Introduction to L'Hopital's Rule

미적분학을 처음 배우면서 우리가 가장 많이 했던 작업은

극한일 것입니다

우리는 극한을 이용해서 함수의 도함수를 구해 냈습니다

사실 도함수의 정의 자체에

극한의 개념이 들어가 있습니다

도함수는 특정 점에서의 접선의 기울기를 의미하는데
이를 구하기 위해서

두 점을 아주 가까이 접근시켜
기울기의 극한을 구했습니다

여러분이 지금까지 수도 없이 많이 본 것들입니다

이번 영상에서는

반대 방향으로 해 보려 합니다

도함수를 이용해서 극한을 구해 볼 것입니다

특별히 부정형으로 나타내어지는 극한을 말입니다

부정형이라 하면

극한을 취할 때 그 꼴이 0/0이거나

＋무한대/＋무한대 또는

－무한대/＋무한대
－무한대/＋무한대

＋무한대/－무한대

이 모든 것들을 부정형이라고 합니다

이러한 극한들을 구하기 위해 우리는
로피탈의 정리를 사용합니다

그리고 이번 영상에서는

로피탈의 정리가 뭔지 그리고
어떻게 적용할 것인지 설명하려고 합니다

왜냐하면 이 정리가 간단하면서도
가끔 굉장히 유용한 도구가 될 수 있기 때문인데

만약 여러분이 수학 경시대회 같은 곳에 출전했는데

문제에서 굉장히 어려운 극한을 구하라고 요구합니다

단순히 숫자 대입만 해서는
절대로 풀리지 않는 그런 극한 말입니다

그 문제는 여러분에게
로피탈의 정리를 요구하고 있는 것입니다

나중 영상에서 제가 이 정리를 증명도 하겠지만

좀 많이 복잡합니다

반면 정리를 적용하는 것은 상당히 간단합니다

자 일단 로피탈의 정리가 뭔지 알려드리겠습니다

일단 먼저 약간 추상적인 식으로 써 볼 건데

나중에 예시를 들면 더 확실해질 겁니다

x가 c로 갈 때 f(x)의 극한이 0이고

x가 c로 갈 때 g(x)의 극한도 0이고

x가 c로 갈 때

f'(x)/g'(x)의 극한이 존재하고 값을 L이라 하면

이제 필요한 조건들은 모두 완성되었습니다

이 경우는 0/0 꼴의 부정형

즉 첫 번째 부정형입니다

위 조건이 모두 충족되면 x가 c로 갈 때

f(x)/g(x)의 극한도 역시 L이라고 할 수 있습니다

이 결과가 당장은 약간 이상해 보일 수 있습니다

이제 나머지 부정형들에 대해서 써 보고

예시를 들겠습니다

나중에 많은 예시들을 체험해 볼 것이고
그 예시들은

여러분의 이해가 깔끔해지게 도와 줄 것입니다

이것은 첫 번째 부정형이었고
나중에 볼 예시가 바로

이 첫 번째 부정형 꼴 극한일 것입니다

자 이제 나머지 부정형들을 봅시다
x가 c로 갈 때

f(x)의 극한이 양 또는 음의 무한대로 가고

x가 c로 갈 때 g(x)의 극한도 양 또는

음의 무한대로 가고
마지막 하나의 조건은 여러분이 말할 수 있을 것입니다

도함수끼리 나눠서 극한이 존재할 때입니다
즉 x가 c로 갈 때

f'(x)/g'(x)의 극한이 존재하여

극한값을 L이라 합시다

이제 우리는 위에서 했던 것과
똑같은 문장을 쓸 수 있습니다

복사하겠습니다

수정 복사 그리고 붙여넣겠습니다

지금 각각의 상황에

이 정리를 어떻게 써먹으실지 이해하셔야 합니다

첫 번째 부정형 극한을 구하는 상황에서
여러분이 만약 극한값을 계산하고 싶은데

f(c)값이 0이 된다고 해 봅시다

다른 말로
x가 c로 접근할 때 f(x)의 극한이 0이라는 뜻입니다

여기다 x가 c로 갈 때 g(x)의 극한을 나누어 봅시다

그러면 0/0꼴이 됩니다

극한을 어떻게 구해야 할지 막막하시다면

로피탈의 정리가 해법을 알려 줄 것입니다

만약 극한이 존재한다면
