Finding horizontal and vertical asymptotes

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0:00 - 0:10

6x²-54 분의 3x²-18x-81과 같은 값의
함수 f(x)가 있습니다
0:10 - 0:12

이제부터 제가 하고 싶은 것은
0:12 - 0:15

방정식의 수평 점근선과
0:15 - 0:17

수직 점근선을 찾는 것이죠
0:17 - 0:20

본격적으로 시작하기 전에
0:20 - 0:21

지금 동영상 재생을 멈추시고
0:21 - 0:24

스스로 풀어보는 것을 시도해보시기를 바랍니다
0:24 - 0:27

다 푸셨나요?
0:27 - 0:28

그럼 이제 각각을 생각해보도록 하죠
0:28 - 0:35

점근선이 최소 한 개라도 존재한다고 생각하고
0:35 - 0:37

먼저 수평 점근선에 대해 생각해봅시다
0:37 - 0:53

수명 점근선은 절댓값 x가 무한으로 도달할 때
f(x)가 가까워지는 수평선입니다.
0:53 - 1:00

같은 의미로 x가 양의 무한으로 도달할 때나
1:00 - 1:04

x가 음의 무한으로 도달할 때
f(x)가 가까워지는 수평선이라고도 할 수 있죠
1:04 - 1:09

두 가지 모두 생각 가능한 방법입니다.
1:09 - 1:16

그럼 f(x)의 정의를 한 번 더 써보도록 하죠
1:16 - 1:21

6x²-54 분의 3x²-18x-81 입니다
1:21 - 1:24

이제 두 가지 방법이 있습니다.
1:24 - 1:28

하나라도 좋습니다
1:28 - 1:30

절댓값 x가 점점 더 커지고 커짐에 따라
1:30 - 1:33

분자와 분모의 가장 높은 차수 항이
1:33 - 1:39

지배적으로 작용하게 됩니다
1:39 - 1:41

가장 높은 차수 항은 뭘까요?
1:41 - 1:44

분자는 3x²를 가지고 있고
1:44 - 1:47

분모는 6x²을 가지고 있습니다
1:47 - 1:53

절댓값 x가 무한으로 가게 되면
1:53 - 1:55

절댓값 x가 무한으로 가게 되면
1:55 - 1:57

언급한 두 항이 지배적으로 작용하겠죠
1:57 - 2:03

f(x)는 점점 6x²분의 3x²에 가까워집니다
2:03 - 2:05

f(x)는 점점 6x²분의 3x²에 가까워집니다
2:05 - 2:07

나머지 항들은 그다지 영향이 없어지는 것이죠
2:07 - 2:09

분명히 -54는 절대 커지지 못하고
2:09 - 2:12

-18x도 3x²에 비하면
2:12 - 2:14

매우 느리게 커질 것입니다
2:14 - 2:17

결국 가장 큰 차수 항만이
지배적인 영향을 끼치게 되는 것이죠
2:17 - 2:19

저 두 항들만 본다면
2:19 - 2:22

f(x)가 3/6나 1/2에 점점 가까워 질 것이라고
2:22 - 2:25

f(x)가 3/6나 1/2에 점점 가까워 질 것이라고
2:25 - 2:28

간단하게 생각할 수 있게 됩니다
2:28 - 2:30

수평 점근선은 y=1/2라고 할 수 있는 것이죠
2:30 - 2:36

수평 점근선은 y=1/2라고 할 수 있는 것이죠
2:36 - 2:37

다른 방법으로 생각해보죠
2:37 - 2:40

만약 두 항이 지배적으로 작용한다는 것이 혼돈스럽다면
2:40 - 2:43

만약 두 항이 지배적으로 작용한다는 것이 혼돈스럽다면
2:43 - 2:46

분자와 분모를 가장 큰 차수의 항으로 나누거나
2:46 - 2:50

가장 큰 차수의 x로 나누는 것이죠
2:50 - 2:51

가장 큰 차수의 x로 나누는 것이죠
2:51 - 2:54

분자의 가장 높은 차수 항인 x²으로
2:54 - 2:58

분자와 분모를 나눠보도록 하죠
2:58 - 3:00

분자뿐 아니라 분모에서도 가장 높은 차수의 항은
3:00 - 3:02

x²이라는 것도 언급해야겠네요
3:02 - 3:04

이제 진짜 분자와 분모를 나눠보도록 합시다
3:04 - 3:05

이제 진짜 분자와 분모를 나눠보도록 합시다
