Normal vector from plane equation

В това видео искам да се уверя,

че можем да избираме
правилно кой е

нормалният вектор
към една равнина,

когато ни е дадено уравнението
на равнината.

За да направим това, първо
ще начертая някаква равнина.

Да започнем с...
това е равнина,

чертая част от нея, като, естествено,
тя продължава във всички посоки.

Да кажем, че това е
нашата равнина.

Нека това да е нормален вектор
към тази равнина.

Това е нашият нормален
вектор към равнината.

Той е дефиниран като
ai плюс bj плюс ck.

Това е нормалният вектор
към равината.

Той е перпендикулярен към нея.

Той е перпендикулярен на
всеки вектор в тази равнина.

Нека да имаме някаква
точка в равнината.

Това е точката х с индекс р.

Ще означим равнината като р.

Значи това е точка в равнината,
точка с координати (хр; ур; zр).

Ако изберем началото
на координатната система,

да кажем, че това са
нашите оси ето тук.

Ще начертая координатните оси.

Да кажем, че координатните
оси изглеждат ето така.

Това е оста z.

Това е, да кажем, оста у.

И това е оста х.

Да кажем, че оста х излиза
ето така.

Това е оста х.

Можем да определим това
като позиционен вектор.

Ще го начертая по този начин.

Той ще е зад равнината,
ето тук.

Това е позиционен вектор.

Този позиционен вектор ще бъде равен
на xp по i, плюс yp по j, плюс z по pk.

Той определя координатите на тази точка,
която лежи в равнината.

Ще означа този позиционен
вектор като – не знам –

нека да е р1.

Значи това е точка от равнината.

Това е вектор р1 и е равен на това.

Можем да вземем друга точка
от равнината.

Това е една конкретна точка
от равнината.

Произволна друга точка
от нашата равнина, (х; у; z).

Точката (х; у; z) лежи
в равнината.

Нека тя да се намира
ето тук, точка (х; у; z).

Тя по същата логика може да бъде
определена с друг позиционен вектор.

Може да имаме ето такъв
позиционен вектор.

С пресечена линия.

Той е под равнината, ето така.

И този позиционен вектор,
не знам,

нека да го наречем р, за разлика
от този конкретен вектор р1.

Този вектор е x по i + y по j + z по k.

Причината да правя тези
построения, е защото

когато имам някаква конкретна
точка, която знам, че

лежи в равнината, и произволна друга точка
(x; y; z), която лежи в равнината,

мога да построя вектор, който
определено лежи в равнината.

Правили сме го преди,

когато търсехме уравнението
на равнината.

Един вектор, който определено
лежи в равнината,

е равен на разликата на
тези два позиционни вектора.

Ще го направя в синьо.

Ако вземем жълтия вектор, минус
зеления вектор.

Ако вземем разликата на тези
позиционни вектор, получаваме вектор,

който, ако го разглеждаме
по този начин,

свързва тези две точки.

Макар че един вектор
може да се мести.

Но получаваш вектор, който
задължително лежи в равнината.

Ако започнеш от една
от тези точки,

той задължително лежи
в равнината.

Векторът ще изглежда ето така.

Той ще лежи в равнината.

Това е векторът р минус р1.

Този позиционен вектор минус
този позиционен вектор дава този вектор.

Друг начин да го представим е
този зелен позиционен вектор

плюс този син вектор, който
лежи в равнината,

със сигурност е равно
на този жълт вектор, нали?

Начало към край.
Определено е равно на това.

Причината да направя това е

че можем да намерим скаларното
произведение на тези два вектора –

на този син вектор и на този
цикламен вектор.

Правили сме го вече.

То трябва да е равно на 0,
защото това лежи в равнината.

Този вектор е перпендикулярен на всичко,
което лежи в равнината, и това е равно на 0.

Така получаваме уравнението
на равнината.

Но преди да го направя, искам
да се уверя,

че знаем кои са компонентите
на този син вектор.

Значи р минус р1, това е
синият вектор.

Просто изваждаме съответните
компоненти.

Значи това ще бъде х минус хр.

Ще бъде (x – xp) по i, плюс (y –
yp) по j, плюс (z – zp) по k.

Току-що казах, че
това е в равнината.

И това тук е нормалният вектор,
който е нормален за тази равнина.

Взимаме тяхното скаларно
произведение и то ще е равно на нула.

Значи скаларното произведение на
вектор n и този вектор ще е равно на 0.

