Окръжност: Радиус, диаметър и обиколка

Кръглата форма безспорно
е най-основната форма във Вселената,

независимо дали говорим за
формата на орбитите,

на колелата или формите на

молекулярно ниво.

Кръглата форма се появява

отново и отново. Навсякъде.

Затова си струва да разберем

някои от характеристиките на тази форма.

Когато хората открили кръга,

а за да го видиш, просто
трябва да погледнеш Луната,

явно се запитали какви са основните

свойства на кръглата форма.

Най-очевидно е определението за окръжност:

множеството от всички точки,
които са на равно разстояние

от центъра на окръжността.

Всички тези точки по линията
са на равно разстояние от

този център ето тук.

Тогава възниква въпросът

какво е това равно разстояние

от центъра?

Ето тук.

Наричаме това радиус.

Той е просто разстоянието
от центъра до линията.

Ако този радиус е 3 сантиметра,
то и този радиус

ще е 3 сантиметра.

И този радиус ще е 3 сантиметра.

Няма да се промени.

По дефиниция окръжността
е съвкупността от всички точки на равно

разстояние от централната точка.

И това разстояние е радиусът.

Следващото интересно нещо за това...
Някой може да попита

колко е "дебела" окръжността.

Колко е широка в най-широката си точка?

Или ако просто искаш да я
срежеш по ширина,

какво ще е това разстояние ето тук?

Не трябва да е точно тук, мога да

го срежа и по ширина
ето тук също така.

Но не и тук,

понеже това няма да е по ширина.

Има много възможности за срязване

в най-широкото място.

Видяхме радиуса. А сега и среза по ширина,

който преминава през центъра.

Тоест стават два радиуса.

Имаш един радиус тук
и после имаш още един

радиус ето тук.

Наричаме това разстояние
по най-широката част

диаметър.

Това е диаметърът на окръжността.

Има много проста връзка с радиуса.

Диаметърът е равен на 2 пъти радиуса.

Следващото интересно нещо, което може

да се чудиш за окръжността е
колко е обиколката й.

Ако трябва да извадиш ролетката си и

да измериш обиколката ето така,
колко ще е то?

Това е обиколката на окръжността.

Знаем как са свързани
диаметърът и радиусът,

но как обиколката е свързана
с диаметъра?

Много е лесно да видиш

как е свързана с радиуса.

Преди много хиляди години
хората изваждали ролетките си

и непрекъснато мерели обиколките

и радиусите.

Но ако ролетките им
не били толкова добри,

те измервали обиколката

и получавали около 3.

После обаче измерили радиуса ето тук,

или може би диаметъра, и

видели, че диаметърът е около 1.

И решили... Нека запиша това.

Интересува ни отношението – нека

го запиша ето така.

Отношението на обиколката към диаметъра.

Да кажем, че някой има
една окръжност ето тук –

и първия път с не толкова добра рулетка

този човек е измерил
обиколката на окръжността

и си казал, че е приблизително

равна на 3 метра.

Казва си: "Като измеря
диаметъра на окръжността,

той е приблизително равен на 1.

Това е интересно.

Може би отношението на

обиколката към диаметъра е 3.

Може би обиколката е винаги

три пъти диаметъра."

Това е за тази окръжност,
но да кажем, че

човекът е измерил някаква
друга окръжност.

Като тази – начертах я по-малка.

Да кажем, че човекът измерил
обиколката на тази окръжност и

открил, че обиколката е 6 сантиметра,

приблизително –
ролетката не е много добра.

После открил, че диаметърът е

приблизително 2 сантиметра.

И отново отношението на обиколката

към диаметъра е било приблизително 3.

Това е лесно свойство на окръжностите.

Може би отношението
на обиколката към диаметъра

винаги е определено за всяка окръжност.

Тогава решили да проучат
нещата още малко.

Създали по-добри ролетки.

Като работили с по-добри
ролетки, измерили,

че диаметърът определено е 1.

Казали си: "Диаметърът
е 1, но когато

измеря обиколката, осъзнавам,

че е по-близо до 3,1.

Същото нещо става и тук."

Така забелязали, че
отношението е по-близо до 3,1.

И продължавали да го измерват
по-точно и по-точно,

а после осъзнали,
че получават това число,

продължили да измерват по-точно и по-точно

и получили числото 3,14156.

Продължили да добавят числа и те

не се повтаряли.

Това било странно, удивително,
метафизично число,

което продължавало да се появява.

Щом това число било толкова
фундаментално за Вселената,

понеже кръглата форма е толкова
фундаментална за Вселената,

и продължавало да се появява
при всяка окръжност...

Отношението на обиколката
към диаметъра

било "магическо" число,
така че му дали име.

Нарекли го пи, или просто
можеш да го запишеш с латинската

или гръцката буква пи – ето така.