3:05 - 3:10

분자와 분모에 1/ x²를 곱합니다
3:10 - 3:14

분자와 분모에 1/ x²를 곱합니다
3:14 - 3:16

그렇다고 전체의 크기는 변하지 않는 것을 아셔야합니다
3:16 - 3:20

그저 0이 아닌 x로 된 1/ x²로
3:20 - 3:23

분자와 분모를 동시에 곱한 것이죠
3:23 - 3:25

둘 다 끝났고
3:25 - 3:28

분자를 보시면 3x²이 x²으로 나뉘어져
3:28 - 3:29

분자를 보시면 3x²이 x²으로 나뉘어져
3:29 - 3:36

3 - 18/x - 81/x²이 됩니다
3:36 - 3:39

그리고 분모에서는 6x²이 x²으로 나뉘어져
3:39 - 3:41

그리고 분모에서는 6x²이 x²으로 나뉘어져
3:41 - 3:46

6 - 54/x가 되는 것을 알 수 있죠
3:46 - 3:48

무슨 일이 일어난걸까요?
3:48 - 3:51

이 항들에 대해 생각해보면
3:51 - 3:53

어떤 것이 무한에 근접할 것을 알 수 있습니다
3:53 - 3:54

어떤 것이 무한에 근접할 것을 알 수 있습니다
3:54 - 3:57

x가 무한에 근접한다면
3:57 - 3:58

x가 무한에 근접한다면
3:58 - 3:59

어떤 일이 일어날까요?
3:59 - 4:03

이들 모두 0에 가까워질 것이고
4:03 - 4:09

결국은 3/6이나 1/2가 됩니다
4:09 - 4:11

만약 x가 음의 무한에 가까워진다면 어떨까요?
4:11 - 4:12

마찬가지입니다
4:12 - 4:14

역시 이들 모두 0에 가까워지게 되고
4:14 - 4:17

1/2에 도달하게 됩니다
4:17 - 4:19

y=1/2가 수평 점근선인 것이죠
4:19 - 4:22

y=1/2가 수평 점근선인 것이죠
4:22 - 4:25

이제 수직 점근선에 대해 생각해봅시다
4:25 - 4:28

여기에 써보도록 하죠
4:28 - 4:29

여기에 써보도록 하죠
4:29 - 4:37

수직 점근선 또는 점근선은
4:37 - 4:41

아마 1개 이상 존재할 것입니다
4:41 - 4:43

여러분은 이렇게 생각하기 쉬울 겁니다
4:43 - 4:45

"좋아, 정의되지 않는 유리식인
분모가 0이 될 때 수직 점근선이 될 거야"
4:45 - 4:47

"좋아, 정의되지 않는 유리식인
분모가 0이 될 때 수직 점근선이 될 거야"
4:47 - 4:50

라고 말이죠
4:50 - 4:52

그렇지만 이러한 경우에서는
4:52 - 4:55

정확하지 못한 방법입니다
4:55 - 4:58

그저 분모를 0으로 만든다고
4:58 - 5:01

수직 점근선이 되는 것은 아닙니다
5:01 - 5:02

분명이 이 영역은 함수가 정의되지 않을 것 입니다
5:02 - 5:03

분명이 이 영역은 함수가 정의되지 않을 것 입니다
5:03 - 5:06

그러나 수직 점근선이 될 수는 없죠
5:06 - 5:09

분모에 대해 생각해봅시다
5:09 - 5:10

아마 인수분해가 가능할 것입니다
5:10 - 5:11

분자와 분모 모두 인수분해 할 것 입니다
5:11 - 5:12

분자와 분모 모두 인수분해 할 것 입니다
5:12 - 5:17

새로운 f(x)를 적어보면
5:17 - 5:19

분자는 분명히 3의 배수일 것입니다
5:19 - 5:20

분자의 세 항만 뽑아 써봅시다
5:20 - 5:23

3x²-18x-81는 3(x²-6x-27)이 될 것입니다
5:23 - 5:26

3x²-18x-81는 3(x²-6x-27)이 될 것입니다
5:26 - 5:30

마찬가지로 분모도 6으로 나뉘어집니다
5:30 - 5:32

마찬가지로 분모도 6으로 나뉘어집니다
5:32 - 5:35

6(x²-9)가 되고
5:35 - 5:39

분자와 분모가 인수분해가 가능한지 보죠
5:39 - 5:41

분자와 분모가 인수분해가 가능한지 보죠
5:41 - 5:46

인수분해를 시작해보자면
5:46 - 5:50

두 수의 곱이 -27이 되고