Но то също така по определение е равно на сбора
от произведенията на съответните компоненти
на двата вектора.

Ще го направя ето тук.

Значи тези... искам
някакъв хубав цвят.

Значи: „а“ по това е равно на а по х,
минус а по хр, плюс b по това.

Това е плюс b по y
минус b по yp.

Само да се уверя, че
имам достатъчно цветове.

И после ще имаме плюс това
по това.

Значи това е плюс c по z
минус c по zp

И всичко това е равно на 0.

Сега ще преработя това.

Имаме всички тези членове,
които търся, нали?

Търся правилния цвят.

Имаме всички х членове... ах.

Спомни си, всички
х, които са в равнината,

удовлетворяват това.

Значи a по x, b по y и c по z

Ще оставя това тук отдясно.

Значи a по x, плюс b по y,
плюс c по z е равно на...

сега искам да извадя всяко
от тези от двете страни.

Другият начин е
да ги преместя всичките.

Не искам да правя твърде
много неща.

Ще ги преместя от лявата страна.

Ще прибавя +а по хр
към двете страни.

Това е същото като да извадя –а по хр.

Значи това ще е +а по хр.

После ще имаме + b по yp плюс...

ще използвам същото зелено –
плюс b по yp, и после плюс c по zp

ще е равно на това.

Причината да направя това...
правил съм го и в предишни уроци,

където търсехме тази формула,

или опитвахме да намерим
уравнението на равнина.

И сега казваме, че
имаме нормален вектор,

и че, ако ни е дадена точка от
равнината – в този случай

това е точката (хр; yp; zp) –

сега можем много бързо
да намерим уравнението.

Но аз искам да го
направя по другия начин.

Искам да можеш, ако
ти дам

уравнението на една равнина, което е
А по х плюс В по y плюс С по z равно на D.

Това е общото уравнение
на равнина.

Ако ти е дадено това,
искам да можеш

бързо да намериш
нормалния вектор.

Как може да стане това?

Това Ах +Вy + Сz = D е напълно
аналогично на тази част ето тук.

Ще препиша това ето тук,
така че да стане ясно.

Тази част ах + by + cz

е равна на всичко това
тук отляво.

Ще го копирам и поставя.

Аз просто обърнах този израз.

Но сега виждаш, че всичко това,
това а трябва да е това А.

Това b трябва да е това В.

И това с трябва да е ето това С.

А после D е всичко това.

Това просто ще бъде число.

Това просто ще е число, ако приемем, че
знаем кой е нормалният вектор,

колко са а, b и с, ако знаем
една конкретна стойност.

Значи това е равно на D.

Така можеш да получиш
уравнението на равнината.

Ако ти дам уравнението
на равнината,

кой е нормалният вектор?

Току-що го видяхме.

Нормалният вектор, това А
съответства на това а,

това В съответства на това b,
а това С съответства на това с.

Нормалният вектор към
тази равнина, с която започнахме,

има компоненти а, b и с.

Ако ти е дадено уравнението
на равнината,

нормалният вектор
към тази равнина

ще е равен на Аi + Вj + Сk.

Това е много лесно.

Ако ти дам уравнението
на една равнина...

Ще дам конкретен пример.

Ако ти кажа, че имам
равнина с три измерения –

въпреки че това важи
за произволен брой измерения.

Нека да имаме –3х плюс
корен квадратен от 2у,

нека да е по този начин –
минус, или да кажем

плюс 7z е равно на пи.

Имаме тази луда –
нямам предвид, че е луда.

Това е просто равнина
в три измерения.

Кой е нормалният вектор
към тази равнина?

Можеш просто да вземеш
тези коефициенти,

и да кажеш, че нормалният
вектор към тази равинна

е –3i плюс квадратен корен от 2j,

плюс 7k.

Тук можем да игнорираме
тази част с D.

Причината да пренебрегваме D е,

че можем само да преместим
равнината,

без да променяме основно
нейния наклон.

И тогава този нормален вектор
отново ще е нормален,

дори ако това е 100, той ще е нормален
вектор към всички тези равнини,

защото те са само преместени,

но имат еднакъв наклон.

Те един вид всичките
имат една и съща посока.

Така че нормалният вектор
ще е насочен в същата посока.

Надявам се, че смяташ, че това
е полезно за теб.

Сега ще надградим това,
за да намерим разстоянието

между произволна точка
в три измерения и някаква равнина.

Най-късият път, за да
стигнем до равнината.