Kruhy: Polomer, Priemer a Obvod

Vysvetlenie vzťahov medzi priemerom, polomerom a obvodom. Číslo Pi.

Kruh je asi najzákladnejším útvarom nášho vermíru,

či už sa pozeráme na obežné dráhy planét,

kolesá

alebo veci na molekulárnej úrovni.

Kruh sa jednoducho stále a stále

všade objavuje.

Takže sa nám určite zíde rozumieť niektorým jeho

základným vlastnostiam.

Ľudí prirodzene zaujímali vlastnosti kruhu

(videli obrovský kruh už len keď pozreli na mesiac v noci)

a určite nastal niekedy moment, keď si prvýkrát niekto povedal:

Aké sú vlastnosti kruhu?

Prvú vec, ktorú si mohli všimnúť je, že kruh sú vlastne

vsetky body rovnako vzdialené

od jedného bodu.

Všetky tieto body tu, sú rovnako vzdialené od

tohoto stredu.

Prvá vec, ktorú sa môžete pýtať, je, že

čo je tá rovnaká vzdialenosť

od stredu?

Tá presne tu?

Volá sa polomer.

Je to vzdialenosť od stredu po okraj.

Ak je tento polomer 3 cemtimetre, tak aj tento polomer

bude 3 cemtimetre.

Aj tento polomer bude 3 centimetre.

Nikde nebude iný.

Kruh je podľa definície všetky body, ktoré sú rovnako

vzdialené od stredu.

A tá vzdialenosť je práve polomer.

Druhá zaujímavá vec, ktorú mohli ľudia chcieť vedieť, je

aký je kruh "tučný"?

Kde je najširší?

Alebo keby sme ho prestrihli na najširšom mieste,

aká by toto bola dĺžka?

A dokonca to nemusí byť len tu. Možeme

kruh prestrihnúť rovnako najširším miestom aj tu.

Len ho nesmiem prestrihnúť niekde ako napríklad tu,

lebo to by nebolo najširšie miesto.

Je veľa možností ako kruh prestrihnúť na jeho

najširšom mieste.

Už sme videli polomer a teraz vidíme, že najširšia časť kruhu,

prechadza cez stred kruhu.

Čiže vlastne to sú dva polomery.

Jeden polomer máme tu a druhý polomer

máme tu.

Túto vzdialenosť voláme

priemer kruhu.

Takže toto je priemer kruhu.

A má jednoduchý vzťah s polomerom.

Priemer sa rovná dvom polomerom.
Priemer = 2 * Polomer

Ďalšia najzaujímavejšia vec, ktorá vás môže zaujímať,

je ako je to ďaleko OKOLO celého kruhu.

Keby ste si zobrali meter

a odmerali by ste okraj kruhu, aká by to bola dĺžka?

Volá sa obvod.

Už vieme aký je vzťah medzi polomerom a priemerom, ale

aký je vzťah medzi obvodom a napríklad priemerom?

A ak sa vám nepáči priemer,

vždý sa dá nájsť vzťah s polomerom.

Tisícky rokov dozadu, ľudia vytiahli svoje metre

a merali obvody a polomery

kruhov.

A povedzme, že ich metre neboli zrovna najpresnejšie.

Povedzme, že keď odmerali obvod,

vychádzal im na približne 3.

Potom odmerali priemer kruhu

a povedali si, že priemer je

približne 1.

Potom by si povedali, že si to zapíšu.

A keďže ich zaujímal pomer,

prepísali si to takto.

Pomer obvodu kruhu ku priemeru kruhu.

Takže povedzme, že niekto mal takýto kruh.

Presne taký istý ako náš.

Odmerali obvod kruhu

a povedali si, že je to približne

3 metre.

A keď odmerali priemer kruhu,

bolo to približne 1.

Dobre, to je zaujímave.

Možno pomer obvodu ku priemeru je

naozaj 3.

Možno obvod kruhu je vždy presne trikrát toľko

ako jeho priemer.

Ešte vždy to ale mohlo byť tak iba pre ten jediný kruh.

Tak to skúsili pre iný kruh.

Trošku iný.

Povedzme, že keď odmerali obvod kruhu, namerali

približne 6 centimetrov.

(Stále mali nepresné metre)

Potom odmerali priemer, a vyšli im

2 centimetre.

A zasa sa im potvrdilo, že pomer obvodu ku priemeru,

je približne 3.

To je celkom pekná vlastnosť.

Možno je pomer obvodu ku priemeru vo všetkých kruhoch

rovnaký.

Ale vo výskume pokračovali.

Našli si presnejšie meracie nástroje.

Odmerali svoj prvý kruh ešte raz a zistili,

že ich priemer je určite 1.

Povedali si, že ich priemer je určite presne 1, ale

keď odmerali obvod, priblížil

sa skôr ku 3,1.

A rovnako to bolo aj s pomerom tu.

Zistili, že ich pomer je bližšie ku 3,1.

Ale stále to merali dalej, lepšie a lepšie

A postupne ako merali,

vychádzalo im stále presnejšie a presnejšie číslo.