분자 분모를 동시에

미분을 해 보고 다시 극한을 구해 봅니다

만약 극한값이 존재해서 그 값을 얻었다면

원래 구하는 극한값과 동일하게 되는 것입니다

이번 경우는

＋무한대/＋무한대 또는

양 또는 음의 무한대에 양 또는 음의 무한대를 나눈 꼴의 극한입니다

이렇게 두 개의 부정형에 대해서 식을 써 보았습니다

여러분의 이해를 돕기 위해서 예시를 들겠습니다

그게 이해하는 데 확실히 도움이 될 것입니다

이 극한을 같이 구해 봅시다

새로운 색으로 써 보겠습니다

보라색으로 써 보겠습니다

이 극한을 같이 구해 봅시다

x가 0으로 접근할 때 sinx/x의 극한을 구할 겁니다

만약 그냥 각각의 함수에 0을 대입하거나

각각의 함수에 x가 0으로 가는 극한을 보내면

0/0꼴을 얻게 됩니다

sin0=0이고

x가 0으로 갈 때 sinx의 극한도 0이 됩니다

또 x가 0으로 접근할 때 x의 극한은 당연히

0이 됩니다

그러므로 이 극한은 첫 번째 부정형입니다

자 그럼 이제 이 분자 부분을 f(x)라 해 봅시다

f(x)＝sinx가 됩니다

그리고 이 분모 부분은 g(x)라 해 봅시다

g(x)＝x가 됩니다

g(x)＝x이고 f(x)＝sinx가 됩니다

우리는 이 극한이

앞 두 개의 조건을 만족함은 방금 확실히 보았습니다

x가 c로 접근할 때
이번 경우 c는 0이겠죠

x가 0으로 갈 때 sinx의 극한은 0

x가 0으로 갈 때 x의 극한은 역시 0입니다

0/0꼴 부정형 극한입니다

그럼 이번에는 이 극한이 존재하는지를 봅시다

f(x)의 도함수를 구하고

g(x)의 도함수를 구해서 두 개를 나누고
x가 0으로 갈 때 극한을 찾아 봅시다

이번 경우에 0이 c가 됩니다

이 극한이 존재하는지 살펴봅시다

파란색으로 써 보겠습니다

두 함수들의 도함수를 써 보겠습니다

f'(x)를 구해 봅시다

f(x)＝sinx면 f'(x)가 무엇입니까?

cosx가 됩니다

굉장히 자주 배웠을 겁니다

그럼 이번에 g(x)＝x이면 g'(x)는 무엇이 됩니까?

너무 쉽습니다

g'(x)는 당연히 1이 됩니다

이제 x가 0으로 갈 때의 극한을 찾을 건데

이번에는 도함수끼리 나눈 것의 극한을 구해야 합니다
f'(x)/g'(x)의 극한을 찾아 봅시다

자 그러면 이렇게 쓸 수 있겠습니다
x가 0으로 갈 때

cosx/1의 극한

숫자 1이 약간 이상하게 적혔습니다

이제 간단해졌습니다

답이 뭔지 보이실 것입니다

x가 0으로 갈 때 cosx의 극한은

1과 같습니다

그리고 당연하게도 x가 0으로 갈 때 1의 극한은

역시 1이 됩니다

그러므로 이 문제에서

x가 c로 접근합니다
또 c는 0이니

그럼 x가 0으로 갈 때 f'(x)/g'(x)의 극한은

1입니다

극한값이 존재하고 그 값이 1입니다

따라서 위의 모든 조건이 충족되었습니다

우리가 로피탈의 정리를 쓸 수 있는 상황이 된 것입니다

x가 0으로 갈 때 sinx의 극한은 0이고

x가 0으로 갈 때 x의 극한도 0이고

sinx의 도함수에다가

x의 도함수를 나눈 것의 극한
즉 cosx/1의 극한

값이 1이라는 것을 찾아냈습니다

위의 모든 조건이 충족되었으므로

로피탈의 정리를 쓸 수 있습니다

즉 x가 0으로 갈 때 sinx/x의 극한도

1이 된다는 것입니다

이 극한값 1은 아래쪽에 적어놓았던

도함수끼리 나눈 것의 극한값과 당연히 같습니다

다음 몇몇 개의 영상에서 더 많은 예시들을 소개할 거고

예시들을 보시면 더 구체적으로 이해가 잘 될 것입니다