z.

Który, jak nam mówi logika, może być

wyznaczony przez inny wektor wodzący.

Możemy mieć taki wektor wodzący.

On będzie za płaszczyzną.

Nazwijmy go.

Nazwijmy go p, w przeciwieństwie do określonego p1.

To będzie xi plus yj plus zk.

Robię tak dlatego,

że chcę znaleźć, biorąc znany mi punkt na płaszczyźnie

oraz jakiś dowolny punkt na tej płaszczyźnie,

Mogę wyznaczyć wektor

który na pewno jest na płaszczyźnie

I tego nauczyliśmy się już wcześniej.

Spróbujemy wyznaczyć równanie płaszczyzny.

Wektor z płaszczyzny

będzie różnicą tych dwóch wektorów.

Narysuję to na niebiesko.

Jeśli od żółtego wektora odejmiemy wektor zielony

Otrzymamy takie współrzędne

Dostaniemy wektor.

Spójrzmy na to w ten sposób,

on łączy ten punkt z tym punktem.

Chociaż można przesunąć wektor.

Ale mamy wektor który

na pewno należy do płaszczyzny.

Jeśli zaczniesz go przyłożysz do jednego z tych punktów

do dostaniesz punkt na tej płaszczyźnie.

Wygląda to w ten sposób.

I należy do płaszczyzny.

Ten wektor to p minus p1.

p minus p1

Czyli ten wektor wodzący minus

ten wektor wodzący.

Inaczej mówiąc jeśli do zielonego wektora

dodamy niebieski wektor,

który należy do płaszczyzny,

otrzymamy żółty wektor.

Mamy równość.

Robię to ponieważ

teraz możemy wziąć iloczyn skalarny

niebieskiego i fioletowego wektora.

Robiliśmy to już wcześniej.

To [iloczyn skalarny] musi być równe zero

bo on należy do płaszczyzny.

A ten jest prostopadły do płaszczyzny.

To jest równe zero

i mamy równanie płaszczyzny.

Ale zanim to zrobię

upewnijmy się, że wiemy

jak wygląda niebieski wektor.

p minus p1, to jest niebieski wektor

Będziemy odejmować składniki.

To będzie

x minus xp razy i, plus y minus yp razy j, plus z minus zp razy k.

Ten należy do płaszczyzny.

Ten jest normalny do płaszczyzny.

Wypisujemy iloczyn skalarny.

równy zero.

n kropka ten wektor

jest równe zero.

Ale to jest też równe to minus to wyrażenie.

Policzę to tutaj.

Poszukam odpowiedniego koloru.

a razy to, to jest ax minus axp, plus b razy to,

czyli by minus byp,

Muszę się upewnić, że mam wystarczająco dużo kolorów.

I plus to razy to.

Czyli plus cz minus czp.

I to wszystko jest równe zero.

Teraz to przepiszę.

Mamy wszystkie warunki.

Szukam właściwego koloru

Pamiętaj, że każdy punkt na płaszczyźnie

musi spełniać to równanie.

ax, by, i cz.

Pozostawię to po prawej stronie.

Mamy ax plus by plus cz jest równe...

Jak ja to chcę zrobić:

odejmę każdy z nich od obu stron.

Inny sposób:

przeniosę je wszystkie tutaj.

Mam zamiar przenieść je

na lewą stronę.

Dodaję dodatni axp do obu stron

równoważnie odejmowaniu ujemnego axp.

Mamy dodatnie axp,

mamy dodatnie byp,

napiszę to tym samym zielonym.

Plus byp i wreszcie plus czp,

plus czp będzie równe temu.

Teraz, dlaczego tak zrobiłem?

Zrobiłem tak też w poprzednim filmie,

gdzie próbowaliśmy znaleźć wzór,

próbowaliśmy znaleźć równanie płaszczyzny.

Jeśli masz wektor normalny

i masz podany punkt należący do płaszczyzny.

U nas xp, yp, zp.

Możemy szybko wyznaczyć równanie płaszczyzny.

Ale ja chcę zrobić to w inny sposób.

Chcę żebyś był w stanie to zrobić.

Gdybym Ci podał...

Gdybym Ci podał równanie płaszczyzny.

Mamy Ax plus By plus Cz jest równe D.

To jest ogólne równanie płaszczyzny.

Masz je podane.

Chciałbym żebyś umiał

szybko znaleźć wektor normalny.

Jak można to zrobić?

To Ax plus By plus Cz jest analogiczne

do tej tutaj części.

Przepiszę to.

Ta część staje się jasna.

Ta część ax plus by plus cz jest równa

temu wszystkiemu po prawej stronie.

Przepraszam, po lewej stronie.

Skopiuję to i wkleję.

Kopiuj i wklej.

Odwracam to wyrażenie.

Teraz widzisz, że to jest tym samym co to.

To a musi być równe A, to b musi być równe B,

a to c musi byc równe C.

D będzie równe temu wszystkiemu.

To jest liczba.

Zakładam, że wiesz czym jest

wektor normalny

czym są a, b i c.

To jest to czym jest D.

Tak można wyznaczyć równanie płaszczyzny.

Teraz, co by było gdybym podał Ci równanie płaszczyzny.

Jaki byłby wektor normalny?

Właśnie to widzieliśmy.

Wektor normalny, to a odpowiada temu A,

to b odpowiada temu B,

to c odpowiada temu C.

Wektor normalny do tej płaszczyzny od którego

zaczęliśmy ma składowe to a, b i c.

Jeśli masz podane równanie płaszczyzny.

Wektor normalny

do tej płaszczyzny

jest równy Ai plus Bj plus Ck.

To jest bardzo proste do zrobienia

jeśli mamy podane równanie płaszczyzny.

Podam Ci konkretny przykład.

Gdybym Ci powiedział,

że mam jakąś płaszczyznę, w trzech wymiarach.

Powiedzmy, że mam minus 3...

Chociaż możemy pracować na większej liczbie wymiarów.

Powiedzmy, że mam minus 3x,

plus pierwiastek z 2 razy y, minus

nie minus, plus 7 równa się pi.

To powinna być płaszczyzna w trzech wymiarach.

Jaki będzie wektor normalny do tej płaszczyzny?

Możesz dosłownie wybrać sobie współczynniki.

Wektorem normalnym do tej płaszczyzny

jest minus 3i plus pierwiastek z 2 j plus 7k.

Możemy pominąć stałą D.

Dlatego, że można pominąć to

jak jest przesunięta płaszczyzna.

Patrzymy tylko na jej nachylenie.

Wektor normalny będzie normalny czy

ta stała jest równa e, czy 100.

On będzie normalny do tych wszystkich płaszczyzn

bo mimo, że są różnie przesunięte

to mają takie samo nachylenie.

Ich wektory normalne wskazują ten sam kierunek.

Teraz zdefiniujemy odległość między punktem

a płaszczyzną w trzech wymiarach,

czyli najkrótszą drogę z tego punktu do płaszczyzny.