5:50 - 5:52

합은 6이 됩니다
5:52 - 5:54

아마 두 수는 -9와 3 같습니다
5:54 - 5:59

인수분해 결과 3(x-9)(x-3)에
5:59 - 6:02

인수분해된 분모를 나눕니다
6:02 - 6:04

분모를 인수분해하면
6:04 - 6:09

6(x-3)(x+3)이 됩니다
6:09 - 6:13

언제 분모가 0이 될까요?
6:13 - 6:18

x가 3이나 -3일 때 분모는 0이 됩니다
6:18 - 6:22

x가 3이나 -3일 때 분모는 0이 됩니다
6:22 - 6:26

x가 3이나 -3일 때 분모는 0이 됩니다
6:26 - 6:28

잠시 동영상을 멈춰보고
6:28 - 6:32

두 개의 수직 점근선에 대해 생각해봅시다
6:32 - 6:35

아마 x가 -3이 될 때
6:35 - 6:40

분자 또한 0이 되는 것을 깨달으셨을 겁니다
6:40 - 6:43

이들을 더욱 간단하게 하면
6:43 - 6:45

수직 점근선의 위치가
6:45 - 6:47

좀 더 깔끔해질 겁니다
6:47 - 6:48

f(x)에 대해 말해보자면
6:48 - 6:51

분자와 분모 모두 (x+3)로 나뉩니다
6:51 - 6:54

분자와 분모 모두 (x+3)로 나뉩니다
6:54 - 6:55

여기서 핵심은
6:55 - 6:56

동일한 함수를 얻고 싶다면
6:56 - 6:59

특정 절차를 거쳐야 한다는 것입니다
6:59 - 7:02

x가 -3일 때 함수가
정의되지 않는다는 것을 확인하는 것이죠
7:02 - 7:05

그러면 0으로 나누어야한다는 것을 알 수 있습니다
7:05 - 7:06

그렇지만 우리는 더욱 간단하게
표현 가능하다는 것을 기억해야합니다
7:06 - 7:08

그렇지만 우리는 더욱 간단하게
표현 가능하다는 것을 기억해야합니다
7:08 - 7:11

(x+3)로 분자와 분모를 나눈다면
7:11 - 7:13

정확히 같은 함수가 될 것 입니다
7:13 - 7:14

정확히 같은 함수가 될 것 입니다
7:14 - 7:22

이는 6(x-3)분의 3(x-9)이 될 것입니다
7:22 - 7:29

더이상 x는 -3을 해로 가지지 않죠
7:29 - 7:32

알아야할 것은 이건 원래 함수와 동일하다는 것입니다
7:32 - 7:33

알아야할 것은 이건 원래 함수와 동일하다는 것입니다
7:33 - 7:37

x가 -3이 아니라는 수식어를 붙이는 이유는
7:37 - 7:39

x가 -3이 아니라는 수식어를 붙이는 이유는
7:39 - 7:42

원래 함수가 x는 -3에서 정의되지 않기 때문이죠
7:42 - 7:44

원래 함수가 x는 -3에서 정의되지 않기 때문이죠
7:44 - 7:47

(x+3)을 분자와 분모에서 제거하면
7:47 - 7:48

(x+3)을 분자와 분모에서 제거하면
7:48 - 7:53

x=-3은 더 이상 원래 함수의 영역이 아닙니다
7:53 - 7:54

x=-3은 더 이상 원래 함수의 영역이 아닙니다
7:54 - 7:55

기억해야할 것은
7:55 - 7:57

만약 이 함수를 그대로 적는다면
7:57 - 7:58

그건 같은 함수가 아닙니다
7:58 - 8:00

x=-3에서 정의되지 않는다는 수식어가 없기 때문입니다
8:00 - 8:03

x=-3에서 정의되지 않는다는 수식어가 없기 때문입니다
8:03 - 8:04

그치만 우린 똑같은 함수를 원하므로
8:04 - 8:07

이 점에서는 불연속일 것입니다
8:07 - 8:08

이 점에서는 불연속일 것입니다
8:08 - 8:11

이젠 수직 점근선에 대해 생각해볼 수 있습니다
8:11 - 8:13

수직 점근선은 분모를 0으로 만들지만
8:13 - 8:15

분자는 0으로 만들지 않을 것입니다
8:15 - 8:17

분자는 0으로 만들지 않을 것입니다
8:17 - 8:20

x=-3은 분자와 분모를 0으로 만드므로
8:20 - 8:23

수직 점근선이 아니게 됩니다
8:23 - 8:25

초록색으로 적어보면
8:25 - 8:33

우리가 찾는 수직 점근선은