Číslo 3,14159

a stále im len rástol počet číslic, ktoré sa nikdy

neopakovali.

Bolo to zvláštne a fascinujúce číslo,

ktoré sa potom vyskytovalo aj inde.

Toto číslo je jedno z najzákladnejších čísel nášho vesmíru

a keďže aj kruh je najzákladnejším úvtarom nášho vesmíru,

nieje prekvapujúce, že sa v ňom objavilo.

Pomerom obvodu ku priemeru je toto magické číslo,

ktoré aj ľudia pomenovali.

Pomenovali ho Pi a značí sa Latinským

alebo Gréckym písmenom takto.

Reprezentuje to číslo, ktoré je hádam

najfascinujúcejším číslom vo vesmíre.

Najprv sa ukáže ako pomer obvodu kruhu ku jeho polomeru,

no dalej v matematike,

sa ešte veľakrát ukáže.

Práve takéto číslo ukazuje,

aký pekný poriadok vo vesmíre je.

Ale ako ho vieme použiť

v základnej matematike?

Vieme, (alebo vlastne vám hovorím) že pomer

obvodu ku priemeru (keď hovorím pomer,

doslova myslím, že len podelíte obvod priemerom)

dostanete číslo Pi.

Pi je jednoducho toto číslo.

Mohol by som napísať 3,14159 a ísť dalej a ďalej,

no to by bola strata času a bolo by ťažké

s ním pracovať, preto sa jednoducho píše ako

Grécke písmeno Pi.

A ako to použijeme?

Môžeme obe strany rovnice prenásobiť priemerom

a vidíme, že obvod kruhu sa rovná

Pi krát priemer.

A keďže vieme, že priemer je dvakrát polomer,

vieme povedať, že obvod sa rovná

2 krat Pi krat polomer.

Forma v akej to budete často vidieť, je

2 Pi r.

Tak sa poďme pozrieť, ako to bude fungovať.

Povedzme, že máme kruh

s polomerom 3.

Najprv to napíšem.

Može to byť napríklad 3 metre.

Aký je obvod nášho kruhu?

Obvod je 2 krát Pi krát polomer.

Takže to bude 2 krát Pi krát polomer, čo je

3 krát 2 krát Pi

alebo 6 krat Pi.

6 Pi metrov.

A aj to možem stále násobiť.

Treba si pamätať, že Pi je len číslo.

Pi je 3,141259 a veľa ďalších cifier.

A keď ním vynásobím 6, dostanem 18 celých

niečo niečo niečo.

Ak máte kalkulačku, môžete to prenásobiť,

no aby to bolo jednoduché, ľudia to radšej

nechajú vo forme Pi.

Neviem presne čo to bude keď sa to vynásobí,

no bude to blízko 19.

18 celých niečo

niečo niečo.

Nemám pri sebe kalkulačku.

Namiesto takého čisla, píšeme radšej

iba 6 Pi.

Nezdá sa mi, že by to bolo

viac ako 19.

Teraz sa pýtam jedno.

Čo je priemer nášho kruhu?

No, ak je polomer 3, tak priemer bude dvakrát toľko.

Takže to bude 2 krát 3.

Teda 6.

Takže obvod je 6 Pi metrov, priemer je 6 metrov

a polomer sú 3 metre.

Skúsme to teraz opačne.

Povedzme, že máme nový kruh.

Takýto kruh.

A povedzme, že jeho obvod je 10 metrov.

Tu je náš obvod.

Takže ak poznáme obvod,

ako zistíme priemer?

Vieme, že priemer je Pi krát priemer

sa rovná obvodu.

Sa rovná 10 metrov.

Takže stačí podeliť obe strany rovnice

číslom Pi.

Teda vidíme, že priemer je

10 lomeno Pi.

A to je tiež len číslo.

Stále môžeme použit kalkulačku a podeliť 10 / Pi.

Výsledok bude 3 celých niečo

niečo niečo metrov.

Z hlavy sa to nedá,

no je to len číslo,

ktoré pre jednoduchosť nechávame tak.

A čo je náš polomer?

Polomer je polovica priemeru.

Vlastne celá táto vzdialenosť, je 10/Pi metrov.

Ak chceme iba polovicu toho,

treba to prenásobiť polovicou.

Máme 1/2 krát 10/Pi.

Môžeme podeliť menovateľa a čitateľa

dvojkou

Zostane nám 5/Pi.

Takže polomer je 5/Pi

Nič extra špeciálne.

Treba si len uvedomiť,

že Pi je len číslo.

Je to len 3,14159 s kopcom desatinných miest.

Existujú tisícky kníh o čísle Pi.

Dobre, možno trošku preháňam,

no kníh by sa dalo písať mnoho.

Je to len číslo.

A ak sa vám nepáči ho písať ako Pi

vždy ho môžete vynásobiť

a písať číslami.

Väčšina ľudí ho ale uprednostnuje ako Pi.

Bez číslic.

Tu to asi necháme už tak.

V nasledujúcom videu budeme počítať plochu kruhu.