-
Cílem tohoto videa je ujistit se,
-
že správně rozeznáme,
-
co je normálový vektor roviny,
-
jestliže máme zadanou rovnici roviny.
-
Pro názornost, začněme tedy rovinou...
-
Pusťme se do toho.
-
Tak, tohle je rovina.
Načrtl jsem jen její část,
-
samozřejmě pokračuje ve všech směrech.
-
Řekněme tedy, že toto je naše rovina.
-
A řekněme, že tohle
je normálový vektor roviny.
-
Tak, toto je náš normálový vektor roviny.
-
Je zadán ai plus bj plus ck.
-
Tohle je náš normálový vektor roviny.
-
A řekněme, že máme... A je kolmý
-
ke každému vektoru dané roviny.
-
Dále mějme zadaný libovolný bod v rovině.
-
Máme bod.
-
Je to bod X s indexem p.
-
A řekněme p jako rovina (plane).
-
Tedy je to bod v rovině
se souřadnicemi xp, yp, zp.
-
Zvolíme si počátek...
-
Řekněme, že tady jsou osy.
-
Nakreslím osy, tedy osy souřadnic.
-
Řekněme, že naše
soustava souřadnic vypadá takto.
-
Tohle je osa z. Tohle je osa y.
-
A tohle je naše osa x.
-
Naše osa x jde třeba tudy.
-
Tohle je naše osa x.
-
Tohle můžeme označit
jako polohový vektor.
-
To je polohový vektor.
Nakreslím ho takto.
-
Nakreslím ho tak.
-
A bude za rovinou, přesně tam.
-
A máme polohový vektor.
-
Tento vektor je daný
(xp)i plus (yp)j plus (zp)k.
-
Zadává souřadnice přímo tak,
-
aby ležel v rovině.
-
Nějak ho nazveme.
-
Nazveme tento polohový vektor třeba…
-
Nazveme ho třeba ‚p‘…
třeba ‚p1‘.
-
Toto je bod v rovině.
-
Tohle je tedy ‚p1‘.
-
A je roven tomuto.
-
Nyní můžeme vzít
další bod ležící v rovině.
-
Ten je specifický...
-
Řekněme další libovolný
bod v rovině x, y, z.
-
Ale bod x, y, z leží v rovině.
-
Řekněme, že vezmeme
tento bod přímo tady.
-
Logicky můžeme říci,
-
že je zadaný dalším polohovým vektorem.
-
Polohový vektor, který vypadá takto,
-
tečkovanou čarou.
-
Prochází pod rovinou přímo sem.
-
A tento polohový vektor...
-
Nazveme ho třeba...
-
... třeba ‚p‘, místo
specifického vektoru ‚p1‘.
-
Tento bude zadaný
jako xi plus yj plus zk.
-
Důvod, proč to všechno dělám, je
-
že hledám vektor,
mám-li zadaný konkrétní bod,
-
o kterém vím, že leží v rovině a
-
další bod x, y, z, který leží v rovině,
-
pak mohu najít, mohu sestrojit vektor,
-
který určitě leží v rovině.
-
A to už jsme se učili dříve.
-
Zkusíme přijít na to,
jaké jsou rovnice pro rovinu.
-
Takže vektor, který určitě leží v rovině,
-
bude rozdíl těchto dvou vektorů.
-
To udělám modrou barvou.
-
Vezmete-li žlutý vektor
minus zelený vektor
-
Vezmeme tuto polohu.
-
Dostanete vektor...
-
Podíváte se na to tak,
-
že spojujete tento bod s tímto bodem.
-
I když můžete vektor posunout,
-
dostanete vektor,
-
který určitě leží v rovině.
-
Dokonce i když...
-
I když začnete s některým z těchto bodů,
-
bude jistě ležet v rovině.
-
Takže vektor vypadá takto.
-
A bude ležet v naší rovině.
-
Takže tohle je vektor,
který leží v rovině.
-
Je to vektor p minus p1.
-
Tohle je vektor p minus p1.
-
Tento polohový vektor minus
-
tento polohový vektor dává tento vektor.
-
Další způsob, jak se na to podívat, je
-
zelený vektor plus modrý vektor,
-
který leží v rovině,
-
se rovná tomuto žlutému vektoru.
-
Naprosto jasně se rovnají.
-
Důvod, proč jsem to všechno dělal, je
-
že nyní můžeme udělat skalární součin
-
mezi modrým a fialovým vektorem.
-
To už jsme také dělali dříve.
-
A musí se to rovnat nule,
-
protože tohle leží v rovině
-
a tohle je kolmé na vše, co leží v rovině.
-
A položíme-li to rovno nule,
-
dostaneme rovnici roviny.
-
Ale ještě před tím se ujistíme,
-
že víme,
-
jaké jsou složky modrého vektoru.
-
Tedy p minus p1, to je modrý vektor.
-
Pouze odečteme jednotlivé složky,
-
takže dostaneme
-
(x minus xp) i, plus (y minus yp) j
plus (z minus zp) k.
-
A řekli jsme, že leží v rovině.
-
A tohle vpravo je normálový vektor,
-
je to normálový vektor roviny.
-
Vezmeme jejich skalární součin
-
a položíme roven 0.
-
Tedy ‚n‘ krát tento vektor
-
se rovná 0.