8:33 - 8:37

x=+3 이 됩니다
8:37 - 8:39

이는 분모를 0으로 만들지만
8:39 - 8:42

분자는 그렇지 못하죠
8:42 - 8:46

즉, 수직 점근선은 x=+3 입니다
8:46 - 8:50

얻어낸 이 두 점을 통해
8:50 - 8:51

얻어낸 이 두 점을 통해
8:51 - 8:55

그래프를 그릴 수 있습니다
8:55 - 8:57

이는 점근선 근처의 구성에 대해
8:57 - 8:59

이는 점근선 근처의 구성에 대해
8:59 - 9:02

충분한 정보는 아닙니다
9:02 - 9:06

그치만 두 점근선이 있으므로
9:06 - 9:08

그치만 두 점근선이 있으므로
9:08 - 9:13

재미를 위해 해보도록 하죠
9:13 - 9:16

그저 그래프를 완성해보도록 하죠
9:16 - 9:21

함수를 이렇게 생길 것입니다
9:21 - 9:22

정확한 크기는 아니지만
9:22 - 9:25

1과 1/2은 여기가 되겠죠
9:25 - 9:33

y=1/2는 수평 점근선이 됩니다
9:33 - 9:35

y=1/2는 수평 점근선이 됩니다
9:35 - 9:36

수직 점근선을 그려보면
9:36 - 9:39

x=+3이 될 것입니다
9:39 - 9:42

크기를 대충 재보면
9:42 - 9:43

파란색으로 표시하겠습니다
9:43 - 9:48

정확한 크기는 아니지만
9:48 - 9:50

x축과 y축 눈금이 다르지만
9:50 - 9:53

이런식으로 수직 점근선을 그릴 수 있습니다
9:53 - 9:55

이렇게 그리면 정확한 함수는 모르지만
9:55 - 9:57

이렇게 그리면 정확한 함수는 모르지만
9:57 - 9:58

아마 이런 식으로 생겼을 겁니다
9:58 - 10:02

여기에 이런식으로 생기거나
10:02 - 10:05

여기에 생길 수도 있습니다
10:05 - 10:10

아니면 이런식으로도 생길 수 있고
10:10 - 10:14

아니면 여러 형태로 가능합니다
10:14 - 10:15

여기서 발상을 얻어 어떻게 생겼는지
10:15 - 10:17

알아낼 수 있기를 바랍니다
10:17 - 10:19

특정 점에서 확인해 볼 수도 있겠네요
10:19 - 10:21

확실히 해야할 또 한 가지는
10:21 - 10:22

x=-3에서 함수가 정의되지 않는다는 것입니다
10:22 - 10:28

x=-3에서 함수가 정의되지 않는다는 것입니다
10:28 - 10:34

x=-3을 그려보면
10:34 - 10:38

여기가 그 위치가 되고
10:38 - 10:39

함수는 이런 식으로 생길 수 있습니다
10:39 - 10:41

함수는 이런 식으로 생길 수 있습니다
10:41 - 10:45

함수가 정의되지 않는 -3에서는
10:45 - 10:48

이런 식으로 생길 겁니다
10:48 - 10:50

나머지 부분도 이런 식으로 되겠죠
10:50 - 10:52

나머지 부분도 이런 식으로 되겠죠
10:52 - 10:59

아니면 이렇게 나타날 수도 있고
10:59 - 11:01

-3에서는 정의되지 않죠
11:01 - 11:03

여기는 점근선과 매우 가까이 있어
11:03 - 11:04

가까이 그려야합니다
11:04 - 11:06

이 쪽은 이렇게 생기거나
11:06 - 11:07

이런 식으로 나타나게 됩니다
11:07 - 11:09

다시 말하지만 정확한 모양을 원한다면
11:09 - 11:12

몇 가지 값을 확인해봐야합니다
11:12 - 11:15

이 영상이 끝난 뒤 스스로 해보세요
11:15 - 11:21

정확한 그래프 모양도 확인해보고 말입니다

Title:: Finding horizontal and vertical asymptotes
Description:: more » « less
Video Language:: English
Team:: Khan Academy
Duration:: 11:22

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