Това представлява числото,
което безспорно е най-удивителното

число във Вселената.

Първо се показало
като отношение на обиколката към

диаметъра, но после,
докато изминаваш своето

математическо пътешествие,
ще научиш, че се показва навсякъде.

Това е едно от основните
неща за Вселената, които

те карат да се замислиш,
че в нея има определен ред.

Но как можем да използваме това в

основната математика?

Знаем, или аз ти казвам,
че отношението на

обиколката към диаметъра
– когато кажа отношението,

просто казвам, че ако разделиш обиколката

на диаметъра, получаваш пи.

Пи е това число.

Мога да запиша 3,14159 и
да продължа до безкрайност,

но това ще е загуба на място и ще е трудно

да се работи с него,
затова просто записвам тази гръцка

буква пи.

Как можем да свържем това?

Можем да умножим двете страни
на това по диаметъра и

можем да кажем, че
обиколката е равна на пи

по диаметъра.

Или, след като диаметърът
е равен на 2 пъти радиуса, можем

да кажем, че обиколката
е равна на пи по

2 пъти радиуса.

Видът, в който най-често ще го виждаш,

е, че това е равно на 2 пи r.

Да видим дали можем
да го приложим към някои задачи.

Да кажем, че имам
една такава окръжност и трябва

да ти кажа, че тя е с радиус –
радиусът тук е 3.

Нека запиша това –
радиусът е равен на 3.

Може би е 3 метра –
ще поставя тук някои мерни единици.

Каква е обиколката на тази окръжност?

Обиколката е равна на 2 по пи по радиуса.

Да, ще е равна на 2 по пи по радиуса

по 2 метра, което е равно на 6 метра по

пи или 6 пи метра.

6 пи метра.

Сега мога да умножа това.

Помни, пи е просто число.

Пи е 3,14159 и продължава,
и продължава, и продължава.

Ако умножа 6 по това, може би ще получа

18 цяло и няколко.

Ако имаш калкулатор,
може да го направиш, но

за да е по-лесно, хората
просто оставят числата

с пи.

Не знам колко е това, ако умножиш 6 по

3,14159, не знам дали
ще получиш нещо по-близо до 19

или до 18, може би е приблизително
18 цяло и нещо,

и още нещо.

Калкулаторът ми не е при мен.

Но вместо да записваш
това число, просто

пишеш 6 пи.

Всъщнос, не мисля, че това

би достигнало прага до 19.

Нека си зададем друг въпрос.
Какъв е

диаметърът на окръжността?

Ако този радиус е 3, тогава
диаметърът е просто два пъти по това.

Тоест, той ще е 3 по 2 или 3 плюс 3, което

е равно на 6 метра.

Така че обиколката е 6 пи метра,
диаметърът е

6 метра, радиусът е 3 метра.

Нека работим в обратен ред.

Да кажем, че имам друга окръжност.

Да кажем, че тук имам друга окръжност.

И ти казвам, че обиколката е равна

на 10 метра – това е
обиколката на окръжността.

Да кажем, че я измериш и

някой те попита колко
е диаметърът на окръжността.

Знаем, че диаметърът по пи,
или че пи по

диаметъра е равно на обиколката;

равно на 10 метра.

За да решим това,
просто трябва да разделим

двете страни на пи.

Диаметърът ще е равен
на 10 метра върху пи или

10 върху пи метра.

Това е просто число.

Ако имаш калкулатор, можеш да разделиш 10

на 3,14159, тогава ще получиш
3 цяло и няколко

метра.

Не мога да го направя наум.

Но това просто е число.

Но за да е по-просто,
го оставяме ето така.

На колко е равен радиусът?

Радиусът е равен на 1/2 диаметъра.

Тоест това разстояние ето тук
е 10 върху пи метра.

Ако искаме само радиуса,

просто го умножаваме по 1/2.

Имаш 1/2 по 10 върху пи,
което е равно на 1/2 по

10 или просто делиш числителя и

знаменателя на 2.

Получаваш 5 тук,
така че получаваш 5 върху пи.

Тоест радиусът ето тук е 5 върху пи.

Нищо сложно.

Мисля, че хората се бъркат
най-много, когато трябва

просто да осъзнаят, че пи е число.

Пи е просто 3,14159 и продължава,
и продължава, и продължава.

Има написани хиляди книги за пи,

така че – не знам дали са хиляди,

преувеличавам, но за това число
могат да се напишат много книги.

И все пак е едно число.

Много специално число е и
ако искаш да го запишеш

както обикновено записваш числата,
можеш

просто да умножиш това.

Но най-често хората осъзнават,
че предпочитат да оставят

нещата с пи.

И приключваме.

В следващото видео ще намерим
лицето на кръга.