-
Ale je to zároveň rovno
‚a‘ krát tento výraz
-
Napíšu to rovnou tady.
-
Vyberu nějakou dobrou barvu.
-
Takže ‚a‘ krát tohle.
-
Což je ax minus axp, plus b krát toto.
-
To je plus by, minus byp.
-
Musím se ujistit, že mám dostatek barev.
-
Bude to plus toto krát toto.
-
Tohle plus cz minus czp.
-
A tohle všechno je rovno 0.
-
Co udělám dál je, že přepíšu tohle,
-
takže budeme mít všechny výrazy...
-
Budeme mít všechny výrazy s ‚x‘
-
Nezapomeňte, že je to
libovolné ‚x‘ ležící v rovině,
-
které to splňuje.
-
Tedy ax, by a cz.
-
Toto necháme na pravé straně
-
Tedy ax plus by plus cz se rovná...
-
Udělám to,
-
že odečtu každý z těchto
výrazů od obou stran.
-
Jinak řečeno
-
přesunu je...
-
... přesunu je
-
na levou stranu.
-
Přičtu axp k oběma stranám
-
jako ekvivalentní
operaci k odčítání -axp.
-
Takže dostaneme axp,
-
a dostaneme byp plus
-
plus byp a konečně plus czp,
-
plus czp a rovná se to tomuto.
-
Důvod, proč to dělám, je....
-
Dělal jsem to už u předchozího videa,
-
kde jsme hledali vzorec
-
nebo jinak hledali jsme rovnici roviny.
-
A teď můžete zajásat.
-
Máte-li normálový vektor,
-
a bod ležící v rovině,
-
řekněme xp, yp, zp,
-
můžeme velmi snadno určit rovnici.
-
Ale chtěl bych ukázat jiný způsob.
-
Chci, abyste uměli...
-
Kdybych vám zadal...
-
...kdybych vám zadal rovnici roviny,
-
kde Ax plus By plus Cz se rovná D,
-
Tedy, toto je obecná rovnice roviny,
-
Zadám vám toto.
-
Chci, abyste rychle uměli určit
-
normálový vektor.
-
Takže jak na to?
-
Ax plus By plus Cz je
-
naprosto analogická pravé straně.
-
Přepíšu to tady.
-
Tedy tato část je jasná.
-
Tato strana ax plus by plus cz
se rovná všemu,
-
co je na pravé straně.
-
Omlouvám se, na levé straně.
-
Zkopíruji to
-
a vložím sem.
-
V podstatě jsem jen
převrátil tento výraz.
-
Teď tedy vidíte...
-
Toto ‚a‘ musí být toto ‚A‘,
‚b‘ je toto ‚B‘
-
a ‚c‘ musí být tohle.
-
A ‚D‘ je toto všechno.
-
A z toho všeho bude číslo.
-
Toto všechno dává číslo.
-
Předpokládejme, že víte,
-
co je normálový vektor.
-
Co jsou tedy ,a', ,b' a ,c'?
-
Znáte konkrétní hodnoty,
-
Tedy toto je ‚D‘.
-
Tedy to je způsob,
jak dostanete rovnici roviny.
-
Zadám-li vám rovnici roviny,
-
co je normálový vektor?
-
Právě jsme to viděli.
-
Pro normálový vektor,
‚a‘ odpovídá ‚A‘,
-
,b' odpovídá ,B'
-
,c' odpovídá ,C'.
-
Normálový vektor roviny je ten,
se kterým jsme začali
-
a jeho složky jsou ,a', ,b', a ,c'.
-
Tedy, dostanete-li zadanou rovnici roviny,
-
Normálový vektor...
-
Normálový vektor
této roviny je právě tady,
-
Ai plus Bj plus Ck.
-
Je tedy velmi jednoduché,
-
když vám zadám rovnici roviny…
-
Ukažme si to na konkrétním příkladu.
-
Řeknu-li vám,
-
že máme rovinu v trojrozměrném prostoru.
-
Například -3,
-
samozřejmě bychom mohli
pracovat i s více dimenzemi.
-
Například -3x,
-
plus odmocnina ze 2y minus,
-
tedy plus 7z se rovná Pí.
-
Něco bláznivého, tedy není to bláznivé,
-
je to jen rovina v trojrozměrném prostoru.
-
A co je tedy normálový vektor této roviny?
-
Doslova,
-
doslova vezmete tyto koeficienty,
-
a řeknete, že normálový vektor roviny je
-
-3i plus (odmocnina ze 2)j plus 7k
-
a ignorujete část ‚D‘.
-
Část ‚D‘ můžete ignorovat,
-
protože jde jen o posunutí roviny,
-
ale nijak to nezmění naklonění roviny.
-
Takže tento normálový
vektor by byl normálový,
-
i kdyby zde bylo e (2,7…) nebo 100.
-
Byl by normálový pro všechny tyto roviny,
-
protože tyto roviny jsou posunuté,
-
ale všechny mají stejný sklon.
-
Všechny mají stejný směr,
-
tedy i všechny normálové
vektory mají stejný směr.
-
Doufejme, že vám to
alespoň trochu pomohlo.
-
Nyní na to můžete navázat
-
určováním vzdálenosti
libovolného bodu a roviny
-
v trojrozměrném prostoru,
-
a určením nejkratší možné
vzdálenosti od této roviny.
Khan Academy
